Математический анализ

1.Задачи об объеме цилин.тела.Опр.двойного интеграла.Т.сущ.2-го интегр.Геометр.смысл. Опр:Цилиндр.тело:тело огр.цилин.замкнутой пов.с образ.||Oz,пл.z=0,и пов.z=f(x,y).Если рабить его на отдель.площ.то егоV=lim(nк бес,Siк0) (от i=1доn)f(Xi,Yi)Si. Мах диам.площ(наиб.раст.м/у её гран) к0. (от i=1доn)(от j=1доm)f(Xi,Yi)Si –двумер.интегр.сумма f(x,y)вД, соответ.данному разбиен.на элем.и выбору на них (.)Pi.Опр:Пред. этой суммы,если он сущ.и незав.от способа разбиения ни от.выбора точек, при услов.что разбив.неогранич.возраст,а мах диам.элем.площ.стр.к0.- двойной интеграл.ф-ии f по обл.Д. Т:Если ф-яf(x,y)в об.Допред,неприр за исключ.быть может конечного числа линий разрыва,то ф-я интегрир по этой обл. Геом.смысл-Обьем тела.	2.Вычисление 2-ого интегр.в ДОСК. Чтобы выч.2-ой интегр.-берут внутрен.интегр.по у,при фиксир.х,затем зам. границы у на 1(х) и(х)(гран.интегрир)-получ.интеграл.завис.только от х берут его,в результате получ.число-значение 2-ого интегр.при этом обл.до- лжна быть правильной относ у,т.е.прямые ||оси оу,пересекают её небольше чем в двух точках.Если в обл.Д нельзя вести интегрир.ни одним из указан. способом-её разбив.на части.
3.Двойной интеграл в полярных координатах. В случаях,когда обл.интегрир.-часть круга,при выч.2-х интегр.удобнее Пользоваться поляр.коорд.Чтобы преобраз.2-ой интегр.в Дк,в Дк в по- лярных-х и у в подинтегр.ф-ии надо заменить на pCos и psinа эл.s ds на pdpd.Его выч.сводиться к выч.повторных интегр,внутр.бер.поР,в- нешний по .	4.Зад о массе неоднор.тела.3-ой интегр и св-ва.Т.сущ.3-ого интегр. Пусть надо найти m тела с конечным V.р которого является неприр.ф-ией Разобьем тела на элем.отрезки.В кажом из них р-постоян.M=lim(nк бес,ma- x диам Viк0)(от i=1доn)(Xi,Yi,Zi)Vi. –интегр.сумма ф-ии вV,соответ. данному разбиен.на элем.и выбору на них (.)Pi.Опр:Пред.этой суммы,если он сущ.и незав.от способа разбиения ни от.выбора (.) Mi.Опр:Пред.этой суммы,если он сущ.и незав.от способа разбиения ни от.выбора (.),при усл- ов.что разбив.неогранич.возраст,а мах диам.элем.площ.стр.к0.-тройной инт ф-ии f по обл.V. Т:Если ф-яf(x,y,z)в об.Vопред и неприр ф-я интегр по это й обл.Св-ва 2-ого интегр:1)Не зав от обознач.перем.2)Пред. суммы=сумме пределов3)Константу можно вынести4)Если V разбита на 2-е не имеющ. внутр.(.)обл-интегр=сумме 2-х интегралов5)Если всюду вV f(x,y)>g(x,y) интf>g.
5.Выч.3-ого интегр.Мех.смысл. Т:Если облV огр.снизу и сверху поверхностями z=1(x,y),z=2(x,y)то (V)f(x,y,z)dxdydz=(V)dxdy(1(x,y),2(x,y))f(x,y,z)dz.Мех:(V)(x, y,z)dxdydz=M.при -плот.в каждой точке тела.	6.3-ой интегр.в сфер.и цилиндр.координ. Сфер:Полож.(.)опр.3-я числами:р,,.где р-раст.М до нач.координ.-угол м/у проекциейR(радиус-вектором М на пл хоу) и осью Ох,опис против час. стрелки.-угол м/уR и осьюOz отход.от Oz.Х=рSinCos;Y=pSinSin;Z=p Cos;dV=p^2Sindpdd;Cфер.коор.примен.для тел.огр.сферой и конусом. Цилиндрич:Полож.(.)опр.3-я числами:р,,z.где р,-полярные координ.в пл.хоу,проекции М на эту пл.Z-аппликата М.X=pCos;Y=pSin;Z=z.
1.Задачи о нахождении массы матер.кривой. Дана неприрыв.плоск,скрешаемоя примая L,вдоль каторой неприр.об- разом распред.масса,и известна линейная плот. во всех точках кривой Разобьем дугу на элем.дугиИз элементар.дуг выб.(.)Ni(xi,yi,zi) и полож что плот.в каждой(.)дуги такая как в(.)Ni.Mi=(xi,yi,zi)Li.M=lim(nк бес,max Liк0)(от i=1доn)(Xi,Yi,Zi)Li.	2.Крив.интеграл1род.Т.сущ.Опред,геом.и мех.смысл.Его вычисление. Пусть ф-я U=f(x)-неприр.в некотор.обл.Д и линия L целиком располож.вД. Разобьем дугу на элем.дуги.Из элементар.дуг выб.(.)Ni(xi,yi,zi)и выч.в ней знач.ф-ии.(от i=1доn)f(Xi,Yi,Zi)Li.–интегр.сумма,соответ. данному раз- биен.на элем.дуги и выбору на них(.)Ni.Опр:Пред.этой суммы,если он сущ. и незав.от способа разбиения ни от.выбора (.) Ni.число разбиен.к бес, длин. стр.к0.-крив.интеграл 1-ого рода.Т:Если ф-яf(x,y,z)-неприр.на спрем. непр. кривой АВ-она интегрир.вдоль этой кривой.Геом:крив.интегр-Sцилиндр. повер.с образ,параллель оz.огран.снизу хоу,а сверху крив.АВ.Мех:Длина дуги АВ.
3.Задача о вычислении работы силового поля. Предполож.что в Д,пространство(х,у,z)задано силовое поле.Это означ. что в каждой(.)М0,в пространстве х,y,z-на помещ.в неё ед.массы,дей. сила F.величина и напр.зависит только от положения координ(.)М0.F= {P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}=Pi+Qj+Rk.Выч.раб.совер.силой,при переме- щении ед.массы вдоль неприр.прямой АВ в напр.от А доВ.Разобьем на дуги,на дугеМi-1Mi F=F(Ni) гдеMi-1<Ni<Mi.Предполож.что она дей.не по дуге,а по вектору(Mi-1Mi), Ai F(Ni)*(Mi-1Mi) (F(Ni))={p(xi, yi,zi);Q(xi,yi,zi);R(xi,yi,zi){(xi,yi,zi)-все вектора}}гдеNi(xi,yi,zi).Mi-1Mi ={xi-xi-1,yi-yi-1,zi-zi-1}={xi,yi,zi}.Сум.все Aiиберя пред.при n к бес Li к0,получ- lim(nк бес,xi к0,yi к 0,zi к 0)(от i=1доn)P(xi,yi,zi)xi +Q(xi,yi,zi)yi+R(xi,yi,zi)zi.	4.Крив.интеграл2род.Опред.Его св-ва.Достат.у-я существ. Пусть АВ-неприр.в простр.х,у,z.Ф-я Р(x,y,z)-задана на этой кривой.Разобь. дугу на элем.дуги.Из элементар.дуг.(от i=1доn)Р(Xi,Yi,Zi)хi.–интегр.сум Опр:Пред.этой суммы,если он сущ. и незав.от способа разбиения наэлем. дуги,не от выбора на них(.)Ni,при числ. разбиен.к бес, длин.стр.к0.-крив. интеграл 2-ого рода.Т:Если крив АВ-кусочно-гладкая, а ф-и Р,Q,R-неприр. на ней,то кри.интеграл 2-ого рода сущ.Опр:кривая АВ-гладкая,если х=х(т), у=у(т),z=z(т),где 0<=т<=Т0,а х(т),у(т),z(т)-неприр.и имеют непри.частные производ.Опр:Крив.-кусочно-гладкая-если она состоит из конеч.числа гла- дких кривых.Св-ва:Выполняются все св-ва опред.интегр.1)При измен.напр интегрир.на противопол.-крив.интегр.меняет знак.2)Если крив.разбита на части-интегал=сумме итегралов частей.3)Крив.интеграл по замкнут.контур не зав.от выбора нач.(.),а зав.от выб.напр.4)Если обл.Д,огр.замкн.линию Л, разбив.на 2-е части,то крив.интегр.по всей Л=сумме интегр.взятых в том же напр.по линиям Л1иЛ2,огр.обл.Д1иД2.5)Мех.смысл-работа.
5.Связь м/у крив.интегр.1-ого и 2-ого рода. Т:Если ф-ии Р(х,у) и Q(x,y)-неприр.вместе со своими част.проив.1-ого пор.в обл.Д,то(Д)((Q/x)-(P/y))dxdy=(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy.L-гран. обл.Д и интегрир.вдоль этой прям.ведется в полож.напр.Док во:(Д) (P/y))dxdy=(а до в)dx(f1(x)доf2(x)) (P/y))dy=(а до в) dxP(x,y)|(f1 (x)доf2(x))=(а до в)P(x,f2(x))dx+(в до а)P(x,f1(x))= (AMB)P(x,y)dx + (BNA)P(x,y)dx=-(L)P(x,y)dx.(Д)(Q/x))dxdy=(c до d)dy(1(x)до2 (x)) (Q/x))dx=(c до d)Q(x,y)|(1(x)до2(x)=(c до d)Q(2(y),y)dy+(d до c)Q(1(y),y)=(MBN)Q(x,y)dy +(NBM)Q(x,y)dy=(L)Q(x,y)dy.Вычи- тая из 2-ого 1-й,получим ф-у Грина,что и требовалось док-ть.	7.Услов.незав.крив.интегр.2рода от пути интегр.Т.о необход.и достат. услов.незав.от пути интегрир.Т.о необход.и достат.у-ии равенства 0 крив.интегр.по зам.контуру. Крив.интегал.зав.от пути интегр.расмот.у-я когда не зав:Для того чтобы интеграл:(АВ)P(x,y)dx+Q(x,y)dy.где АиВ принадлеж.обл Д,не зав.от пути интегрир.необход.и достат.чтобы он был=0,по любому замк.контуру леж. в обл.Д.Необход:Дано (АВ)P(x,y)dx+Q(x,y)dy-не зав.от пути интегр.Док-ть: (L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.Док-во (L)=(АNВ)+(BMА)=(АNВ)-(АMВ)=0. Опр:Одосвязная-обл.в котор.всякий контур,неприр.диф.внутри обл,может быть стянут.в(.)оставаясь в той же обл.Т:Если ф-ии P(x,y)иQ(x,y)в некотор односвяз.обл.Д,неприр.вместе со своим. част.произв.(Q/x)и(P/y),то для того чтобы крив.интегр.(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dyпо любому зам.контур.L,леж в обл.Д,был=0,необход и достат.чтобы в каждой(.)обл.Д (Q/x)=(P/y).
8.Интегрир.полных.диф. Т:Для того чтобы крив.интег.2-ого рода,по зам.контуру,не зав.от пути интегрир,необход.и достат,чтобы подынтегр,выраж.было полным диф. некотор.ф-ииU(x,y)т.е.du=Pdx+Qdy.Необход:Дано(L)не зав.от пути интегр.Док-ть:du=Pdx+Qdy.Док-во:Чтобы это док-ть надо док-ть P= dU/dx иQ=dU/dy.Возьмем P/y= ^2U/xy иQ/x=^2U/yx.По услов. (L)не зав.от пут.интег.P/y=Q/x.Отсюда:^2U/xy=^2U/yx,следP =dU/dx и Q=dU/dy.Доказ. теоремы позвол.найти саму ф-ии по её диф.	1.Задачи привод.к диф.у-ям.Обыкновен.диф.у-я.Опред.реш.диф.у-я. Диф.у-е-у-е связ.независ.перемен,неизвест.ф-ю и её производ.или диф. Задача1:Найти закон связи путиSот времени t при свобод.падении:F1-c.тяж F2-сила сопр.F=F1+F2.F=am=m(d^2S/dt^2).F1=mg.F2=k(dS/dt).Обыкн.диф.у-е- у-е связ.одну незав.перем.неизвест.ф-ю и её производ.или диф до n-ого пор включительно.F(x,y,y`,…,y^n)=0.Порядок.диф.у-я-порядок её старшей прозв Степень.диф.у-я-показатель степ.её старшей прозв.Реш.диф.у-я-всякая ф-я y=f(x),обращ.у-е.в тождество.Прцесс.отыс.реш.-интегрир.диф.у-я.
2.Диф.у-я 1пор.Т.сущ.и един.реш.диф.у-я,разреш.относ.произв.Гем смысл.реш.Опр.общего реш.Част.реш.Особ.реш.Гем.смысл у-я. Диф.у-е-у-е связ.независ.перемен,неизвест.ф-ю и её производ.1пор или диф.Т(Коши)Если ф-яf(x,y)и её производ.f `y(x,y)опр.и неприр.в пл.Д, находящ.в пл.xoy,то какова бы ни была(.)(Xo,Yo)Д,сущ.и притом,ед решение y=(x),диф.у-я y`=f(x,y),удовлет.у-ям:Y|x=xo =yo yo=(xo).Г: Реш.у-я.задает крив.в пл.хоу,проход.ч/з(.)(Xo,Yo),причем она ед.Общ. реш-ф-я y=(x,с),удовл.2-м ус-ям:1)При любом с y=(x,с)-реш у-я.2) Каковым бы не было нач.у-еY|x=xo =yo,есть с=Со,что реш.y=(x,с) бу- дет удовл.этим нач.у-ям.Част.реш-реш.получ.из общего,при задан.нач. ус-иях.Особ.реш-реш.котор.не может.быть получ.из общего ни при каком с.Г:Можно найти кривые,напр.косат.котор.совпад.с напр.поля в этих(.).Изоклина-крив.в каждой(.)котор.поле имеет одно и тоже напр.	3.Диф.у-я 1-ого пор.с раздел.перем.Однород.у-я.1-ого.пор.Примеры. Опр:У-е y=f(x,у)-диф.у-е с раздел.перем,если его правая частьf(x,y)=(x)( y),т.е.y `=(x)( y),где (dy/dx)=(x)( y);dy=(x)( y)dx;dy/( y)=(x)dx; Ф(у)=(x)dx+С;Прим:xy`+y=0;x(dy/dx)+y=0;xdy+ydx=0;(dy/y)+(dx/x)=0;ln |y|+ln|x|=ln|c|;yx=c;y=c/x.Опр:Диф.у-е.вида M(x,y)dx+N(x,y)dy-однор.если M(x, y)иN(x,y)однор.ф-ии одного и тогоже измерен.Диф.у-е вида y`=f(x,y)- однород.если ф-я f(x,у)-однор.ф-я нулевого измерения.Реш:y/x=t;y=xt;y`=t +xt`.Прим:y`=e^y^/^x+y/x;t +xt`=e^t +t;x(dt/dx)= e^t;dt/e^t=dx/x;-e^y^/^x-lnx+c=0;
4.Линей.диф.у-я 1пор.У-е Бернулли.Примеры. Опр:Диф.у-е y`=f(x,y)-линей.если оно линей,относ.некотор.ф-ии у,и её производ у`,т.е.имеет вид:y`+P(x)y=Q(x),P(x),Q(x)-зав.от х или конст. Реш:(метод.вар.перем)Рассмтр.у-е,однород.соответ.данному линей.y`+ P(x)y=0.В ней переем.раздел.(dy/dx)=-P(x)y;dy/y=-P(x)dx.ln|y|=-P(x)dx +ln|c|.y=ce^-^^P^(^x^)^dxПроизвед.вар.произ.постоян.так,чтобы эта ф-я–реш дан у-я.y`=c(x)`e^-^^P^(^x^)^dx+c(x)e^-^^P^(^x^)^dx(-p(x))=c(x)`e^-^^P^(^x^)^dx-P(x)c(x)e^-^^P^(^x^)^dx+P(x)c(x)e^-^^P^(^x^)^dx=Q.c(x)`=Q(x)e^-^^P^(^x^)^dx;dc(x)=Q(x)e^-^^P^(^x^)^dxdx;y=e^-^^P^(^x^)^dx(Q(x)e^-^^P^(^x^)^dxdx+c) Опр:У-е y`=f(x,y)-у-е Бернулили.если оно имеет вид:y`+P(x)y=Q(x)у^n, n-действит.число.Если разделить обе части на у^n и сделать замену y^n^-1= z,то у-е станет линейным.	5.Диф.у-е в полных.диф.Примеры. Опр:У-е P(x,y)+Q(x,у)=0-диф.у-е в полн.диф,если его левая часть-диф.нек- оторой ф-ииU(x,y),т.е.du=P(x,y)dх +Q(x,у)dу.Тогда у-е прим.вид du=0,U(x, y)=с,поэтому реш.диф.у-я в пол.диф.сводится к нахождению ф-ииU(x,y),по её полному диф.т.е.U(x,y)=(от хо до х)P(x,уо)dx +(от уо до у) Q(x(конст),у )dу.Прим:y(2x-1)dx+(x^2-x)dy=0;P(x,у)=y(2x-1);Q(x,у)=x^2-x;(dP/dy)=(dQ/dx) =2x-1;U(x,y)=(от о до х)0dx +(от о до у)(x^2-x)dу=(x^2-x)y|(от о до у)=(x^2-x)y Отв:(x^2-x)y=с;
6.Диф.у-я высших пор.Нач.у-е.Общ,част.реш.Тсущ.Геом.смысл. Диф.у-е.n-ого.пор-соотнош.связ.независ.перем,неизвест.ф-ю и её про- извод или диф.до n-ого.пор.включ.Для диф.у-е.n-ого.пор.нач.ус-ем яв- ляется сист.ф-ий:{Y|x=xo =yo;Y`|x=xo =y`o;…;Y^(^n^-1)|x=xo =y^(^n^-1)o;Общ. реш:Общим.реш.у-я-ф-я y=(x,c1,c2,…,Cn);удовлет.2-м услов:1)Каков. бы ни были произволь.постоян.эта ф-я данному у-ю удовл.2)При люб. нач.у-ях всегда найдется совокуп.произволь.постоян.c10,c20,...,Cnо,та- кая ,что ф-я y=(x,c10,c20,...,Cnо),что эта ф-я{(x,c10,c20,...,Cnо)=уо; `(x,c10,c20,...,Cnо)=у`о;…;^(^n^-1)(x,c10,c20,...,Cnо)=у^(^n^-1)о;Част.реш:наз. реш,получен.из общего,по зад.нач.у-ям.Их нахожден-зад.Коши.ТДано у-е разреш.относ.старш.произ.у^(^n^)=f(x,y,y`,..., у^(^n^))и сущ.производ.от y, y`,..., у^(^n^-1).Тогда сущ.ед.крив.y=,удовлет.нач.услов.	7.ДУ высших пор.допуск.пониж.пор. 1)y^n=f(x)или F(x,y^n)=0;(dy^(^n^-1)/dx)=f(x);dy^(^n^-1)=f(x)dx;dy^(^n^-1)=f(x)dx+C1;y^(^n^-2)=( f(x)dx+C1)=dxf(x)dx+C1x+c2;y=dxdx...f(x)dx+c1(x^n^-1/(n-1)!)+c2(x^n^-2/(n-2) !)... +cn.2)F(x,y`,y``,...,y^n)=0-не явно у,есть х и произ.F(x,y`,y``)=0;y`=p;y``= p;y``=(dp/dx)=-px;F(x,p,p`)=0;Ф(x,p,c1)=0;Ф(x,y`,c1)=0;Ф(x,y,c1,c2)=0;3)F(x, y`,y``,...,y^n)=0-не явнох;F(x,y`,y``)=0;(dy/dx)=y`=p(y);y`=(p-y)-x;y``=(dp/dx)= =(dp/dy)(dy/dx)=(dp/dy)p;F(y,p,p(dp/dy))=0;-у-е 1пор.снеиз.ф-цией р,от арг-ум у,реш:Ф(y,p,c1)=0;Ф(y,dy/dx,c1)=0-у-е 1 пор.с неиз.пор.у,по х;(x,y,c1, c2)=0;
8.Линей.ДУ высш.пор. Это у-е вида:aoу^(^n^)+a1у^(^n^-1)+...+a(n-1)у`+anу=b;т.е.ур.линей.относ.неиз.ф-ии и её произ.ao,a1,a,b-в общем случ.ф-я от х.Еслиb=0-у-е однор.соответ.да ному линей.Линей.оперL(y)-закон по котор.любой ф-ии у,привод.в со- ответ.выраж:у^(^n^)+р1у^(^n^-1)+...+рnу=L(y)т.е.над ф-ей произв.линей.преобр: слож,умнож на ф-ию pi,и всяк.произ.y`.С-ва:1)L(cy)=cL(y)2)L(y1+y2)= L(y1)+L(y2);Т:Если у1-част.реш.у-я L(y)=0,то и су1-тоже реш.Док-во:т .к.у1-реш,то L(y1)=0,L(су1)-по св1=сL(y1);Сис.ф-ий опр на (а,в)-лин.з- ав.если сущ.числа с1,с2...сn одновремен.не=0,что с11(х)+...сnn(х)=0; если =0-лин.незав.ТЕсли ф-и у1...-лин.зав.на АВ,то опр.Врон.для них действит=0,для люб.х.Док:т.к.сис.ф-ий лин.зав.в опр.получ.столб.или стр.являщ.лин.комб.других,опр=0.Необх:Т:Если ф-и у1...-лин.зав.на А В и являют.част.реш.у-яL(y)=0,то опр.Врон.не равен=0,ни в1(.)интер.	9.Т о структур.об.реш.однор.ДУвысш.пор.Фунд.сис.част.реш. Т:Пусть даны у-я у^(^n^)+р1у^(^n^-1)+...+рnу=0,где р-неприр.на АВ ф-ии,и пусть у^(^n^)у^(^n^-1),у-n линейно незав.на АВ реш.Тогда (*)у=с1у1+с2у2+..+cnyn,где с-про- изволь.постоян,есть общ.реш.данного у-я.Док-во:проверим 2услов:1)при люб.набор.постоян.ф-я-реш.у-я.2)Для люб.нач.у-ий сущ.набор с,что с ними ф-я этим услов.удовлет. Фунд.сис:n-линей.незав.реш.у-я L(y)=0-фундамен- тал.систем.реш.
10.Реш.однор.лин.ДУвыш.пор.с пост.перем.3 случ.корней.Прим. Дано у^(^n^)+р1у^(^n^-1)+...+рnу=0,р-числа.Найд. Фун.С.Будем искать част.реш в виде:y=e^rx;где r-ростоян(способ.Эйлера).y`=re^rx;y``=r^2e^rx;re^rx+p1r^n^-1e^rx+ ..+pne^rx=0;Разделим на e^rx,получ:r^n+p1r^n^-1+..+pn=0-хорактерестич.у-е,-а- легбр.у-е n- степен.В общ.случ.имеет n-корней.Возмож 3-и случ:1)Все корни действит.и разные:r1,r2,rn.y1=e^r^1^x,yn=e^rnx.Докаж.для у-я2ого пор. что e^r^1^x,e^rnx–линей.незав.Сост.опр.Врон.он e^r^1^xe^r^2^x=|(11)/(r1r2)|=e^(^r^1^+^r^2)^x(r2 –r1)-не=0(r1не=r2) и е>0.y=c1e^r^1^x+с2e^r^2^x2)Корни дейст.и среди них есть кратные:r1=r2:y1=e^rx,yn=x^n^-1e^rx.y=c1e^rx+c2xe^rx+..+cnx^n^-1e^rx3)Все кор.ком- плексные.y=e^rx(c1Cos2x+c2Sin2x);	11.Т.о структур.общ.реш.неоднор.ДУ n-ого пор. Рассмот.у-е:у^(^n^)+р1у^(^n^-1)+...+рnу=f(x).Т:Общ.реш.линей.неоднор.ду.n-ого пор =сумме общ.реш.соответст.однор.у-я и каково-нибудь частного реш.неодн- ор.у-я.Док-во:Дано:L(y)=f(y);уоо-общ.реш.однор.у-яL(y)=0,т.е.L(yоо)=0;u- какое-нибудь част.реш.у-я,т.е.L(u)=f(x).Док-ть:yoo+u=yok,т.еL(yоk)=L(yоо +u)=f(x);Док-во:L(yоk)=L(yоо +u)=L(yоо)(=0)+L(u)(=f(x))=f(x); yоk=(с1у1+ с2у2+..+cnyn(=yoo))+u;
12.Метод вар.произв.постоянотыс.част.реш.неод Ду n-пор. Рассмот.у-е:у^(^n^)+р1у^(^n^-1)+...+рnу=f(x).Т:Если сис.ф-ийy1,y2,yn-фундамен- таль.система.част.реш.однор.у-я,то част.реш.не однор.у-я ищется в ви- де:u=c1(x)y1+c2(x)y2+..+cn(x)yn.C-ф-я от х,которая нах.из сис:{(c1`(x) y1+..+c`nyn=0)(c1`(x)y`1+..+c`ny`n=0)(c1`(x)y^(^n^-1)+..+c`ny^(^n^-1)=f(x))}Док-во:Докаж.для у-я 2-ого пор. у``+р1у`+р2у=f(x).Дано:y1,y2-фундамент. система.част.реш.однор.у-я.Док-ть:u=c1(x)y1+c2(x)y2-част.реш.у-я,сиз сис:{(c1`(x) y1+c2`y2=0)(c1`(x)y`1+c2`y2`=f(x))}.Док-во:u=c1(x)y1+c2( x)y2.u`=c1(x)y1`+c2( x)y2`.u``=c1(x)y1``+c2( x)y2``+f(x)-подстав.в неод. у-еL(y)=f(x).c1(x)y1``+c2( x)y2``+f(x)+р1с1(х)y1`+p1c2(x)y2`+p2c1(x)y1 +p2c2(x)y2=f(x).Должно получ.верное тождество:(Дальше на обороте!)	13.Неоднор.лин.ДУ n-ого пор.с пост.коэф.с прав.част(2 вида). Различ.два вида прав.части:1)f(x)=e^axP(x),где а-действит.постоян,иPn(x)-м- -yогоч.n-ой степ.Будем искать u=e^axQn(x),гдеQn(x)-мног.тойже степ.Pn(x). При этом возмож.три случ:а)а-не являет.корнем.хор.у-я r^2+p1r+p2=0;a^2+p1a+ p2не=0;p1+2а не=0.Тогда в у-ии:Q``n(x)+Q`n(x)(p1+2а)+Qn(x)(a^2+p1a+p2)=P n(x){*},слев.и справ.стоят.многоч.1-ой и тойже степ.n.б)а- яв-ся.прост. кор хор.у-я r^2+p1r+p2=0;a^2+p1a+p2=0;p1+2а не=0.Тогда в у-ии:{*},слев.мног.n-1 степен,а справ.n.Чтобы сравнять степени возьмем u в виде u=xe^axQn(x) в)а- двукрат.корень хор.у-я,a^2+p1a+p2=0;p1+2а=0.Тогда в у-ии:{*},слев.мног.n-2 степ,а справ.n,Чтобы повыс.степ.слева возьмем u в виде u=x^2e^axPn(x).2) f(x)=e^ax(P(x)Сosbx+Q(x)Sinbx),u=x^2e^2-мног,не обязат.равных степеней,а-де- йствит.число.Возмож.2 случ:а)а(+-)bi-не являет.корнем.хор.у-я r^2+p1r+p2=0; u=e^ax(M(x)Сosbx+N(x)Sinbx)-M(x),N(x)-мног.один.степ.=наивыш.степ.мног Qm(x),Pn(x).б)а(+-)bi-являет.корнем.хор.у-я r^2+p1r+p2=0;u= e^ax(M(x)Сosbx+ N (x)Sinbx)
1.Числовые ряды.Сход,расход.Прим.ряд.из членов бес.прогрес. Выраж.вида:а1+а2+...+аn+...-числовой ряд,а числа-члены ряда.аn-общ. член ряда.Ряд задан,если указ.закон по катор.для люб.номер.n,мож.за- писать соот.член.ряда.Sn=а1+а2+...+аn-n-ая частич.сумма ряда.Опр:Р-яд сход,елси сущ.конеч.предел последователь.частич.сумм ряда.(этот придел-сум.ряда).Если он бесконеч.или несущ.-расходящ.Рассмот.ряд b1+b1q+b1q^2+...+b1q^n-1+...-члены.геом.прогрес.1)|q|<1;lim(n к б)Sn=b1/1 –q-ряд сход.2)|q|>1;Sn=б(q^n к б)-ряд расход.3)q=+-1-ряд расход.Выв: Ряд сост из член.геом.прогрес,при |q|<1-сход,иначе расход.	2.Св-ва сходящ.рядов. Т:Если ряд сходится то сходится и ряд,получ.от даного отбрасыванием ко- нечного числа его членов.Зам1:Обрат.Т.тоже верна,т.е.прибав.к сх.ряду ко нечного числа слог.не наруш.его сходим.Зам2:Это св-во спавед.и для нес- ход.рядов.Зам3:Понят о n-ом остат:а1+а2+...+аn+аn+1.Sn=а1+а2+...+аn.Rn= аn+1+...;Rn-n-ый остат.Если ряд сход lim(n к б)Rn=0;S=Sn+Rn;Т:Если ряд (n=1 б)an-сходится и с-постоян.не=0,то сход:(n=1 б)сan.Т:Если даны 2-а ряда-схо,т.е.lim(n к б)S1n=S1,lim(n к б)S2n=S2,то сходятся и ряды:(n=1 б) (an + - bn).
3.Необход.признак сход.рядов. Т:Если числовой ряд сходится то предел его общ.члена=0.Дано:(n=1 б)an-сход и его сумма s.Док-ть:lim(n к б)аn,Док-во:т.к.ряд сходится и lim(n к б)Sn=S,то и lim(n к б)Sn-1=S.an=Sn-Sn-1.lim(n к б)an=lim(n к б) (Sn-Sn-1)=S-S=0.т.е.lim(n к б)an=0.След:Если у числового ряда предел общего члена,при n к б,не=0,то числовой ряд расход.Если =0,то окончат.ответ дать нельзя,нужны доп.у-я.Гармонич.ряд-1+1/2+1/3+...+ 1/n+...;lim(n к б)1/n=0,нужны доп.исслед.	4.Признаки срав.для знакоположитель.рядов. 1)Т:Если члены ряда (n=1 б)an-не больше членов ряда (n=1 б)bn,т.е.an<= bn,и 2-ой ряд сходит,то сход.и1-ый ряд.Дано:(n=1 б)an(1),(n=1 б)bn,an<= bn,(2)-сход.Док-ть:(1)-сх.Док:Sn=а1+а2+...+аn,n=b1+b2+...+bn.lim(n к б)n =0.т.к.an<= bn,тоSn<=n.т.к.n -возраст.и имеет предел,то она возр,т.е-n< след.Sn<=n<n.Sn-возраст.и огр.то она имеет пределlim(n к б)Sn=Sчто доказ.сход.ряда.2)Т:Если члены ряда (n=1 б)an-не меньше(n=1 б)bn,т.е. an=>bn ,и 2-ой ряд расход,то и1-ый ряд тоже.Дано изТ1.Док-ть:(1)-расх. Док:Т.к.(2)-расход.lim(n к б)n=бес.т.к.Sn=>n,то по усл.lim(n к б)Sn=бес. 3)Т:Если сущ.конеч.предел lim(n к б)an/bn=c(c не=0,с не=бес),то ряды1и2-сход.
5.Признак Даламбера для знакополож.рядов. Т:Пусть дан полож.ряд (n=1 б)an.Если сущ.предел отнош.послед.чле- на к предыд,т.е.lim(n к б)a(n+1)/аn=l,l>1-ряд расх.l<1-сход.Док-о:Пусть дан полож.ряд.По опр.предела числ.послед:E>0,N,что для всех n>N, вып.нерво:|a(n+1)/аn-L|<E.L-E<|(an+1)/аn|<E+L(*);1)L<1;E+L<1,L+E= q расмот.прав.часть(*),нач.с номера N мож.зап:a(n+1)/аn<q=>an+1<аnq и т.п.a(n+3)/а(n+2)<q=>a(n+3)<а(n+2)q=>a(n+3)<anq^3;anq+anq^2+anq^3+..(2) a(n+1)+а(n+2)+a(n+3)+…(3);(2)-ряд сх,состав.из суммы бескон.убыв.п р-огрес.(3)-сход.по приз.сход.рядов(lim(n к б)an=0).Отсюда 1-ый ряд сход т.к.3-ий ряд-остаток 1-ого.2)L>1;L-E>1;расмот.прав.часть(*).мож. зап:a(n+1)/аn>1=>an+1>аn=>lim(n к б)an не=0;Замеч:Этот приз.ничего не говор.если l=1.	6.Радик.признак Коши сход.знакополож.чис.рядов. Т:Если сущ.lim(n к б)^nаn=l,при l>1-ряд расх.l<1-сход.Удобно примен,если из общего члена ряда легко извлеч корень n-степени.
7.Интегр.приз.Коши.Обобщ.гармонич.ряд. Т:Пусть сущ.ф-я f(x),для всех x 1,полож,невозраст,неприр,такая что f (1)=a1...f (n)=an,...Тогда если несобст.интегр.(1 бес)f(x)dx-сход,=>(n =1 б)an-сход,иначе-расходится.Док-во:Расмотр.площ.фигур:1)площ. крив.трапец,огр.снизу осью ох,сверху граф.ф-ии у=f(x),х=1,х=2,(S1)= (1 n)f(x)dx.2)Площ.ступен.фигуры вход.в эту трап.S2=f(2)*1+f(3)*1+... +f(n)*1=Sn-a1.3)Площ.ступ.фиг.выход.из трап.S3=f(1)*1+f(2)*1+...+f(n -1)*1=Sn-an;Sn-a1<(1 n)f(x)dx<Sn-an(*);1) .(1 бес)f(x)dx-сход,Расмотр. лев.часть нер-ва(*)=>Sn-послед.возраст.=>имеет limSn=S-ряд сх.2)(1 б)f(x)dx-расход,Расмотр.прав.часть нер-ва(*)=>Sn-не имеет пред.=>Рас ход.Обобщен.ряд:(n=1 б)1/n^n сх.при n>1,при n1-расход.	8.Знакоперем.ряды.Достат.признак.сход.знакоперем.ряда. Опр:ряд-знакоперем.если он содерж.бесчислен.множ полож. и отр.член. Т: Если ряд, составлен.из модулей знакоперем.ряда-сход,то сход.и сам ряд. Док-во: Пусть дан ряд:1+2-3...+n=(n=1 б)n.Состав.ряд 2из мод 1. Обознач.частич.сумму 1p.Sn=1+...+n, и 2-ого р.n=|1|+...+|n|.Sn`- сум. полож.чл,Sn``-отриц.взят.по модулю.Sn= Sn`- Sn``. n=Sn`+Sn``.По услов. теор.2-ой р.-сх(lim(n к б)n= lim(n к б)(Sn`+Sn``)=);lim(n к б)Sn=lim(n к б) (Sn`-Sn``)=S`-S``=S-ряд.сх,что и треб.док-ть.Замеч:Если ряд из мод.расх-о сходим.ряда ничего сказать нельзя.
9.Абсол.и услов.сход.ряды.Т.Коши и Римана.(без док-ва). Опр:Если знакоперем.ряд сход,и ряд сост.из его мод его членов,тоже то знакоперем.ряд сх.абсолют.Опр:Если знакоперем.ряд расход,а ряд сост.из его мод его членов сх,то ряд сх.условно.Т(Коши):Абсол.ряд им еет предел частичной суммы,не зависимо от того с каким знаком вхо- дят члены ряда.Т(Римана):Услов.сх.ряд имеет предел частичной сум-мы за счет компенсации полож.и отриц.членов.	10.Знакочеред.р.Т.Лейбница. Знакочеред.-част.случ.знакоперем,ряды у котор.любые два члена-числа ра- зных знаков.Т:Пусть дан ряд:(n=1 б)(-1)^n^+1An,если члены ряда убывают по модулю с увелич.на n и общий член ряда стрем.к 0,то ряд сх.и сумма по- ложит.чл.меньше 1-ого чл.ряда.Дано:(n=1 б)(-1)^n^+1An;a1>a2>...>an;lim(n к б)an=0;Док-ть:Р-сх,0<S<a1.Док-во:S2n=(a1+a2)+(a3-a4)+...(a2n-1-a2n);S2n+ 1=a1-(a2-a3)-(a4-a5)-...(a2n-2-a2n-1);lim(n к б)S2n=S;lim(n к б)S2n+1=lim(S2 n+a2n+1)=S<a;
11.Функцион.ряды.Сх в точке и на интерв. Опр:Ряд члены.котор.яв.ф-ии,опр.и неприр.в некотор.обл.Если функ.р. сход.при х=х0,то(.)х0-точка сход,если расход.при некотор.х0,то расход Если р.сход.во всех точках некотор.интерв.то р.сх.на интервале.Т:Если в некотор.обл.члены фун.ряда по модулю не больше член.сходящ. пол ож.ряда,то этот р.сход.в данной обл.абсолютно и равномерно.	12.Степенные ряды.Т.Абеля. Опр:Это ряд,членами котор.являют.произвед.коэф.на степенную ф-ю.Т:Пу сть дан.степ.ряд (n=0 б)х^nAn,1)Если он сх.при некотор.знач.х=х0,то он сх, абсолютно,для всех х,когда|x|<|x0|,2)Если расх,при некотор знач.х=х1,то он расх,для всех х когда |x|>|x1|.Док-во(на обр.стороне).
13.Обл сход.степ.р.Т.О выч.рад.сходим.степ.ряда. Т:Пусть дан.степ.ряд(n=0 б)х^nAn,1)Если он сх.при некотор.знач.х=х0 ,то он сх, абсолютно,для всех х,когда|x|<|x0|,2)Если расх,при некотор знач.х=х1,то он расх,для всех х когда |x|>|x1|.Док-во( на 12).Геом.смсл: Из Т.след.что все сх(.)ближе к нач.координ.чем расх.причем симметр. относ.нач.координ.т.е.R,что когда|x|<R-сх,|х|>R-расх.R-сход.Можно предполож.3 случ:R-полож.число=>у ряда бесчислен.число(.)сх и(.)рсх R=0-1(.)сх,х=0, R=бес, R=lim(n к б)|an/a(n+1)|.чтобы найти обл.сх надо: 1)найти R=lim(n к б)|an/a(n+1)|.2)интервал сх.3)повед.ряда в(.)x=+/-R.	14.Ряд Тейлора.Опр.коэф.ряда Тейл.Необх.и достат.у-я разлож.р.Т. Говорят,что ф-я f(x)-разлог.в степ.ряд.если этот ряд сх.к данной ф-ии.Т:Ст еп.ряд сходящ.в интервале (-R;R)-ряд Т.то его коэф.вычисл.по ф-ам.Тейлор An=(f^(^n^)(0))/n!-причем это разлож.ед.Т:Для того чтобы ф-я могла быть разл. в р.Т.необход и достат.чтобы эта ф-я в обл.сх.имела производ.всех порядко и её остат.член стрем.к 0,при n к 0.Нео:Д:f(x)=((f^(^n^)(0)/n!)*x^n)Д:все произ. и lim(n к б)Rn(x)=0.Д:Т.к:Ф-я разложена в ряд то очевид.все произ.сущ.f(x) =limSn(x).f(x) =Sn(x)+n(x),n-б.м.Но по ф-е Т:f(x)=Sn+Rn(x).Rn(x)=n(x). lim(n к б)Rn(x)=0.Док-во Достат на обр.стороне.
15.Разлож.в р.Т.ф-ий. f(x)=Sn+Rn(x).f(x)=f(0)+(f `(0)/1!)x+...+(f^(^n^)(0)/n!)*x^n+Rn(x),Rn(x)=(f^(^n^+1)( c)/(n+1)!)*(x+х0)^n^+1.Разлож:e^x=1+(x/1!)+(x^2/2!)+...+(x^n/n!)+... .Sinx=x-(x^3/ 3!)+(x^5/5!)-...+(-1)^m+1(x^2m-1/(2m-1)!)=(-1)^m+1(x^2m-1/(2m-1)!).Cosx=1-(x^2/2!) +(x^4/4!)-...+(-1)^m(x^2m/(2m)!)=(m=0,бес)(-1)^m(x^2m/(2m)!).Ln(1+x)=x-(x^2/2) +(x^3/3)-...+(-1)^n(x^n+1/n+1)=(n=0,бес)(-1)^n(x^n+1/n+1)(-1;1);Ln(1-x)=x-(x^2/2) -(x^3/3)-...-(x^n+1/n+1)=-(n=0,бес)(x^n+1/n+1)(-1;1);Ln(1+x/1-x)=2(x+(x^3/3)+( x^5/5)+...)=2(m=0,бес)(x^2m-1/2m-1),Rn(x)=|2(x^2m+1/2m+1)*(1+x^2+x^4+...)|. Бином.ряд: y=(1+x)^m=1+(m/1!)x+(m(m-1)/2!)x^2+...+(m(m-1)...(m-n+1)/n!) x^n+...=(n=0,бес)((m(m-1)...(m-n+1))/n!)x^n на (-1;1).	16.Приближ.выч.Решение ДУ. 1)Выч.знач.ф-ий:Ф-я раскладывается в известный ряд,и считается сумма элементов ряда,до тех пор пока следующий элемент,не будет меньше числа –точности до которой нужно посчитать данную ф-ю. 2)Выч.интегр:Подынтегр.ф-я раскладывается в известный ряд,и сначало бе рётся интеграл от каждого эл,а потом считается сумма элементов ряда,до тех пор пока следующий элемент,не будет меньше числа–точности до кото рой нужно посчитать данную ф-ю. 3)Выч.ДУ:Будем искать реш.ввиде ряда:y=f(x0)+(f^`(x0)/1!)*(x-x0)+(f^``(x0)/ 2!)*(x-x0)^2+...;f(x0)=y0,f `(x0)=y0`,f ``(x0)=(x0,y0,y0`),f ```(x0)=производ .