- •Глава Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ду) §1 Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры.
- •§2 Ду 1 порядка с разделяющимися переменными
- •§3 Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка (лду); метод вариации постоянной.
- •§4 Ду 1 порядка «в полных дифференциалах».
- •§ 5 Метод Эйлера численного решения задачи Коши
- •§ 6 Типовой расчет по теме «Численное решение задачи Коши».
- •§7 Системы лду 1 порядка с постоянными коэффициентами; операционный метод решения задачи Коши.
Глава Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ду) §1 Дифференциальные уравнения : основные понятия, примеры.
Пусть n раз дифференцируемая функция k переменных (в Df определены n функций f(m)(x), m=0,1,..,n и (n-1) из них непрерывны).
Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение ;, связывающее аргумент х, функциюf и ее производные функции , порядок старшей из которых равен “n”, при этом ДУ относительно функции одной переменной (к=1) называют «обыкновенным ДУ», а ДУ относительно функции нескольких переменных (k>1) и ее частных производных называют «ДУ в частных производных» .
Например, (1) xy//+2y/+xy=x; (2)y”=x - обыкновенные ДУ второго порядка.
(3) - система двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно дифференцируемой функции U(x,y) двух переменных.
Определение 2. Дифференцируемая функция f, подстановка которой обращает ДУ в тождество в области , называется решением ДУ. График решения ОДУ y=f(x) называется интегральной кривой ДУ. Нахождение множества решений ДУ называют интегрированием ДУ.
Например, функция y1(x)=1+sin(x)/x является решением ДУ (1), так как
.
Проверьте, что :
функция y2(x)=1+cos(x)/x так же является решением ДУ (1);
множество функций включает все решения ДУ(2);
функция U(x,y) = x2+xexy +1 является решением системы ДУ(3), удовлетворяющим начальному условию U(1;0)=3.
В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные ДУ.
Поскольку есть Уравнение, возникают вопросы: 1)существует ли решение?; 2)единственно ли оно?; 3) как найти множество решений?
Рассмотрим несколько примеров.
1) Известно, что ДУ первого порядка y/(x)=f(x): (а) имеет решение для любой кусочно непрерывной (интегрируемой) функции f(x) и это решение y=F(x) называется первообразной для функции f; (б) существует бесчисленное множество решений и (в) это множество называется неопределенным интегралом , содержит одну аддитивную произвольную константу и соответствующие интегральные кривые представляют семейство параллельных гладких линий y=F(x)+C, причем через каждую точку проходит единственная интегральная криваяy=F(x)+(y0-F(x0).
Например,
2) Найдем множество решений ДУ 2 порядка
Это множество содержит две произвольные константы, фиксированные значения которых С1=С0, С2=D0 определяют единственную интегральную кривую y(x,C0,D0)=x3/6+C0x+D0, проходящую через точку M0(x0,y0); y0=x02/6+C 0x0+D0 , тангенс угла наклона которой в этой точке равен tg(α0)=y’(x0,C0)=x02/6+C0.
Определение 3. Решение f(x) ДУ порядка “n”, удовлетворяющее “n” начальным условиям , называется решением задачи Коши с начальными условиями: Например, функцияf(x)=x2/2+1 является решением задачи Коши
Найдем решение задачи Коши для ДУ 2 порядка :
ЭКЗ. Для ДУ 2 порядка найти: 1)множество решений; 2)решение задачи Коши с начальными условиями :
§2 Ду 1 порядка с разделяющимися переменными
Рассмотрим ОДУ 1 порядка y’(x)=f(x,y) и точку (x0,y0) на плоскости.
Ответ на вопрос существования его решения дает следующая
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши ).
«Если в области функции двух переменных непрерывны и точка, задача Коши имеет в областиD единственное решение – дифференцируемую функцию у(х,х0,у0)».
Замечания.
1) По теореме через каждую точку области D проходит одна интегральная кривая y=y(x,x0 ,y0).
2) Если область определения функции y(x,x0 ,y0) является объединением нескольких интервалов, решением задачи Коши она является лишь в той ее части, в которой находится начальная точка (х0,у0) и в которой эта функция непрерывна и дифференцируема.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными (ДУРП) называется ДУ 1 порядка
Если функция p(x) непрерывна на промежутке (a;b), а функция g(y) непрерывно дифференцируема на (c;d), через каждую точку прямоугольной области проходит единственная интегральная кривая этого ДУ.
Рассмотрим алгоритм решения ДУРП на примере: (1)
Так как условия теоремы выполнены , задача Коши слюбыми начальными условиями имеет единственное решение.
2) Очевидно, что функция-константа удовлетворяет ДУ: , так что y(x)≡0 – частное решение ДУ. (2)
Домножим ДУ на dx ), разделим его на у2 и получим ДУ с разделенными переменными:
(2)
После интегрирования получим уравнение
[Ф(x,y(x),С)=0] (3)
которое при всех допустимых значениях константы С определяет множество решений ДУ и называется “общим интегралом” ДУ.
Если из общего интеграла удается записать явное выражение функции
Ф(x,y(x),С)=0 ,
его называют «общим решением» ДУ.
Таким образом, множество решений ДУ(1)
(4)
Решение задачи Коши следует искать в множестве (4). Например, для начального условия y(0)=1 найдем его из общего решения:
На рис.1 приведены графики y(x)≡0;
Обратите внимание :
1)ДУ определено на всей плоскости; 2) функция у(x) является решением ДУ на R/{t1,t2}, но 3) решением задачи Коши с начальным условием y(0)=1 функция у(x) (как дифференцируемая функция) является лишь на (t1;t2). 4) аналогично, функция у(x) является решением задачи Коши с начальным условием y(- 2)=1/(1-ln(5)) на (-∞;t1), а с условием y(2)= 1/(1-ln(5)) – на (t2;+ ∞); решением же задачи Коши с начальным условием y(2)=0 является функция y(x)≡0; x€R.
Замечания.
1) В общем случае ДУРП имеет вид
.
Алгоритм его решения:
Находятся корни функций и соответствующие «частные решения» ДУ - функции-константы: .
Записывается ДУ с разделенными переменными:
,
после интегрирования которого находится «общий интеграл» ДУ:
2) С помощью подходящих преобразований к ДУРП приводятся некоторые типы дифференциальных уравнений. Способы таких преобразований можно найти в математических справочниках; в «Сборнике задач по математике; ч.2; А.В. Ефимов,Б.П.Демидович» эти способы иллюстрируются примерами.
Например,
1) ДУ вида y’=f(ax+by) dy=f(ax+by)dx приводятся к ДУРП, если ввести «новую» функцию
2)C помощью подстановки y(x)=xU(x) к ДУРП сводится “Однородное ДУ” :
Например,