Теория:

Неявный метод Эйлера.

Простейшим представителем семейства А-устойчивых методов является неявный метод Эйлера

Жёсткие задачи.

1. Понятие о жёсткости задачи. В последние годы при решении задачи Коши явными методами Рунге-Кутты и Адамса значительное число исследователей сталкивается с весьма неожиданным и неприятным явлением. Несмотря на медленное изменение искомых функций, расчёт приходится вести, казалось бы, с неоправданно мелким шагом h. Все попытки увеличить шаг и тем самым уменьшить время решения задачи приводят лишь к катастрофически большому росту погрешности. Обладающие таким свойством задачи получили название жёстких. Сразу же подчеркнём, что жёсткость является свойством задачи Коши (а не используемых численных методов).

Жёсткие задачи встречаются в самых различных областях науки и техники. Традиционными источниками появления таких задач являются химическая кинетика, теория ядерных реакторов, теория автоматического управления, электротехника, электроника и т.д. Жёсткие задачи возникают также при аппроксимации начально-краевых задач для уравнений в частных производных с помощью полудискретных методов (методов прямых).

При использовании классических явных методов наличие в решении быстро меняющейся жёсткой компоненты даже на том участке, где её значение пренебрежимо мало, заставляет выбирать шаг h из условия абсолютной устойчивости. Для жёстких задач это ограничение приводит к неприемлемо малому значению шага h, поэтому численное решение таких задач требует применения специальных неявных методов. Простейшим из них является неявный метод Эйлера.

На рисунках ниже проиллюстрировано принципиальное отличие результатов вычислений, осуществляемых с помощью явного и неявного методов Эйлера.

2. Жёсткие задачи для систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Предположим, что А- матрица простой структуры и все собственные числа этой матрицы имеют отрицательные вещественные части ( ). В этом случае решение задачи асимптотически устойчиво и представляется в виде

Если среди собственных чисел имеются числа с сильно различающимися значениями вещественных частей, то возникает проблема, связанная с наличием в решении компонент, имеющих существенно различные временные постоянные . Через довольно короткий интервал времени поведение решения будет определяться наиболее слабо меняющейся (медленной) компонентой решения. Так, если , то при справедливо приближённое равенство . В то же время применяемый для решения задачи Коши метод должен обладать свойствами устойчивости, позволяющими подавлять наиболее быстро меняющуюся (жёсткую) компоненту погрешности

Отметим, что для медленной компоненты решения временной постоянной является величина ( ).

Их отношение и определяет степень жёсткости задачи.

Пусть для всех . Определим число жёсткости системы с помощью формулы

Будем называть СДУ жёсткой, если для неё S>>1.

Условие устойчивости явного метода Эйлера для системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами : , где , i=1, …, n, – собственные числа матрицы M порядка n.