7.4.Элементы статистической теории турбулентности

Представление о турбулентности, как о поле случайных значений скорости, образованном хаотическим взаимодействием вихрей разных размеров, оказалось недостаточным для дальнейшего развития теории турбулентности. Необходимы были новые критерии, позволяющие дать более подробную численную оценку процессу турбулентности.

В этом отношении значительным шагом вперед стала теория локально-изотропной турбулентности, предложенная академиком А.Н. Колмогоровым (1941) и развитая А.М.Обуховым (1941) на основании энергетических соображений. Эта теория оказала решающее влияние на развитие теории турбулентности в целом.

Физическая основа этой теории заключается в том, что рассматривается иерархия турбулентных вихрей: имеются вихри не вообще, а вихри различных линейных масштабов. При этом необходима расстановка вихрей по их масштабам для выяснения степени вклада каждого из них в энергию турбулентности. Такая расстановка вихрей по своеобразной "иерархической лестнице" выглядит следующим образом: при очень больших числах Рейнольдса на осредненный поток накладываются "пуль­сации первого порядка", проявляющиеся в беспорядочном переме­щении относительно друг друга отдельных объемов жидкости с диаметром порядка ℓ¹ = ℓ (где ℓ - прандтлевский путь перемешивания); порядок скоростей этих относительных перемещений - ν¹. Пульсации первого порядка оказываются при очень большом Re в свою очередь неустойчивыми, и на них накладываются пульсации "второго порядка" с путем перемешивания ℓ² < ℓ¹ и относительными скоростями ν² < ν¹. Такой процесс последовательного измельчения турбулентных пульсаций происходит до тех пор, пока для пульсаций какого-либо достаточно большого порядка n число Рейнольдса не окажется достаточно малым, чтобы влияние вязкости на пульсации n-порядка было уже ощутимо и предупреждало образование накладывающихся на них пульсаций (n+1)-го порядка.

Таким образом с энергетической точки зрения процесс турбулентного переме­шивания состоит из передачи энергии по каскаду турбулентных вихрей: осредненное течение заимствует энергию из атмосферных движений и передает ее энергии турбулентности; энергия больших вихрей передается энергии меньших вихрей; мельчайшие вихри благодаря вязкости диссипируют энергию в теплоту.

Развивая теорию локально-изотропной турбулентности, А.Н.Колмогоров (1941) сформулировал фундаментальные гипотезы подобия.

Первая гипотеза подобия Колмогорова. Статистические характеристики турбулентности при больших числах Рейнольдса в области малых масштабов зависят только от средней скорости диссипации энергии в единице массы жидкости ε и кинематической вязкости ν.

Вторая гипотеза подобия Колмогорова. Статистические характеристики турбулентности при больших числах Рейнольдса в области средних масштабов зависят только от средней скорости диссипации энергии в единице массы жидкости ε и не зависят от вязкости ν.

Гипотезы подобия Колмогорова разбивают спектр масштабов возмущений (или длин волн λ) в локально-изотропной турбулентности на две области: область средних масштабов, или инерционный интервал, в котором характеристики потока опреде­ляются потоком энергии по иерархии вихрей, и область малых масштабов, или вязкий интервал, в котором происходит диссипация энергии движения в тепловую энергию.

Поскольку единственными параметрами, определяющими характер локально-изотропной турбулентности, являются ε и ν, то можно определить такие важные характеристики турбулентности, как границу между инерционным и вязким интервалами, коэффициент перемешивания, плотность энергии. Так линейная граница вязкого интервала оказывается равной λ_ν = . А.М.Обухов (1962) в качестве границы вязкого интервала получил величину λ_ν = 0.37 см. Поскольку основные процессы в океане (волнение, течения и др.) связаны с турбулентностью больших масштабов, чем 0.37 см, главное внимание в теории локально-изотропной турбулентности уделяется инерционному интервалу.

Коэффициент перемешивания для инерционного интервала локально-изотропной турбулентности имеет выражение:

K = k^′ ε^1/3λ^4/3,

где k^′ - числовой множитель порядка единицы, λ – длина возмущающей волны или масштаб турбулентности, ε - средняя скорость диссипации энергии. Эта формула представляет известный «закон четырех третей» Тэйлора-Ричардсона-Обухова.

Для инерционного интервала локально-изотропной турбулентности также важно знать, каким образом энергия турбулентности распределяется по вихрям разных масштабов. Характеристика турбулентности в этом интервале зависит от ε - средней скорости диссипации энергии и от k – волнового числа (или λ – длины волны) Поэтому в теории турбулентности рассматривается функция Φ (k) – как функция спектральной плотности энергии турбулентности между вихрями различных масштабов. Она выражается:

Φ (k) = α ε ^2/3 k^5/3,

где α – универсальная безразмерная константа, равная примерно 1.22, k = 2π/λ - волновое число соответствующего турбулентного вихря, а ε имеет порядок 10^-1 см²с^-3 для ветрового волнения, 10^-2 см²с^-3 для среднемасштабных движений и 10^-5 см²с^-3 для океанских течений. Эта формула представляет «закон пяти третей».

Зависимость самой энергии от скорости диссипации энергии и линейного масштаба турбулентности определяется формулой:

Е (λ) = α ε ^2/3 λ^2/3,

где α – универсальная безразмерная константа, определяемая опытным путем, λ – длина возмущающей волны или масштаб турбулентности, ε - средняя скорость диссипации энергии. Формула представляет «закон двух третей» Колмогорова-Обухова.

Законы «двух третей», «четырех третей», «пяти третей» описывают основные закономерности структуры локально-изотропной турбулентности. При изучении турбулентности как явления эти законы являются фундаментальными, т.е. справедливыми при самых общих положениях.