II. Механика и элементы специальной теории относительности

1. Кинематика поступательного и вращательного движения материальной точки

Механика занимается изучением механического движения тел, заклю­ча­ющегося в изменении пространственного положения тел или их частей с течением времени. Классическая механика изучает движение макроскопических тел, движущихся со скоростями много меньше скорости света. В основе классической механики лежат законы Ньютона.

Кинематика занимается математическим описанием различных видов движе­ния, не интересуясь причинами, вызвавшими это движение. При описании движения тел широко используются упрощённые модели: материальная точка, абсолютно твёрдое тело и т.д.

Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Абсолютно твёрдым телом называется тело, деформацией которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

1.1. Система отсчёта. Траектория, перемещение и путь материальной точки

Положение тела в пространстве можно указать только по отношению к другим телам. Поэтому для математического описания движения тел вводится система отсчёта. Системой отсчёта называется система координат, связанная с телом отсчёта и снабжённая синхронизированными часами. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат, хотя для решения конкретной задачи может быть использована любая другая.

Положение материальной точки характеризуется радиусом-вектором , проведённым из начала координат в данную точку, либо проекциями радиуса-вектора на координатные оси:

.

Движение материальной точки задано, если известна зависимость координат точки от времени, т.е.

.

Данные уравнения являются кинематическими уравнениями движения материальной точки, или законом движения точки. В процессе движения конец радиуса-вектора, связанный с точкой, описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения материальной точки. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения.

Рис. 1

Перемещением материальной точки назы­ва­ют вектор, проведённый из начальной точки в конечную точку траектории (рис. 1).

Вектор может быть выражен через пере­ме­ще­ния вдоль координатных осей:

Путь материальной точки S₁₂ - это сумма длин всех участков траектории, пройденных точкой за про­межуток времени t₁₂. Согласно определению, путь не может быть отрицательной величиной (S₁₂ > 0).

При рассмотрении движения тела относительно двух различных инерциальных систем отсчета используют классический закон сложения скоростей.

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системыи скорости самой движущейся системы относительно неподвижной:

.

1.2. Скорость материальной точки

Скорость - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения тела в пространстве, равная перемещению тела за единицу времени.

Различают среднюю и мгновенную скорости.

- средняя скорость,

- мгновенная скорость,

- среднее значение модуля скорости.

Вектор средней скорости направлен так же, как и вектор перемещения . Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения так же, как вектор элементарного перемещения:. Так как, где dS - элементарный путь, то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени:

.

В декартовой системе координат скорость можно представить через её проекции на оси:

;

.

1.3. Ускорение материальной точки

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, равная приращению скорости за единицу времени.

- среднее ускорение,

- мгновенное ускорение.

Вектор ускорения может быть представлен через его проекции на координатные оси: , где,,.

.

Часто используется представление ускорения через две составляющие: тангенциальное и нормальное ускорения (рис. 2):

;

.

Т

Рис. 2

ангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю (величине) и направлено по касательной к траектории:

, где - производная модуля скорости,- единичный вектор касательной.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и направлено по нормали к траектории к центру кривизны траектории в данной точке.

, R - радиус кривизны траектории, - единичный вектор нормали.

.

1.4. Прямая и обратная задачи кинематики

Все приведённые выше соотношения позволяют решить прямую задачу кинематики: по известному закону движения найти кинематические характеристики (скорости и ускорения). Очень часто необходимо решить обратную задачу кинематики: по кинематическим характеристикам найти закон движения материальной точки. Для этого используются следующие соотношения:

; ;;;;.

Виды движений

1) равномерное прямолинейное движение: ;

2) равнопеременное прямолинейное движение:

;

3) равномерное движение по окружности ;

4) равнопеременное криволинейное движение: ;

5) неравномерное криволинейное движение .

1.5. Угловые перемещение, скорость и ускорение.

При вращении тела, составляющие его материальные точки движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения. Положение тела в пространстве определяется углом поворота тела из некоторого начального положения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие математические характеристики (рис. 3):

1. 

   Рис.3

   
   Угловое перемещение - вектор, численно равный углу поворота телаза времяи направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта.

2. Угловая скорость - характеризует быстроту и направление вращения тела, равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.

; ;.

3. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно первой производной угловой скорости и направлено вдоль оси вращения. ;;.

Закон вращения тела это . При равномерном вращении: = 0  = const,  = t. При равнопеременном вращении:  = const,  = ₀+t, .

Для характеристики равномерного вращательного движения используются также такие величины, как период вращения и частота вращения.

Период вращения Т - промежуток времени, в течение которого тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью , совершает один оборот (=2).

Частота вращения n - количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени. .

1.6. Связь между векторами угловых и линейных кинематических характеристик

Рис.4

В соответствии с рис. 4 можно записать:

2. Динамика поступательного и вращательного движения

2.1. Законы Ньютона