batehina_lineinaya_algebra

		0
		0
Если	B =		,	то система называется однородной.
		...
		0

Напомним, что решением системы линейных уравнений с n неизвестными называется упорядоченный набор чисел X = ( x1 , x2 ,..., xn ) , удовлетворяю-

щий всем уравнениям системы одновременно.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Система называется неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Критерий совместности системы уравнений выражается теоремой: Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных уравне-

ний была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы A был ра-

вен рангу расширенной матрицы A .

Теорема о числе решений. Если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы A и равен числу неизвестных, т.е. rang A = rang A= n , то сис-

тема уравнений имеет единственное решение. Если rang A = rang A < n , то система имеет бесконечно много решений.

Замечание 1. Если rang A ¹ rang A , то система несовместна.

Замечание 2. Матрица A получается из матрицы A добавлением справа столбца из свободных членов.

Замечание 3. Если система однородная, то к матрице A добавляется столбец из нулей, который не влияет на ранг матрицы.

Замечание 4. Если в однородной системе Крамера определитель матрицы

A не равен нулю, т.е. det A = D ¹ 0 ,		то система имеет единственное решение
x1 = x2 = ...= xn = 0.
Если = 0, то система имеет бесконечно много решений.
1. Решение систем методом Крамера.
Теорема. Если D = det A ¹ 0 ,	то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам x	=	k (k = 1, 2,..., n) , где определитель	k
k

получается из определителя заменой k - го столбца на столбец из свободных членов.

11

Задача 1. Решить систему методом Крамера.

x - y + 2z = 0,		1		-1	2					0				x
	A =							B =					X =
3x + 2 y + 3z = 4,			3	2	3		,			4		,		y .
			5	4	-7					0
5x + 4 y - 7z = 0;														z

	(-5) (-3)			1	-1	2				1
											-1 2			=1×(-1)1+1 ×		5	-3
D = det A =	+			3	2	3	=			0	5	-3						=
	+			5	4	-7				0	9	-17				9	-17

=- 85 + 27 = -58 ¹ 0 , следовательно, формулы Крамера применить можно. Заменим первый столбец столбцом B (столбец из свободных членов).

D =			0						-1		2									= 4 ×(-1)2+1 ×					-1 2						=- 4 ×(7 - 8) = 4 .
			4					2			3
1																									4	-7
			0						4		-7
Заменим второй столбец столбцом B .
D2 =							1		0		2						= 4 ×(-1)2+2 ×						1 2						=4 ×(-7 -10) = -68 .
							3		4		3
																							5			-7
							5		0		-7
Заменим третий столбец столбцом B .
D3 =						1			-1			0			= 4 ×(-1)2+3 ×							1				-1		=- 4 ×(4 + 5) = -36 .
							3 2					4
																						5				4
						5			4			0
																																4		2		2	=	68	=	34
Получим решение системы: x =																										1			= -				= -		, y =						,
																										D										D
									36			18																	58				29				58 29
z =	3 =									=								.
									58
	D										29

Проверка. Подставим найденное решение

	2		34					36							-2 - 34	+ 36
-		-				+					= 0,						= 0,
	29		29					29							29				0 = 0,
	6		68					54							-6 + 68 + 54
-		+				+						= 4,					= 4,		4	= 4,
	29		29					29							29
																				= 0.
	10		136						126						-10 +136 -126				0
-		+					-						= 0;					= 0;
	29		29						29						29

в исходную систему.

	-	2		34		18
Ответ:			,		,		.
		29		29		29

2. Решение систем матричным способом.

Имеем матричное уравнение AX = B , если D = det A ¹ 0 , то существует

матрица A−1 обратная для матрицы A . Умножим равенство AX = B на A−1 слева A−1 × A × X = A−1 × B, E × X = A−1 × B (Е – единичная матрица), т. е. X = A−1 × B .

12

		Задача 2. Решим задачу 1 матричным способом. Тогда										= −58 , следова-
	тельно,		A−1 существует и находится по формуле A−1 =						1	( A	)τ	, i, j =1,2,... , где
									D
										ij
	( Aij )τ	–	матрица из дополнений к элементам aij , τ – операция транспонирова-
	ния (замена строк столбцами).
			1	-1	2	0		x
			A= 3	2	3 , B =	4	,	X = y , D =- 58 .
				4
			5		-7	0		z

Найдём A−1 . Для этого найдем дополнения ко всем																																													элементам матрицы A , од-
новременно выполняя операцию транспонирования.
A =(-1)1+1 ×					2 3																	= -14 -12 = - 26 ,																	A =(-1)2+1 ×									-1 2												= - (7 - 8)=1,
11					4										-7																									21								4						-7
A =(-1)1+2 ×																					3 3				= -(-21 -15)= 36 ,														A =(-1)2+2 ×													1 2						= -7 -10 = -17 ,
12											5				-7																									22												5		-7
A =(-1)1+3 ×								3 2									= 12 -10 = 2 ,																						A =(-1)2+3							×				1 -1						= - (4 + 5)= - 9 ,
13								5							4																									23										5				4
A =(-1)3+1 ×																			- 1 2				= - 3 - 4 =- 7 ,
31										3					3
A =(-1)3+2				×										1 2					= -(3 - 6)= 3 ,
32														3	3
												1			-1																														26									1	-7
A =(-1)3+3				×																						= 2 + 3= 5 .								Тогда					A−1 =-			1	×		36									-17	3						.
33												3			2																											58
																																														2								-9	5
																																					1	-1			2			-										-26							1 -7
Выполним проверку: A × A−1 = E ×																																					3	2			3	×				1								×	36						-17 3	=
																																					5	4 -7								58									2						-9 5
		1 -1													2																			-26		1				-7
																														1
		3 2													3												×	-					×	36			-17			3		=
		5 4													-7													58						2			-9			5
				-26 - 36 + 7																													1 +17 -18						-7 - 3 +10
		1
= -			×								-78 + 72 + 6																						3 - 34 - 27						-21 + 6 +15							=
		58		-130 +144 -14																													5 - 68 + 63						-35 +12 - 35

13

		-58 0			0			1		0	0
= -	1			-58			=							−1
			0		0				0	1	0	.	Матрица A		найдена верно.
	58
			0	0	-58				0	0	1

															-26						1		-7
							−1				1
Следовательно,						A		=-						×	36					-17				3		. Для дальнейшего решения удобно
										58						2				-9				5
A−1 оставить в таком виде.															Подставим									A−1 в исходное матричное уравнение
X = A−1 × B .
			-26 1						-7						0								0 +			4 +	0					4
	1																				1									1
X =-		×			36	-17			3				×		4				= -					0		-68 +	0		= -			-68		=
	58																				58
					2	-9			5						0									0		-36 +	0			58		-36
						( 3×		3)			× (3					×1)					= ( 3 ×1)

		-		4					-		2
				58							29
=			68				=			34				=
		58							29
			36							18
		58							29

x

y ,

z

x = - 2 , 29

y= 34 , 29

z= 18 . 29

Получили тот же результат, что и в задаче 1. Это свидетельствует о правильности решения.

5. РЕШЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения).

Суть метода состоит в том, что матрицу A с помощью элементарных преобразований над строками приводят к треугольному или трапецевидному виду (прямой ход метода Гаусса). Для этого выбирают направляющий элемент (удобнее ±1), стоящий на первом месте в какой либо строке. Эту строку называют направляющей. С помощью умножения этой строки на число и сложения строк добиваются, чтобы в первом столбце все элементы, кроме направляющего, обратились в 0. При этом направляющую строку не меняют. На втором этапе выбирают направляющий элемент в другой строке. Добиваются, чтобы во втором столбце появились нули и т.д. Затем решают систему снизу вверх (обратный ход метода Гаусса).

14

																																													x - 2x + 3x														= 4,
																																																1		2								3
						Задача 1. Рассмотрим систему 3x1 - 4x2 + x3 = -8,
																																																								+ 4x3 = -5.
																																													4x1 - 6x2
				(-4) (-3)																		1						-2	3				4												1 -2												3					4				1 -2							3									4
A =															+								3 -4						1			-8				(				-1)								0 2							-8						-20						0 2						-8									-20		.
						+																	4 -6						4			-5								+								0 2							-8						-21						0 0											0				-1
rang A = 2,															rang												=3, т.к. ранги не совпадают, система несовместна.
																									A
																																							2x1 - 3x2 + x3 - x4 = -1,
																																							x - 2x + 3x + 2x = -4,
																																										1							2				3						4
						Задача 2. Решить систему																																	3x1 + x2 - 2x3 + 3x4 = -19,
																																							-4x + x											- 2x							=15,
																																													1				3						4
																																							3x						+ 2x + 4x = -4.
																																										2							3						4
																																																(-3) × (-2)
															2 -3 1 -1																							-1				4 ×																	×			1		-2 3											2			-4
																								-2 3 2														-4																			+								-3 1								-1					-1
																				1																																										2
										=														1 -2 3														-19											+													3 1 -2											3					-19
								A
																			3
																	-4 0 1												-2									15				+																				-4 0 1											-2					15
															0 3 2 4																							-4																							0 3 2														4			-4
															1 -2 3															2					-4													1 -2										3					2				-4
-												-7															-5		-5																												-5 -5
			3 8													0							1												7														0 1																		7
																																												1
												+				0											-11		-3						-7										×				0 0								24 32									-56
																					7
																																										8
				+												0				-8 13									6						-1														0 0								-27 -34									55
+															0 3											2				4					-4													0 0									17					19				-25
																							1			-2			3							2						-4																1	-2						3				2						4
																																																										0 1 -5 -5
																							0 1						-5 -5													7																																	7
						17																																																				0 0 3											4						-7
				-									×			9		×					0 0							3			4									-7								1
						3																																															×					0 0 0											2						-8
																+							0 0						-27 -34													55
						+																																												2
																																																																					11						44
																				0 0 17 19																					-25									3				×			0 0 0										-
																																																																						3						3
																																																		11

15

			1 −2			3	2		4			1 −2			3	2		4
				0	1	−5 −5			7				0	1	−5 −5			7
				0	0	3	4		−7				0	0	3	4		−7			.
				0	0	0	1		−4				0	0	0	1		−4
+							−1
			0		0	0			4			0		0	0	0		0

Последнюю строку из нулей вычёркиваем, rangA= rang A = 4 , система совмест-

на. Так как неизвестных тоже 4 –

система

имеет единственное

решение. Ре-

шаем систему снизу вверх

x4 = −4

Из третьей строки: 3x + 4x

4

= −7, 3x = −7 − 4x ,

3x = −7 + 16, 3x

= 9 ,

x = 3 .

3

3

4

3

3

3

Из второй строки: x2 - 5x3 - 5x4 = 7, x2 = 7 + 5x3 + 5x4 ,

x2 = 7 + 5 ×3 + 5 ×

(-4),

x2 = 7 + 15 − 20,

x2 = 2.

Из первой строки:

x1 - 2x2 + 3x3 + 2x4 = -4, x1 = -4 + 2x2 - 3x3 - 2x4 , x1 = -4 + 2 × 2 - 3 ×3 - 2 ×(-4),

x1 = −4 + 4 − 9 + 8,

x1 = −1.

( x1, x2 , x3 , x4 ) = (-1, 2, 3, - 4) . Проверка показывает,

что данный набор чисел

является решением системы.

2x1 + x2 -

x3 - x4 =

1,

Задача 3. Решить систему - x1 - 2x2 +

x3 -

2x4 =

0,

5x + x

2

- 2x

3

- 5x

4

=

3.

1

Первое и второе уравнения поменяем местами и составим расширенную матрицу, которую приведем к трапецевидному виду:

					5 × 2 -1							- 2 1 - 2				0							-1 -2 1			-2		0
												1 -1 -1						~ (-3) ×							-3 1	-5
			A =							2						1								0				1		~
											5	1 - 2 - 5				3								0	-9 3	-15		3
-1			- 2				1					- 2	0
	0		- 3									- 5
							1						1	. rang A=rang A =2, система совместна.
	0		0				0					0	0

Т.к. 2 < n=5 – система имеет бесконечно много решений.		−1	− 2		≠ 0, его
		0	− 3
можно принять за базисный. Следовательно, неизвестные	x1, x2 ,		входящие в

этот минор, являются базисными, x3, x4 – свободными. Решая систему снизу вверх, из второй строки получим:

16

-3x2 + x3 - 5x4 =1, 3x2 = -1 + x3 - 5x4 , x2 = 1 (-1 + x3 - 5x4 ) 3

Из первой строки получим уравнение:																												−x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 0 . Решим его отно-
сительно			x1 .									x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 0,																x1 = −2x2 + x3 − 2x4 .													Подставим в это
уравнение значение x2																			и получим:
	x = −					2		(−1 + x − 5x ) + x − 2x , x =																					2	−	2	x +			10				x + x − 2x ,
	1			3										3					4				3			4	1	3			3	3	3						4	3		4
	x =		2		+				1	x				+	4		x .
			3
	1						3				3			3				4
																																x =				1		(2 + x + 4x ),
																																1	3							3	4
	Решение системы запишем в виде:																															x2	=	1			(−1 + x3 − 5x4 ),
																																	3
																													x3		= свободная переменная,
																													x		= свободная переменная.
																													4
	Положим x3 = С1,																		x4			= C2,			гдеC1, C2 R.							Общее решение системы
														1
								x1 =									(2		+ С1 + 4С2 ),
														3
														1
примет вид:								x =								(-1 + С - 5С										),
											2			3								1			2
											x3 = C1, где С1 Î R,
											x = C							2,	где C				2	Î R.
											4
Задача 4.			Решить линейную однородную систему уравнений:
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 - x5 =																												0,
															+ 3x4 + 2x5 =													0,
3x1 + x2 - 8x3
	x + 2x			2			+ 2x						3		+ x					4	+ 6x =							0.
	1																								5
Составим матрицу A, меняя уравнения местами.
	(-3) × (-2) × 1																2 2 1 6														1 2								2 1 6
A =							+					2					3 1 2 -1 ~										(−1) ·				0 −1 − 3 0 −											13 ~
																															0 − 5 − 14 0 −
	+											3					1 -8 3 2																									16

17

		1 2						2	1			6		1 2 2						1	6
5 ×			0	1				3	0			13				1	3			0
														~ 0							13 .
				-5			-14 0 -16									0	1
			0												0					0	49
						1	2		2		¹ 0, rang A = 3, поэтому n–rang A = 5–3=2. x1, x2 , x3 , входящие
Минор						0	1		3
						0	0		1

в минор –	базисные,					x4, x5 –		свободные.		Решая систему, снизу вверх получим:
		x2 + 3x3 + 13x5 = 0, x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 6x5 = 0,											x4 − своб.переменная,
x3 = −49x5 ,		x2	= -3x3 -13x5 ,					x1 = -2x2 - 3x3 - x4 - 6x5 ,
		x	=147x			-13x ,		x = -268x		+ 98x	- x - 6x ,		x - своб.переменная.
		2			5		5	1	5	5	4	5	5
		x2 =134x5.						x1 = -176x5 - x4 .
Если принять,				например, x4 = 0, x5 = 1,					затем		x4 = 1, x5 = 0 , то найденная пара
		-176			-1
		134				0
решений		-49		,		0	образует фундаментальную систему решений. Общее
		0				1
		1				0

			x						-176						-1
				1
			x2						134						0
решение системы выглядит следующим образом: x							= C ·		- 49		+C		·		0
					3		1					2
			x4						0						1
									1
			x5												0
	x1 = -176C1 - C2, ,
	x2 =134C1,
или	x3 = -49C1,
	x = C
	4		2,
	x = C .
	5	1

18

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

Задача 1. Выполнить действия над матрицами.

1	Найти матрицу				5A + 7B − 8C ,
	если	A =	0		2	4	5		, B =		−1 4					3 6			, C =			5		6 5 6
																										.
			1		3	6	7				2			0 −5 8								6		5 6 5
2	Найти матрицу					6 A − 2B + 4C ,
			2		7	2	1				1		0 1 4							2 3				1 2
	если	A =		1	1	3	1		, B =			2	1		3	0					3		2	2	1
																	, C =									.
				5	6	7	8					3	2 0 0								2 3			1 2
3	Найти матрицу				3A + 2B − 4C ,
	если	A =	0 1			−1			−2				1 0					1		2 3
							, B =									, C =							.
			2 1			−4			−3				0 2					4		5 6
4	Найти матрицу				5A − 6B + 2C ,
		A =	2		7	8	2		, B =		1		0 0 2							4 5				1 2
	если																, C =								.
			3		1	1	3				2		1 8 9							2 1				3 2
5	Найти матрицу				5A + 6B − 7C ,
		A =	2		3	1 2			, B =		1		2 9 11							0 1 0 1
	если																	, C =							.
			4		5	6 7					2		4 2 4							2 1				2 1
6	Найти матрицу					2 A + 6B − 5C ,
		A =	2		4	2	2		, B =		0		1 2 3							5 6				7 8
	если																, C =								.
			5		3	1	1				1		0 3 2							8 7				6 5
7	Найти матрицу				5A − 3B + 4C ,
			1		5	8			8 0				1			1 0				0
	если	A =		4	7	3				3		2	5					0	2	0
							, B		=						, C =							.
				1	2	6				1 1			1					0 0		3
8	Найти матрицу 8A − 7B + 2C ,
		A =	1		3	5	7			2			5 1 3						0 4					6 1
	если				4	6			, B =							C =									.
			2				8			7			6 4 2						3 5					7 2
9	Найти матрицу				5A − 6B + 7C ,
			1		5	6	3				4		7 4 7							0 3				1 2
	если	A =		2	7	1	4		, B =			7	4		7	4					1		2	3	0
																	, C =									.
				1	1	2	3					1	2 2 1								3 2			0 1
10	Найти матрицу 8A + 2B − 5C ,
			1		4	7			2 1				3			0 3				5
	если	A =		2	5	6				1		3	2					5	4	1
							, B		=						, C =							.
				3	1	8				3 1			2					6 7		0

19

11	Найти матрицу					2 A + 7B − 5C ,
			2		1	4	5				1		3 3 1					2		5	3 1
	если	A =		1	8	3	1		, B	=		2	1	1	8		, C =		4	2	0	3
																							.
				2	7	4	5					4	0 0 2						1	1 0 1
12	Найти матрицу					2 A − 7B + 4C ,
			2		4	7	8				0		3	2	1			4		7	8 9
	если	A =		1	3	0	2		, B	=		4	5	0	2		, C =		9	8	7	4
																							.
				4	5	6	1					1	3	1	3				5	6	6 5
13	Найти матрицу					2 A − 8B + 9C ,
			3		4	5	6				4		7	1	9			0		8	3 5
	если	A =		1	0	1	0		, B	=		1	0	2	1		, C =		6	7	5	7
																							.
				2	3	7	4					3	1	7	8				3	4	2 1
14	Найти матрицу				5A − 2B + 4C ,
			3		5	1	8				4		1 2 3					1		2 2 1
	если	A =		4	1	2	3		, B	=		5	0	8	9				0	3	5	6
																, C =							.
				3	2	4	1					1	3 0 1						7	8 9 6
15	Найти матрицу					2 A − 7B + 5C ,
			1		2	4	5				4		2	3	8			1		2	3 4
	если	A =		6	3	1	2		, B	=		1	2	5	6		, C =		4	3	2	1
																							.
				3	1	8	9					3	1	8	9				1	2	2 1
16	Найти матрицу					2 A − 7B + 5C ,
			1		2	4	5				2		3	3	3			1		2 0 3
	если	A =		2	3	1	0		, B	=		1	2	2	2		, C =		4	5	1	2
																							.
				4	5	7	8					5	6	5	6				3	1 0 7
17	Найти матрицу					4 A − 7B + 8C ,
			1		2	5	7				7		3	2	1			4		4 4 4
	если	A =		4	8	9	1		, B	=		1	2	3	7		, C =		2	2	2
																						2 .
				3	2	0	4					4	8	9	6				1	2 1 1
18	Найти матрицу					4 A + 13B − 6C ,
			1		2	3	4				4		7	8	0			1		2	1 1
	если	A =		2	3	4	5		, B	=		5	6	3	1		, C =		2	2	0
																						1 .
				7	8	9	0					2	0	3	1				4	2
																					3 1
19	Найти матрицу					4 A + 2B − 6C ,
			4		7	2	1				1		6	7	3			4		3 1 2
	если	A =		3	8	3	0		, B	=		2	3	4	1		, C =		0	8	1	8
																							.
				0	1	2	3					3	5	6	8				4	3 2 5

20