1	Лекция 3. 15.09.07
	Вероятность суммы двух совместных событий

вычисляется по формуле Р (А + В ) = Р(А) + Р(А) – Р(АВ)

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

Р(А+В+С) = Р(А)+Р(А) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС)+Р(АВС)

.

Условная вероятность события А при наступлении события В – вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло:

P(А /В) = P(А)- для независимых событий

Р(А/В) ≠ P(А)- для независимых событий

2	2.1.2. Теоремы умножения вероятностей
	Несколько события независимы, если любое из
	них не зависит от любой совокупности вероятностей
	остальных.
	Теорема умножения вероятностей зависимых
	событий:
	Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В)	(2.6)
	Теорема умножения вероятностей независимых
	событий:
	Р(АВ) = Р(А) Р(В)	(2.7)
	Следствие 1:

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

	3	Следствие 2:
		Вероятность произведения двух независимых
		событий равна произведению вероятностей этих
		событий.
		Для произвольного числа событий теорема
		умножения вероятностей формулируется в виде:
		Вероятность произведения нескольких событий
		равна произведению вероятностей этих событий,
		причем вероятность каждого следующего по порядку
		события вычисляется при условии, что все
		предыдущие имели место:
		Р(А1А2 … Аk) = Р(А1)Р(А2 / А1 )Р(А3 / А1 А2 ) …
		…Р(Аn /А1А2 … Аn-1).

4 Для независимых событий теорема умножения упрощается

Р(А1А2 … Аk) = Р(А1)Р(А2 )…Р(Аn ),

т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

На практике обе теоремы обычно применяются совместно, причем вероятность определяемого события пр6едставляется в виде суммы нескольких несовместных событий (вариантов данного события), каждое из которых само является произведением событий.

5	Общее правило сложения вероятностей.
	Рассматривая таблицу с вероятностями различных комбинаций
	событий А, А, В и В вида

мы по правилу сложения получим равенство
Р(А) = Р(АВ) + Р(А В),	а)

так как событие А может наступитьВ лишь в двух несовместных между собой видах: или вместе с В или без него, т. е. с. .

Рассмотрим еще событие А+В, т. е. наступлениеАВ по крайней мере события А или В. Очевидно,

А
дополнительным событием к А+В будет , т. е. непоявление ни А, ни В. Поэтому согласно
Р(А)+ Р( )=1					А	В
будем иметь: Р (А +В) +							) = 1 или
	АР		В(
Р (А + В) = 1 — Р (	).									б)
								В

Так как сумма всех четырех вероятностей, стоящих в клеточках таблицы 2.2.2, равна единице,

		В	А	А
то, учитываяА		В(2.2.7), получим:
1 — Р ( ) = Р (АВ) + Р (А ) — Р (			В) = Р (А) — Р (		В),	в)
с другой стороны,
Р(В) = Р(В) — Р(АВ).						г)
Из б) , в) и г) находим:

Р(А + В) = Р (А) 4+ Р (В) — Р (АВ),А

т.е. вероятность суммы двух событий (совместных или несовместных) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности совместного их наступления.

6Пример1. Техническое устройство состоит из трех агрегатов — двух агрегатов первого типа — А1 и А2 — и одного агрегата второго типа — В Агрегаты А1 и А2 дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован

Для того чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно чтобы

одновременно отказали оба агрегата А1 и А2 или же агрегат В. Таким образом, отказ устройства — событие С — представляется в виде:

С=А1А2 + В,

где А1 — отказ агрегата А1, А2 — отказ агрегата А2, В — отказ агрегата В.

Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий А А и В.

Решение. По формуле Р(А+В) = Р(А)+Р(В) — Р(АВ) имеем:

P(C) = P(AlA2) + P(B)-P(A1 A2B);

по формуле Р(АВ) = Р(А)+Р(В) — Р(А+В).

Р (AlA2) = Р(A1)+ Р (А2) -Р(А1+ А2);

по формуле Р (ABC) = P (A) + Р (В) + Р (С) — Р (A + В) —

— Р(А+С) — Р(В+С)+Р(А + В+С).

P(A1A2B) = P(A1) + P(A2) + P(B)-P(A1+A2)- -P(A1 + B)-P(A2 + B) + P(A1+A2+B).

Подставляя эти выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим;

7Пример 2. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (вероятность

безотказной работы) первого узла равна p1, = 0,8; второго р2 = 0,9; третьего р3 = 0,7. Найти надежность прибора в целом.

Р е ш е н и е. Обозначая:

А — безотказная работа прибора, A1 — безотказная работа первого узла, А2— безотказная работа второго узла, А3 —

безотказная работа третьего узла, имеем:

А = А1А2А3,

откуда по теореме умножения для независимых событий

Р (А) = Р(А,)Р (А2) Р (А,) = p1p2p3 = 0,504.

8	3.Критерии и количественные характеристики
	надежности

Критерием надежности называется признак, по которому можно количественно оценить надежность различных устройств.

К числу наиболее широко применяемых критериев надежности относятся:

-вероятность безотказной работы в течение определенного времени P(t);

-средняя наработка до первого отказа Tср;

-наработка на отказ tср;

-частота отказов f(t) или a(t);

-интенсивность отказов l(t);

-параметр потока отказов w(t);

-функция готовности Kг(t);

-коэффициент готовности Kг.

9		Характеристикой надежности следует называть
		количественное значение критерия надежности
		конкретного устройства.
		3.1 Критерии надежности
		невосстанавливаемых объектов
		Рассмотрим следующую модель работы
	устройства.
		Пусть в работе (на испытании) находится N0
	элементов и пусть работа считается законченной, если
	все они отказали. Причем вместо отказавших
	элементов отремонтированные не ставятся. Тогда
	критериями надежности данных изделий являются:
	- вероятность безотказной работы P(t);
	- частота отказов f(t) или a(t);
	- интенсивность отказов (t);
	- средняя наработка до первого отказа Tср.

10	Вероятностью безотказной работы (ВБР) называется
	вероятность того, что при определенных условиях
	эксплуатации в заданном интервале времени или в
	пределах заданной наработки не произойдет ни одного
	отказа.
	Обозначив Р время непрерывной исправной работы
	объекта до первого отказа, а t – время, за которое нужно
	определить ВБР, то, согласно определению,
	P(t) = P(T≥ t),	t ≥ 0	(3.1)
	где T - время работы элемента от начала до первого
	отказа; t - время, в течение которого определяется
	вероятность безотказной работы.

11 Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением

(t) = [N0-n(t)] / N0 ,

(3.2)

или

(3.2а)

где N0 - число элементов в начале работы (испытаний);

n(t) - число отказавших элементов за время t; (t) - статистическая оценка вероятности безотказной работы.

При большом числе элементов (изделий) N0

статистическая оценка (t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P(t).

На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа Q(t).

	12
		Вероятностью отказа называется вероятность
		того, что при определенных условиях эксплуатации
		в заданном интервале времени возникает хотя бы
		один отказ. Отказ и безотказная работа являются
		событиями несовместными и противоположными,
		поэтому
		Q(t)=P(T t),	Q	(t)	=n(t)/N0, Q(t)=1-P(t), 0 t
		(3.3)
		Q(t)-интегральная функция распределения
		случайной			F(t)

Рис.1. Вероятности безотказной работы и отказа

13	Статистически вероятность отказа равна

(3.3а)

Если функция Q(t) дифференцируема, то производная от интегральной функции распределения – дифференциальный закон или плотность распределения случайной величины Т – времени безотказной работы:

f (t) dQ(t)	dF(t)	- dP(t)	(3.4)
dt	dt	dt

14	Плотность вероятности f(t) также может
	характеризовать безотказность объекта.

Рис 2.Плотность вероятности момента первого отказа

15	Частотой отказов по статистическим данным
	называется отношение числа отказавших элементов в
	единицу времени к первоначальному числу
	работающих (испытываемых) при условии, что все
	вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.
	Согласно определению
	(t) = n( t) / N0 t,		(3.4а)
	где n( t) - число отказавших элементов в интервале
	времени от (t t)/2 до (t+ t)/2.
	Частота отказов есть плотность вероятности (или
	закон распределения) времени работы изделия до
	первого отказа. Поэтому
	P(t) = 1 - Q(t),	P(t) = 1 -	(3.5)

.Статистически плотность вероятности отказа равна (3.4б)

16	Интенсивностью отказов по статистическим
	данным называется отношение числа отказавших

изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени.

Согласно определению
(t)= n( t) / (Nср t),	(3.6)

где Nср = (Ni + Ni+1) / 2 - среднее число исправно работающих элементов в интервале t; Ni - число

изделий, исправно работающих в начале интервалаt; Ni+1 - число элементов исправно работающих в

конце интервала t

17
	Вероятностная оценка характеристики (t) находится из
	выражения
	(t) = f(t) / P(t)	(3.7)

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой зависимостью

P(t) = еxp

(3.8)

18	Средней наработкой до первого отказа называется
	математическое ожидание времени работы элемента
	до отказа.
	Как математическое ожидание, Tср вычисляется
	через частоту отказов (плотность распределения
	времени безотказной работы):
	M[t] = Tcр	(3.9)

Так как t положительно и P(0)=1, а P( )=0, то

Tcр =

(3.10)

19	По статистическим данным об отказах средняя
	наработка до первого отказа вычисляется по формуле

(3.11) где ti - время безотказной работы i-го элемента; N0 -

число исследуемых элементов.

Как видно из формулы (4.2.11), для определения средней наработки до первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов.