Вероятностные пространства

ȟȚȜȑ ȠȜȥțȜ ȡȘȎȕȎȠȪ ȐȞȓȚȭ ȟȐȜȓȑȜ ȝȞȖȣȜȒȎ. ǼțȖ ȒȜȑȜȐȜȞȖșȖȟȪ ȔȒȎȠȪ ȒȞȡȑ ȒȞȡȑȎ Ȑ ȠȓȥȓțȖȓ 15 ȚȖț. ǻȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ Ȗȣ ȐȟȠȞȓȥȖ.

54.ǰ ȡȟșȜȐȖȭȣ ȝȞȓȒȩȒȡȧȓȗ ȕȎȒȎȥȖ țȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȐȟȠȞȓȥȖ ǽȓȠȖ Ȗ ǺȎȦȖ, ȓȟșȖ ǽȓȠȭ ȔȒȮȠ ȡȔȓ 10 ȚȖț, Ȏ ǺȎȦȖ ȐȟȮ ȓȧȮ țȓȠ.

55.ǽȓȠȭ, ǺȎȦȎ Ȗ ǰȎȟȭ ȒȜȑȜȐȜȞȖșȖȟȪ ȐȟȠȞȓȠȖȠȪȟȭ Ȑ ȏȜșȪȦȜȗ ȝȓȞȓȞȩȐ, ȘȜȠȜȞȩȗ ȒșȖȠȟȭ ȥȎȟ, ȜȘȜșȜ ȏȖȏșȖȜȠȓȘȖ. ǻȖȘȠȜ Ȗȕ țȖȣ țȓ ȟȚȜȑ ȠȜȥțȜ ȡȘȎȕȎȠȪ ȐȞȓȚȭ ȟȐȜȓȑȜ ȝȞȖȣȜȒȎ, ȝȜȫȠȜȚȡ ȜțȖ ȒȜȑȜȐȜȞȖșȖȟȪ ȔȒȎȠȪ ȒȞȡȑ ȒȞȡȑȎ țȓ ȏȜșȓȓ 10 ȚȖț. ǻȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ ȟșȓȒȡȬȧȖȣ ȟȜȏȩȠȖȗ: Ȏ) ȜțȖ Ȑȟȓ ȐȟȠȞȓȠȭȠȟȭ; ȏ) ȝȜ ȘȞȎȗțȓȗ ȚȓȞȓ, ȒȐȜȓ Ȗȕ țȖȣ ȐȟȠȞȓȠȭȠȟȭ.

56.ǾȩȏȎȘȖ ȝȜȗȚȎșȖ Ȑ ȝȞȡȒȡ 100 Ȟȩȏ, ȜȘȜșȪȤȓȐȎșȖ Ȗȣ Ȗ ȐȩȝȡȟȠȖșȖ țȎȕȎȒ Ȑ ȐȜȒȡ. ǻȎ ȟșȓȒȡȬȧȖȗ ȒȓțȪ ȜțȖ ȝȜȗȚȎșȖ 120 Ȟȩȏ, Ȗȕ ȘȜȠȜȞȩȣ 10 ȜȘȎȕȎșȖȟȪ ȜȘȜșȪȤȜȐȎțțȩȚȖ. ǻȎȗȠȖ: Ȏ) ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȐȩșȜȐșȓțțȎȭ ȞȩȏȎ ȜȘȜșȪȤȜȐȎțȎ; ȏ) ȘȜșȖȥȓȟȠȐȜ Ȟȩȏ Ȑ ȝȞȡȒȡ.

ǾdzȆdzǻǶdz. ǽȡȟȠȪ n — ȥȖȟșȜ Ȟȩȏ Ȑ ȝȞȡȒȡ, mn = 100 — ȥȖȟșȜ ȜȘȜșȪȤȜȐȎțțȩȣ Ȟȩȏ Ȑ ȝȞȡȒȡ, ȟȜȏȩȠȖȓ A ȟȜȟȠȜȖȠ Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȐȩșȜȐșȓțțȎȭ ȞȩȏȎ ȜȘȜșȪȤȜȐȎțȎ. ȀȜȑȒȎ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȟȜȏȩȠȖȭ A ȞȎȐțȎ,

ȟȜȑșȎȟțȜ ȘșȎȟȟȖȥȓȟȘȜȚȡ ȜȝȞȓȒȓșȓțȖȬ, P{A} = 100 . ǿ ȒȞȡȑȜȗ ȟȠȜȞȜțȩ, ȝȜȟȘȜșȪȘȡ Ȗȕ 120 ȐȩșȜȐ- n

șȓțțȩȣ Ȟȩȏ m120 = 10 ȜȘȎȕȎșȖȟȪ ȜȘȜșȪȤȜȐȎțȩ, ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȟȜȏȩȠȖȭ A ȝȞȖȏșȖȔȮțțȜ ȞȎȐțȎ ȓȑȜ

ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜȗ ȥȎȟȠȜȠȓ: P{A} » p€	(A) =	m120	=	10	=	1	. ǼȠȟȬȒȎ	100	»	1	ȖșȖ n » 1 200 .
120		120		120		12		n		12

57.ǶȕȐȓȟȠțȜ, ȥȠȜ Ȑ ȟȞȓȒțȓȚ Ȗȕ 1 000 ȐȩȒȎțțȩȣ ȘȞȓȒȖȠȜȐ ȝȞȖȚȓȞțȜ 12 țȓ ȐȜȕȐȞȎȧȎȬȠȟȭ Ȑ ȟȞȜȘ. ǰ ȠȓȘȡȧȓȚ ȑȜȒȡ ȏȎțȘ ȐȩȒȎș 3 000 ȘȞȓȒȖȠȜȐ. ǻȎȗȠȖ ȘȜșȖȥȓȟȠȐȜ ȘȞȓȒȖȠȜȐ, ȘȜȠȜȞȩȓ țȓ ȏȡȒȡȠ ȐȜȕȐȞȎȧȓțȩ Ȑ ȟȞȜȘ.

58.ǽȞȖȐȓȟȠȖ ȝȞȖȚȓȞȩ ȟȜȏȩȠȖȗ, Ȓșȭ ȐȩȥȖȟșȓțȖȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ ȘȜȠȜȞȩȣ țȓȝȞȖȚȓțȖȚ ȟȝȜȟȜȏ ȞȎȟȥȮȠȎ ȟ ȝȜȚȜȧȪȬ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȩȣ ȥȎȟȠȜȠ.

§1.4. ǮǸǿǶǼ ǮȀǶȅdzǿǸǼdz ǽǼǿȀǾǼdzǻǶdz ȀdzǼǾǶǶ ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀdzǷ

ǸșȎȟȟ S ȝȜȒȚțȜȔȓȟȠȐ ȚțȜȔȓȟȠȐȎ ȫșȓȚȓțȠȎȞțȩȣ ȟȜȏȩȠȖȗ W țȎȕȩȐȎȓȠȟȭ ȝȜșȓȚ ȟȜȏȩȠȖȗ (ȎșȑȓȏȞȜȗ ȟȜȏȩȠȖȗ), ȓȟșȖ Ȝț ȟȜȒȓȞȔȖȠ ȒȜȟȠȜȐȓȞțȜȓ ȟȜȏȩȠȖȓ (WɈS ), Ȏ ȠȎȘȔȓ ȕȎȚȘțȡȠ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȗ ȜȏȨȓȒȖțȓțȖȭ (ȓȟșȖ A,B Ɉ S , ȠȜ A ɂB ɈS ), ȝȓȞȓȟȓȥȓțȖȭ (ȓȟșȖ A,B Ɉ S , ȠȜ A Ɂ B ɈS ) Ȗ ȒȜ-

ȝȜșțȓțȖȭ (ȓȟșȖ A ɈS , ȠȜ A ɈS ). ǽȜșȓ ȟȜȏȩȠȖȗ S țȎȕȩȐȎȓȠȟȭ s -ȝȜșȓȚ (s -ȎșȑȓȏȞȜȗ), ȓȟșȖ ȜȏȨȓȒȖțȓțȖȓ Ȗ ȝȓȞȓȟȓȥȓțȖȓ ȏȓȟȘȜțȓȥțȜȗ (ȟȥȮȠțȜȗ) ȝȜȟșȓȒȜȐȎȠȓșȪțȜȟȠȖ ȟȜȏȩȠȖȗ A1,A2,A3,K Ɉ S ȠȎȘȔȓ

ʈʈ

ȝȞȖțȎȒșȓȔȎȠ ȝȜșȬ S : U Ai ɈS,	I Ai Ɉ S .
i= 1	i= 1

ǽȞȖ ȎȘȟȖȜȚȎȠȖȥȓȟȘȜȚ ȝȜȟȠȞȜȓțȖȖ ȠȓȜȞȖȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ Ȑ ȘȎȔȒȜȚ ȘȜțȘȞȓȠțȜȚ ȝȞȜȟȠȞȎțȟȠȐȓ ȫșȓ-

ȚȓțȠȎȞțȩȣ ȟȜȏȩȠȖȗ W ȐȩȒȓșȭȓȠȟȭ s -ȝȜșȓ ȟȜȏȩȠȖȗ S , Ȗ Ȓșȭ ȘȎȔȒȜȑȜ ȟȜȏȩȠȖȭ A ɈS ȕȎȒȎȮȠȟȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ — ȥȖȟșȜȐȎȭ ȢȡțȘȤȖȭ, ȜȝȞȓȒȓșȮțțȎȭ țȎ s -ȝȜșȓ ȟȜȏȩȠȖȗ S Ȗ ȡȒȜȐșȓȠȐȜȞȭȬȧȎȭ ȟșȓȒȡȬȧȖȚ ȎȘȟȖȜȚȎȚ.

ǮǸǿǶǼ Ǯ ǻdzǼȀǾǶȄǮȀdzǹȊǻǼǿȀǶ ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀǶ:

Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A ɈS : P{A} …0 .

(1.36)

ǮǸǿǶǼ Ǯ ǻǼǾ ǶǾǼǰǮǻǻǼǿȀǶ ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀǶ:

P{W} = 1 .

(1.37)

ǮǸǿǶǼ Ǯ ǮDzDzǶȀǶǰǻǼǿȀǶ ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀǶ:

Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A,B ɈS , ȠȎȘȖȣ, ȥȠȜ A Ɂ B = ɀ: P{A ɂB} = P{A} + P{B}.

(1.38)

ǰȜ ȚțȜȑȖȣ ȟșȡȥȎȭȣ ȐȚȓȟȠȜ ȎȘȟȖȜȚȩ ȎȒȒȖȠȖȐțȜȟȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ ȠȞȓȏȡȓȠȟȭ ȓȮ ȞȎȟȦȖȞȓțțȩȗ ȐȎȞȖȎțȠ, țȎȕȩȐȎȓȚȩȗ ȎȘȟȖȜȚȜȗ ȟȥȮȠțȜȗ ȎȒȒȖȠȖȐțȜȟȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ.

15

ǮǸǿǶǼ Ǯ ǿȅǠȀǻǼǷ ǮDzDzǶȀǶǰǻǼǿȀǶ ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀǶ:

Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A

,... Ɉ S , ȠȎȘȖȣ, ȥȠȜ ȝȞȖ i ʋj

ɦʈ

ɶ

ʈ

ɩ

ɩ

,A

A

Ɂ A

= ɀ:

ɩ

ɩ

=

P{A } .

(1.39)

1

2

j

P ɧU A ɷ

ɟ

i

ɩ

i ɩ

i= 1

i

ɩ

ɩ

ɨi= 1

ɸ

ǸȎȔȒȎȭ ȜȝȞȓȒȓșȮțțȎȭ ȠȓȜȞȓȠȖȘȜ-ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠțȎȭ ȟȣȓȚȎ ȕȎȒȎȮȠȟȭ ȠȞȜȗȘȜȗ {W, S, P}, ȑȒȓ W — ȘȜțȘȞȓȠțȜȓ ȝȞȜȟȠȞȎțȟȠȐȜ ȫșȓȚȓțȠȎȞțȩȣ ȟȜȏȩȠȖȗ, S —s -ȝȜșȓ ȟȜȏȩȠȖȗ, ȐȩȒȓșȓțțȜȓ țȎ W, P — ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ, ȕȎȒȎțțȎȭ țȎ s -ȝȜșȓ S . ȀȞȜȗȘȎ {W, S, P} țȎȕȩȐȎȓȠȟȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠțȩȚ ȝȞȜȟȠȞȎțȟȠȐȜȚ.

Ƕȕ ȎȘȟȖȜȚ (1.36) – (1.38) ȟșȓȒȡȬȠ ȟșȓȒȡȬȧȖȓ ȟȐȜȗȟȠȐȎ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ:

ȜȑȞȎțȖȥȓțțȜȟȠȪ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ:
Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A ɈS : 0 „ P{A} „ 1 ;			(1.40)
P{ɀ} = 0 ;			(1.41)
Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A ɈS : P{		} = 1 - P{A} ;	(1.42)
	A
Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A,B ɈS , ȠȎȘȖȣ, ȥȠȜ A ɇ B : P{A} „ P{B} ;			(1.43)
ȠȓȜȞȓȚȎ ȟșȜȔȓțȖȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ:
Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A,B ɈS : P{A ɂB} = P{A} + P{B} - P{A Ɂ B} ;			(1.44)
țȓȞȎȐȓțȟȠȐȜ ȠȞȓȡȑȜșȪțȖȘȎ:
Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A,B ɈS : P{A ɂB} „ P{A} + P{B} ;			(1.45)

ȜȏȜȏȧȮțțȎȭ ȠȓȜȞȓȚȎ ȟșȜȔȓțȖȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ:

n

= ɟ i=

ǰ ȟșȡȥȎȓ

Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A

ɦ n

ɶ

ɩ

ɩ

,A

,...,An

ɩ

ɩ

=

P{A

ɂA

ɂL ɂAn } =

(1.46)

1

2

ɈS : P ɧU A ɷ

1

2

ɩ

1

i ɩ

ɩ

ɩ

ɨi=

ɸ

n + 1

ɦ n

ɶ

ɩ

ɩ

P{A

} -

P{A

Ɂ A

} +

P{A

ɁA

Ɂ A

} - L

ɩ

A

ɩ

ɟ

j

ɟ

i

j

k

+ (- 1)

P ɧI

ɷ .

i

i

ɩ

1

i ɩ

1

1„ i< j„ n

1„ i< j< k„ n

ɩ

ɩ

ɨi=

ɸ

n = 3 ȜȏȜȏȧȮțțȎȭ ȠȓȜȞȓȚȎ ȟșȜȔȓțȖȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ ȖȚȓȓȠ ȟșȓȒȡȬȧȖȗ ȐȖȒ:

Ȓșȭ Ȑȟȓȣ A,B,C ɈS :

P{AɂB ɂC }= P{A}+ P{B}+ P{C }- P{AɁB}- P{B ɁC }- P{AɁC }+ P{AɁB ɁC } .

(1.47)

59. ǶȕȐȓȟȠțȜ, ȥȠȜ ȘȡȞȟ ȓȐȞȜ Ș ȞȡȏșȬ ȚȜȔȓȠ ȐȜȕȞȎȟȠȖ ȟ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪȬ 0,55, Ȏ ȘȡȞȟ ȒȜșșȎȞȎ Ș ȞȡȏșȬ ȚȜȔȓȠ ȐȜȕȞȎȟȠȖ ȟ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪȬ 0,35. ǰȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȐȜȕȞȎȟȠȡȠ ȜȏȎ ȘȡȞȟȎ, ȟȜȟȠȎȐșȭȓȠ 0,3. ǻȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȘȡȞȟ ȓȐȞȜ ȖșȖ ȒȜșșȎȞȎ ȝȜ ȜȠțȜȦȓțȖȬ Ș ȞȡȏșȬ ȐȜȕȞȎȟȠȮȠ.

ǾdzȆdzǻǶdz. ǽȡȟȠȪ ȟȜȏȩȠȖȓ A€ ȟȜȟȠȜȖȠ Ȑ ȠȜȚ, ȘȡȞȟ ȓȐȞȜ Ș ȞȡȏșȬ ȐȜȕȞȎȟȠȮȠ, Ȏ ȟȜȏȩȠȖȓ A$ — Ȑ ȠȜȚ,

ȥȠȜ ȘȡȞȟ ȒȜșșȎȞȎ Ș ȞȡȏșȬ ȐȜȕȞȎȟȠȮȠ. ȀȜȑȒȎ ȝȜ ȡȟșȜȐȖȬ P{A€}= 0, 55, P{A$}= 0, 35, P{A€ɁA$}= 0, 3 .

ǰȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȘȡȞȟ ȓȐȞȜ ȖșȖ ȒȜșșȎȞȎ ȝȜ ȜȠțȜȦȓțȖȬ Ș ȞȡȏșȬ ȐȜȕȞȎȟȠȮȠ, ȝȜ ȠȓȜȞȓȚȓ ȟșȜȔȓțȖȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ ȟȜȟȠȎȐșȭȓȠ P{A€ɂ A$} = P{A€}+ P{A$}- P{A€Ɂ A$}= 0, 55+ 0, 35- 0, 3= 0, 6 .

60.ǰ ȝȎȞȠȖȖ 100 ȖȕȒȓșȖȗ, Ȗȕ ȘȜȠȜȞȩȣ ȦȓȟȠȪ ȖȚȓȬȠ ȒȓȢȓȘȠȩ. ǽȎȞȠȖȭ ȝȞȜȖȕȐȜșȪțȜ ȞȎȕȒȓșȓțȎ țȎ ȒȐȓ ȞȎȐțȩȓ ȥȎȟȠȖ, ȘȜȠȜȞȩȓ ȜȠȝȞȎȐșȓțȩ ȒȐȡȚ ȝȜȠȞȓȏȖȠȓșȭȚ. ǻȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ ȟșȓȒȡȬȧȖȣ ȟȜȏȩȠȖȗ: Ȏ) Ȑȟȓ ȏȞȎȘȜȐȎțțȩȓ ȖȕȒȓșȖȭ ȒȜȟȠȎțȡȠȟȭ ȜȒțȜȚȡ ȝȜȠȞȓȏȖȠȓșȬ; ȏ) ȏȞȎȘȜȐȎțțȩȓ ȖȕȒȓșȖȭ ȒȜȟȠȎțȡȠȟȭ ȜȏȜȖȚ ȝȜȠȞȓȏȖȠȓșȭȚ ȝȜȞȜȐțȡ.

61.ǽȓȠȭ ȖȧȓȠ ȞȎȏȜȠȡ. Ǽț ȝȜȏȩȐȎș țȎ ȟȜȏȓȟȓȒȜȐȎțȖȭȣ Ȑ ȏȎțȘȓ Ȗ ȟȠȞȎȣȜȐȜȗ ȘȜȚȝȎțȖȖ. ǰȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȟȐȜȓȑȜ ȡȟȝȓȣȎ Ȑ ȏȎțȘȓ Ȝț ȜȤȓțȖȐȎȓȠ Ȑ 0,5, Ȏ Ȑ ȟȠȞȎȣȜȐȜȗ ȘȜȚȝȎțȖȖ — Ȑ 0,6. ǸȞȜȚȓ ȠȜȑȜ, Ȝț ȞȎȟȟȥȖȠȩȐȎȓȠ, ȥȠȜ ȟ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪȬ 0,3 ȓȚȡ ȝȜȟȠȡȝȭȠ ȝȞȓȒșȜȔȓțȖȭ ȜȠ ȒȐȡȣ ȜȞȑȎțȖȕȎȤȖȗ ȟȞȎȕȡ. ǻȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ǽȓȠȭ ȝȜșȡȥȖȠ ȣȜȠȭ ȏȩ ȜȒțȜ ȝȞȓȒșȜȔȓțȖȓ ȞȎȏȜȠȩ.

62.ǺȓțȓȒȔȓȞ ȝȜ ȘȎȒȞȎȚ ȞȎȕȚȓȟȠȖș Ȑ ȟȓȠȖ Internet ȜȏȨȭȐșȓțȖȓ Ȝ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȏȎțȘȡ ȠȞȓȏȡȓȠȟȭ țȎȥȎșȪțȖȘ ȜȠȒȓșȎ ȒȜșȑȜȐȩȣ ȜȏȭȕȎȠȓșȪȟȠȐ, Ȗ ȝȜșȡȥȖș 300 ȞȓȕȬȚȓ. Ƕȕ ȝȞȜ-

16

ȝȞȜȦșȜȑȜ ȜȝȩȠȎ ȖȕȐȓȟȠțȜ, ȥȠȜ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȝȞȓȠȓțȒȓțȠ ȖȚȓȓȠ ȐȩȟȦȓȓ ȫȘȜțȜȚȖȥȓȟȘȜȓ ȜȏȞȎȕȜȐȎțȖȓ, ȞȎȐțȎ 0,3, ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȝȞȓȠȓțȒȓțȠ ȖȚȓȓȠ ȜȝȩȠ ȞȡȘȜȐȜȒȭȧȓȗ ȞȎȏȜȠȩ Ȑ ȏȎțȘȓ, — 0,7, Ȏ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ ȠȜȑȜ, ȥȠȜ ȝȞȓȠȓțȒȓțȠ ȖȚȓȓȠ Ȗ ȐȩȟȦȓȓ ȫȘȜțȜȚȖȥȓȟȘȜȓ ȜȏȞȎȕȜȐȎțȖȓ, Ȗ ȜȝȩȠ ȞȡȘȜȐȜȒȭȧȓȗ ȞȎȏȜȠȩ, — 0,2. ǼȤȓțȖȠȪ ȘȜșȖȥȓȟȠȐȜ ȝȞȓȠȓțȒȓțȠȜȐ, ȖȚȓȬȧȖȣ ȜȝȩȠ ȞȡȘȜȐȜȒȭȧȓȗ ȞȎȏȜȠȩ ȖșȖ ȐȩȟȦȓȓ ȫȘȜțȜȚȖȥȓȟȘȜȓ ȜȏȞȎȕȜȐȎțȖȓ. ǽȜȟȠȞȜȖȠȪ ȟȜȜȠȐȓȠȟȠȐȡȬȧȡȬ ȒȖȎȑȞȎȚȚȡ ǰȪȓțțȎ – ȋȗșȓȞȎ.

63.	ǿȜȏȩȠȖȓ A ȟȜȟȠȜȖȠ Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȝȜȠȓțȤȖȎșȪțȩȗ ȝȜȘȡȝȎȠȓșȪ ȡȐȖȒȓș ȞȓȘșȎȚȡ
ȠȜȐȎȞȎ ȝȜ ȠȓșȓȐȖȕȜȞȡ, Ȏ ȟȜȏȩȠȖȓ B — Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ Ȝț ȡȐȖȒȓș ȞȓȘșȎȚȡ Ȑ ȑȎȕȓȠȓ. Ƕȕ-
ȐȓȟȠțȜ, ȥȠȜ P{A} > 0, 8,				P{B} > 0, 4 , ǽȞȜȐȓȞȖȠȪ ȟȝȞȎȐȓȒșȖȐȜȟȠȪ ȟșȓȒȡȬȧȖȣ ȡȠȐȓȞ-
ȔȒȓțȖȗ: Ȏ) A Ȗ B țȓȟȜȐȚȓȟȠțȩ; ȏ) A Ȗ B ȝȞȜȠȖȐȜȝȜșȜȔțȩ; Ȑ) P{A Ɂ B} > 0, 2 .
64.	ǶȕȐȓȟȠțȩ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ ȒȜȝȜșțȖȠȓșȪțȜȗ ȝȜȠȞȓȏțȜȟȠȖ ȢȖȞȚȩ Ȑ ȖțȔȓțȓȞȎȣ
țȎ ȝȞȓȒȟȠȜȭȧȖȓ ȒȐȎ ȑȜȒȎ:
	ɑɢɫɥɨɢɧɠɟɧɟɪɨɜ			< 100	100 - 199	200 - 299	300 - 399	400 - 499 …500
										.
		ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ		0, 10	0, 15	0, 30	0, 30	0, 10	0, 05

ǻȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ ȟșȓȒȡȬȧȖȣ ȟȜȏȩȠȖȗ: Ȏ) țȎ ȝȞȜȠȭȔȓțȖȖ ȝȞȓȒȟȠȜȭȧȖȣ ȒȐȡȣ șȓȠ ȢȖȞȚȓ ȒȜȝȜșțȖȠȓșȪțȜ ȝȜȠȞȓȏȡȓȠȟȭ țȓ Țȓțȓȓ 400 ȖțȔȓțȓȞȜȐ; ȏ) țȎ ȝȞȜȠȭȔȓțȖȖ ȝȞȓȒȟȠȜȭȧȖȣ ȒȐȡȣ șȓȠ ȢȖȞȚȓ ȒȜȝȜșțȖȠȓșȪțȜ ȝȜȠȞȓȏȡȓȠȟȭ ȝȜ ȚȓțȪȦȓȗ ȚȓȞȓ 200, țȜ țȓ ȏȜșȓȓ 399 ȖțȔȓțȓȞȜȐ.

65.ǾȓȕȡșȪȠȎȠȩ ȜȝȞȜȟȎ 1 000 ȟșȡȥȎȗțȜ ȜȠȜȏȞȎțțȩȣ ȚȜșȜȒȩȣ șȬȒȓȗ ȠȎȘȜȐȩ:

ȞȎȏȜȠȎȬȠ	811 ȥȓș.,
ȡȥȎȠȟȭ	518 ȥȓș.,
ȞȎȏȜȠȎȬȠ Ȗ ȡȥȎȠȟȭ ȜȒțȜȐȞȓȚȓțțȜ	356 ȥȓș.,
ȝȞȜȔȖȐȎȬȠ Ȑ ǺȜȟȘȐȓ	752 ȥȓș.,
Ȗȕ ȚȜȟȘȐȖȥȓȗ:
ȞȎȏȜȠȎȬȠ	570 ȥȓș.,
ȡȥȎȠȟȭ	348 ȥȓș.,
ȞȎȏȜȠȎȬȠ Ȗ ȡȥȎȠȟȭ ȜȒțȜȐȞȓȚȓțțȜ	297 ȥȓș.

ǼȝȞȓȒȓșȖȠȪ, ȟȜȒȓȞȔȖȠȟȭ șȖ Ȑ ȫȠȜȗ ȖțȢȜȞȚȎȤȖȖ ȜȦȖȏȘȎ.

ǾdzȆdzǻǶdz. ǽȡȟȠȪ ȟȜȏȩȠȖȓ A ȟȜȟȠȜȖȠ Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȟșȡȥȎȗțȜ ȐȩȏȞȎțțȩȗ ȚȜșȜȒȜȗ ȥȓșȜȐȓȘ ȞȎȏȜȠȎȓȠ, ȟȜȏȩȠȖȓ B — Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȟșȡȥȎȗțȜ ȐȩȏȞȎțțȩȗ ȚȜșȜȒȜȗ ȥȓșȜȐȓȘ ȝȞȜȔȖȐȎȓȠ Ȑ ǺȜȟȘȐȓ, ȟȜȏȩȠȖȓ

C —	Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȟșȡȥȎȗțȜ ȐȩȏȞȎțțȩȗ ȚȜșȜȒȜȗ ȥȓșȜȐȓȘ ȡȥȖȠȟȭ. ȀȎȘ ȘȎȘ n = 1000	ȒȜȟȠȎȠȜȥțȜ Ȑȓ-
șȖȘȜ,	ȚȜȔțȜ ȐȜȟȝȜșȪȕȜȐȎȠȪȟȭ ȟȠȎȠȖȟȠȖȥȓȟȘȖȚ ȜȝȞȓȒȓșȓțȖȓȚ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ:	P{A} » 0, 811 ,
P{B}» 0, 752, P{C }» 0, 518, P{AɁB}» 0, 570, P{B ɁC }» 0, 348, P{AɁC }» 0, 356, P{AɁB ɁC }» 0, 297 . ǽȜ ȢȜȞ-
Țȡșȓ	(1.46) P{AɂB ɂC }= P{A}+ P{B}+ P{C }- P{AɁB}- P{B ɁC } - P{AɁC } - P{AɁB ɁC } » 1, 104 > 1 .

ǻȜ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ țȓ ȚȜȔȓȠ ȏȩȠȪ ȏȜșȪȦȓ ȓȒȖțȖȤȩ, ȟșȓȒȜȐȎȠȓșȪțȜ, Ȑ ȒȎțțȜȗ ȖțȢȜȞȚȎȤȖȖ ȟȜȒȓȞȔȖȠȟȭ ȜȦȖȏȘȎ.

66. ǽȓȠȭ — ȟȠȎȞȜȟȠȎ ȑȞȡȝȝȩ. ǸȜȑȒȎ ȒȓȘȎțȎȠ ȝȜȝȞȜȟȖș ȓȑȜ ȝȜȒȎȠȪ ȟȐȓȒȓțȖȭ Ȝ ȟȠȡȒȓțȠȎȣ ȟȐȜȓȗ ȑȞȡȝȝȩ, ǽȓȠȭ ȝȜ ȝȎȚȭȠȖ ȟȜȟȠȎȐȖș ȟșȓȒȡȬȧȡȬ ȕȎȝȖȟȘȡ: «ǰ ȑȞȡȝȝȓ

45 ȟȠȡȒȓțȠȜȐ, Ȑ ȠȜȚ ȥȖȟșȓ 25 ȬțȜȦȓȗ; 30 ȟȠȡȒȓțȠȜȐ ȡȥȎȠȟȭ țȎ “ȣȜȞȜȦȜ” Ȗ “ȜȠșȖȥțȜ”, Ȑ ȠȜȚ ȥȖȟșȓ 16 ȬțȜȦȓȗ; 28 ȟȠȡȒȓțȠȜȐ ȕȎțȖȚȎȬȠȟȭ ȟȝȜȞȠȜȚ, Ȑ Ȗȣ ȥȖȟșȓ 18 ȬțȜȦȓȗ Ȗ 17 ȟȠȡȒȓțȠȜȐ, ȡȟȝȓȐȎȬȧȖȣ țȎ “ȣȜȞȜȦȜ” Ȗ “ȜȠșȖȥțȜ”; 15 ȬțȜȦȓȗ ȡȥȎȠȟȭ țȎ “ȣȜȞȜȦȜ” Ȗ “ȜȠșȖȥțȜ” Ȗ ȕȎțȖȚȎȬȠȟȭ ȟȝȜȞȠȜȚ». ǿȜȠȞȡȒțȖȘȖ ȒȓȘȎțȎȠȎ ȟȞȎȕȡ ȜȝȞȓȒȓșȖșȖ, ȥȠȜ ǽȓȠȭ ȜȦȖȏȟȭ, Ȗ ȝȜȝȞȜȟȖșȖ ȓȑȜ ȏȜșȓȓ ȎȘȘȡȞȎȠțȜ ȝȜȒȜȗȠȖ Ș ȐȩȝȜșțȓțȖȬ ȝȜȞȡȥȓțȖȭ. ǸȎȘ ȟȜȠȞȡȒțȖȘȎȚ ȒȓȘȎțȎȠȎ ȡȒȎșȜȟȪ «ȝȜȗȚȎȠȪ» ǽȓȠȬ?

17

67.ǽȡȟȠȪ A, B, C — ȝȞȜȖȕȐȜșȪțȩȓ ȟȜȏȩȠȖȭ. ǾȎȟȝȜșȜȔȖȠȪ ȟșȓȒȡȬȧȖȓ ȟȜȏȩ-

ȠȖȭ Ȑ ȝȜȞȭȒȘȓ ȐȜȕȞȎȟȠȎțȖȭ Ȗȣ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ: AɂC,ɀ,A\B,A\(B\C ),W,AɂBɂC,A\ B\C .

68. ǽȡȟȠȪ A ɇ B ɂC Ȗ B Ɂ C = ɀ. ǽȞȜȐȓȞȖȠȪ ȟȝȞȎȐȓȒșȖȐȜȟȠȪ ȡȠȐȓȞȔȒȓțȖȗ:

Ȏ) P{A ɂB}= P{B} ; ȏ) P{AɂB ɂC }= P{B}+ P{C }; Ȑ) P{A}…P{B}; ȑ) P{A}…P{B}+ P{C }.

69.ǰ ȡȟșȜȐȖȭȣ ȕȎȒȎȥȖ 41 țȎȗȠȖ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ ȟșȓȒȡȬȧȖȣ ȟȜȏȩȠȖȗ: Ȏ) ȡȑȎȒȎȠȪ țȓ Țȓțȓȓ ȠȞȮȣ ȥȖȟȓș; ȏ) ȡȑȎȒȎȠȪ ȣȜȠȭ ȏȩ ȜȒțȜ ȥȖȟșȜ.

70.ǶȕȐȓȟȠțȜ, ȥȠȜ ȝȭȠȪ Ȗȕ ȟȜȞȜȘȎ ȝȎȟȟȎȔȖȞȜȐ ȟȎȚȜșȮȠȎ ȕȎȚȓȦȎțȩ Ȑ ȝȜȣȖȧȓțȖȖ ȘȞȡȝțȜȗ ȒȓțȓȔțȜȗ ȟȡȚȚȩ. ǰ ȎȫȞȜȝȜȞȠȡ Ș ȠȞȎȝȡ ȟȎȚȜșȮȠȎ ȝȜȒȜȦȮș ȖțȟȝȓȘȠȜȞ ȡȑȜșȜȐțȜȑȜ ȞȜȕȩȟȘȎ Ȗ ȕȎȭȐȖș, ȥȠȜ Ȓșȭ ȜȏțȎȞȡȔȓțȖȭ ȣȜȠȭ ȏȩ ȜȒțȜȑȜ ȝȞȓȟȠȡȝțȖȘȎ ȓȚȡ ȒȜȟȠȎȠȜȥțȜ ȝȞȜȖȕȐȓȟȠȖ ȜȏȩȟȘ ȡ ȦȓȟȠȖ țȎȡȑȎȒ ȐȩȏȞȎțțȩȣ ȝȎȟȟȎȔȖȞȜȐ. ȅȠȜ ȞȡȘȜȐȜȒȖșȜ ȖțȟȝȓȘȠȜȞȜȚ: ȠȞȓȕȐȩȗ ȞȎȟȥȮȠ ȖșȖ ȞȖȟȘ?

ǾdzȆdzǻǶdz. ǽȡȟȠȪ ȟȜȏȩȠȖȓ A ȟȜȟȠȜȖȠ Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȟȞȓȒȖ ȦȓȟȠȖ ȟșȡȥȎȗțȜ ȐȩȏȞȎțțȩȣ ȝȎȟȟȎȔȖȞȜȐ

ȓȟȠȪ ȣȜȠȭ ȏȩ ȜȒȖț ȝȞȓȟȠȡȝțȖȘ, ȟȜȏȩȠȖȓ A — Ȑ ȠȜȚ, ȥȠȜ ȟȞȓȒȖ ȦȓȟȠȖ ȟșȡȥȎȗțȜ ȐȩȏȞȎțțȩȣ ȝȎȟȟȎȔȖȞȜȐ țȓȠ țȖ ȜȒțȜȑȜ ȝȞȓȟȠȡȝțȖȘȎ. ȀȜȑȒȎ, ȖȟȝȜșȪȕȡȭ ȢȜȞȚȡșȡ ȑȖȝȓȞȑȓȜȚȓȠȞȖȥȓȟȘȜȗ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ

(1.31),

P{A}=

																									CkC6- k
Ȑ	ȘȜȠȜȞȜȗ			n =	40, m =								5, l =			6 ,	ȝȜșȡȥȖȚ:			P		(6;k)=			5	35	,k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 , ȝȜȫȠȜȚȡ
																									C6
																				40;5
																										40
																									2		1
			C0C6		5!						35!					1		1					17	11	8		3
									ɑ							ɑ ɑ ɑ				ɑ				ɑ ɑ ɑ ɑ
				5 35		ɑ					ɑ					5!	35! 6! 34!			35!34!			34	33	32	31	30				ȜȠȘȡȒȎ P{A} =
P		(6;0)=			=	0! 5! 6!						29!		=					=		=									» 0, 4229,
				6
40;5								40!								ɑ ɑ		ɑ ɑ		ɑ			40	ɑ ɑ ɑ ɑ
				C40									0! 5! 6!					29!40!		29!40!				39	38	37	36
							6!ɑ34!									1 1 1							4		19		12
																							1				3	1

= 1 - P{A} » 1 - 0, 4229 = 0, 5771 > 0, 5. ǰȖȒȖȚȜ, ȫȠȜ Ȗ ȝȜȏȡȒȖșȜ ȖțȟȝȓȘȠȜȞȎ țȎȕȐȎȠȪ ȥȖȟșȜ «ȦȓȟȠȪ», ȣȜȠȭ, țȎ ȐȕȑșȭȒ ȎȐȠȜȞȜȐ, ȖțȟȝȓȘȠȜȞ, ȟȘȜȞȓȓ, ȞȖȟȘȡȓȠ «ȝȭȠȪȒȓȟȭȠ țȎ ȝȭȠȪȒȓȟȭȠ».

71. DzȜȘȎȕȎȠȪ, ȥȠȜ ȓȟșȖ ȘșȎȟȟ S ȝȜȒȚțȜȔȓȟȠȐ ȚțȜȔȓȟȠȐȎ ȫșȓȚȓțȠȎȞțȩȣ ȟȜȏȩȠȖȗ W, ȕȎȚȘțȡȠȩȗ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȒȜȝȜșțȓțȖȭ, ȕȎȚȘțȡȠ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȜȏȨȓȒȖțȓțȖȭ, ȠȜ Ȝț ȕȎȚȘțȡȠ Ȗ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȝȓȞȓȟȓȥȓțȖȭ.

ǾdzȆdzǻǶdz. ǽȜ ȡȟșȜȐȖȬ, ȓȟșȖ A,B ɈS , ȠȜ A,B ɈS (ȠȎȘ ȘȎȘ S ȕȎȚȘțȡȠ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȒȜȝȜșțȓțȖȭ). ȀȎȘ ȘȎȘ A,B ɈS , A ɂB ɈS (ȠȎȘ ȘȎȘ S ȕȎȚȘțȡȠ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȜȏȨȓȒȖțȓ-

țȖȭ). ȀȎȘ ȘȎȘ A ɂB ɈS , A ɂB ɈS (ȠȎȘ ȘȎȘ S ȕȎȚȘțȡȠ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȒȜȝȜșțȓțȖȭ). ǻȜ

ȟȜȑșȎȟțȜ ȝȞȎȐȖșȡ Ȓȓ ǺȜȞȑáțȎ A Ɂ B = A ɂB , ȝȜȫȠȜȚȡ A Ɂ B = A ɂB ɈS , Ƞ. ȓ. ȘșȎȟȟ S ȕȎȚȘțȡȠ ȜȠțȜȟȖȠȓșȪțȜ ȜȝȓȞȎȤȖȖ ȝȓȞȓȟȓȥȓțȖȭ.

72.ǵȎȝȖȟȎȠȪ ȜȏȜȏȧȮțțȡȬ ȠȓȜȞȓȚȡ ȟșȜȔȓțȖȭ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȓȗ Ȓșȭ ȟșȡȥȎȭ ȥȓȠȩȞȮȣ ȟȜȏȩȠȖȗ.

73.ǽȞȜȐȓȞȖȠȪ ȐȩȝȜșțȓțȖȓ ȎȘȟȖȜȚ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ (1.36) – (1.38) Ȓșȭ ȘșȎȟȟȖȥȓȟȘȜȗ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠțȜȗ ȟȣȓȚȩ.

74.ǽȞȜȐȓȞȖȠȪ ȐȩȝȜșțȓțȖȓ ȎȘȟȖȜȚ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ (1.36) – (1.38) Ȓșȭ ȑȓȜȚȓȠȞȖȥȓȟȘȜȗ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠțȜȗ ȟȣȓȚȩ.

75.ǰȩȐȓȟȠȖ Ȗȕ ȎȘȟȖȜȚ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ (1.36) – (1.38) ȟȐȜȗȟȠȐȎ (1.40) – (1.47).

DZșȎȐȎ 2. ȁǿǹǼǰǻȉdz ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀǶ. ǽǼǿǹdzDzǼǰǮȀdzǹȊǻǼǿȀǶ ǶǿǽȉȀǮǻǶǷ

§2.1. ȁǿǹǼǰǻȉdz ǰdzǾǼȍȀǻǼǿȀǶ

ǸȎȘ ȡȔȓ ȏȩșȜ ȜȠȚȓȥȓțȜ, ȑȜȐȜȞȖȠȪ Ȝ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȖ țȎȟȠȡȝșȓțȖȭ ȘȎȘȜȑȜ-șȖȏȜ ȟȜȏȩȠȖȭ ȘȎȘ Ȝ ȚȓȞȓ ȐȜȕȚȜȔțȜȟȠȖ țȎȟȠȡȝșȓțȖȭ ȫȠȜȑȜ ȟȜȏȩȠȖȭ ȚȜȔțȜ șȖȦȪ ȝȞȖ ȐȩȝȜșțȓțȖȖ ȜȝȞȓȒȓșȮțțȜȑȜ ȘȜȚȝșȓȘȟȎ ȡȟșȜȐȖȗ ȜȝȩȠȎ. ȀȎȘ, ȓȟșȖ Ș ȘȜȚȝșȓȘȟȡ ȡȟșȜȐȖȗ, ȝȞȖ ȘȜȠȜȞȩȣ ȖȕȡȥȎșȎȟȪ ȐȓȞȜȭȠțȜȟȠȪ țȎȟȠȡȝșȓ-

18