Теорема существования и единственности условного математического ожидания

Теорема.

Пусть - случайная величина с конечным математическим ожиданием, заданная на

и - некоторая сигма-алгебра.

Тогда условное математическое ожидание существует и единственно с точностью до значений на множествах нулевой меры P.

Доказательство.

Рассмотрим вначале неотрицательную случайную величину . Определим функциюQна сигма-алгебреследующим образом:

Используя свойства интеграла Лебега получаем, что функция Q неотрицательна, счетно-аддитивна поA и. Следовательно это мера. Более того, эта мера абсолютно непрерывна (интеграл по множеству нулевой меры от любой случайной величины равен нулю) относительно сужения мерына сигма-алгебруи следовательно по теореме Радона-Никодима существует и единственна- измеримая производная Радона-Никодима, удовлетворяющая условию:

для любого события

Ясно, что эта производная подходит под определение условного математического ожидания.

Для произвольных случайных величин поступим также, как при определении интеграла Лебега.

Доказательство завершено.

Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой

Если сигма-алгебра порождена некоторой случайной величиной, то в этом случае для условного математического ожидания используют обозначение

Заметим, что из определения случайной величины следует, что

Свойства условного математического ожидания

Многие свойства условного математического ожидания аналогичны и, в основном, доказываются аналогично соответствующим свойствам математического ожидания. В дальнейшем в этом пункте равенства и неравенства понимаются в смысле почти наверное и, при необходимости, предполагается существование у случайных величин математических ожиданий и вторых моментов.

1. =с

2. 

3. Если , то

4. 

5. 

6. 

7. Если , то

8. 

9. Пусть -G – измерима, тогда

10. Пусть не зависит от сигма-алгебрыG, (т.е. любые событиянезависимы) , тогда

11. -неравенство Коши -Буняковского

12. Если функция выпукла как, то-неравенство Йенсена

13. 

14. Для условных математических ожиданий верны теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, в частности теорема о монотонной сходимости.

Попробуйте доказать эти свойства. Самостоятельное доказательство поможет лучше понять определение условного математического ожидания

Доказательства свойств 1)- 8) непосредственно следуют из определения условного математического ожидания, неравенства 11), 12) доказываются также как аналогичные неравенства для математического ожидания, свойства 9) и 10) сначала устанавливаются для простых функций, а затем переносятся на общий случай с помощью теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Доказательство свойства 13) с учетом 6) и 9) аналогично доказательству соответствующего экстремального свойства математического ожидания. 14) получается применением теоремы для монотонной сходимости для интеграла Лебега.

Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность

Условной вероятностью события A относительно сигма-алгебрыG называется случайная величина

Аналогично определяется условная вероятность относительно случайной величины

Заметим, что условная вероятность это функция двух переменных: (как случайная величина) иA. Нетрудно видеть, что условная вероятность для каждогоявляется почти наверное неотрицательной конечно-аддитивной поAфункцией такой , что

В силу неоднозначности определения условного математического ожидания (с точностью до значений на множествах нулевой вероятности) нельзя утверждать, что условная вероятность для любого фиксированного ( и даже для почти всех) является вероятностью. Однако если, например, ограничиться только распределениями на борелевских сигма-алгебрах, то доказать существование счетно-аддитивного варианта условной вероятности оказывается возможным.