Задачи на экзамен

Задачи для экзамена по ТВ

1. Складывается n = 12·104 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10−4. Предполагая,что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (−0.5 · 10−m, 0.5 · 10−m), найти, опираясь на центральную

предельную теорему, пределы, в которых с вероятностью не меньшей 0.98 лежит суммарная ошибка.

2. Пусть X1, X2, ... - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих плотность распределения

(

3e−3u, u ≥ 0

f(u) =

0, u < 0.

Удовлетворяет ли эта последовательность закону больших чисел?

3. Пусть X1, X2, ..., Xi, .. - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и EXi = a, DXi = σ2. Показать, что при n → ∞

	1		n	p
			Xi	(Xi − a)2 −→ σ2.
	Sn2 = n
			=1

4. Пусть X1, X2, ..., Xi, .. - последовательность независимых случайных вели- чин, имеющих равномерное распределение на отрезке [0,1]. Пусть Yi = e−Xi2 .

Показать, что при n → ∞

	n	Yi −→ Z0	1	du.
n i=1			e−u
1	X	p	2

5. Пусть X1, X2, ..., Xi, .. - последовательность независимых случайных вели- чин, имеющих распределение Пуассона с параметром λ = 1. Показать, что при n → ∞

1	n	p
	Xi	(−1)Xi −→ e−2.
n	=1

6. Xj, j = 1, 2, ... - независимые одинаково распределенные случайные вели- чины. Пусть EXj = a, DXj = σ2. Доказать, что последовательность Yn :

X1 + ... + Xn

Yn = X12 + ... + Xn2

сходится по вероятности и найти этот предел.

7.Пусть случайная величина Xn имеет распределение Пуассона с параметром n. Существует ли предел (по вероятности) при n → ∞ отношения (Xn/n)?

8.Пусть случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами n, p. Существует ли предел (по вероятности) при n → ∞ отношения (Xn/n)?

1

9. Распределение случайной величины Xn задается таблицей
	−√				√
		n		0		n
p	1/2n			1 − 1/n	1/2n

Выполнен ли для последовательности Xn закон больших чисел?

10.Пусть Xn - последовательность случайных величин такая, что DXn ≤ c <

∞è Xn, Xm - независимы, если |m − n| > 1. Доказать, что для последователь-

ности Xn выполнен закон больших чисел.

11.Пусть Xn - последовательность случайных величин такая, что DXn ≤ c <

∞и все ковариации отрицательны. Показать, что для этой последовательности

выполнен закон больших чисел.

12. Пусть Xj, j = 1, 2, ... независимые случайные величины, имеющие одинаковое невырожденное распределение с конечной дисперсией. Доказать, что для любых a, b

	n
lim p(a < Sn < b) = 0, Sn =	Xj
	Xj.
n→∞	=1

13. Пусть Xj, j = 1, 2, ... независимые одинаково распределенные случайные

величины с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Найти DXj = σ2, åñëè

		Sn				1
	nlim p	√			> 1	=		.
			n
	→∞					3

14.В некоторой группе людей дальтоники составляют 1%. Какова должна быть случайная выборка, чтобы вероятность присутствия в ней хотя бы одного дальтоника была не меньше 0.95?

15.В стране насчитывается 10 млн. избирателей, из которых 5,5 млн. принадлежит партии А, а 4,5 млн. принадлежит партии В. Жребием назначаются 20000 выборщиков. Какова вероятность того, что большинство выборщиков окажется стороннмками партии В?

16.Среди семян пшеницы 0.6% семян сорняков. Какова вероятность при слу- чайном отборе 1000 семян обнаружить не менее 3-х семян сорняков?

17.Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Какова вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл?

18.Для проверки влияния нового лекарства на кровяное давление у 100 пациентов было измерено давление до и после приема лекарства. При этом оказалось, что в 32 случаях давление после приема лекарства повысилось, а в 68 случаях - понизилось. Какова вероятность того, что эти колебания вызваны чисто случайными отклонениями (p(давление повысилось)=p(давление понизилось)=1/2).

19.Игральная кость бросается 1000 раз. Найти пределы, в которых с вероятностью 0.99 находится суммарное число очков.

2

20.Оценить вероятность того, что число выпадений "1"при 12000 бросаний игральной кости будет заключено между 1900 и 2150.

21.Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0.2, 4 - с вероятностью 0.4, 3 - с вероятностью 0.3 и 2 - с вероятностью 0.1. За время обучения студент сдает 40 экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0.95 лежит средний балл студента.

22.Урожайность куста картофеля составляет 0 кг. с вероятностью 0.1, 1 кг.

-с вероятностью 0.2, 1.5 кг. - с вероятностью 0.3, 2 кг. - с вероятностью 0.2 и 2.5 кг. - с вероятностью 0.2. Какое наименьшее число кустов нужно посадить, чтобы с вероятностью 0.975 урожай был не менее тонны?

23.Вычислить характеристическую функцию равномерного распределения на отрезке [-c,c].

24.Вычислить характеристическую функцию геометрического распределения с параметром p.

25.Найти закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна e−t2 .

26.Найти закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна

φ(t) = 12 + cos2 t.

27. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, характеристическая функция которой равна

φ(t) = 12 + cos2 t.

28.Является ли характеристической функцией φ(t) = e−t4 ?

29.Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, характеристическая функция которой равна

φ(t) = (cos t)2.

30.Найти закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна sin(2t)/(2t).

31.Найти закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна 1/(1 − it).

3