Шпора №16

1. Задача о массе кривой, приводящая к понятию криволинейного и-ла по длине кривой. Пусть задана кривая в пространстве и на ней расположенна масса с плотностью (P)= _l0lim(m/l)=(x,y,z). Найдем массу кривой. Мы будем считать что разбиение столь мало, что каждый из отрезков однороден и плотность на нем совпадает с плотностью соответствующей точки P_k, тогда масса равна: Mⁿ_k=1f(p_k)l_k; а точно M=_0limⁿ_k=1f(p_k)l_k; (где =max{l₁;l₂…l_n} – максимальный диаметр на который разбивается фигура), а это и есть кр-л-й и-л по длине дуги, т.е. _0limⁿ_k=1f(p_k)l_k=_f(x,y,z)dl=_f(p)dl (определение определенного и-ла – Предел n-ной интегральной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0; при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы)

2. Задача о массе плоской пластины, приводящая к понятию двойного и-ла. Пусть задана область на пл-ти и на ней расположенна масса с плотностью (P)= _S0lim(m/S)=(x,y). Найдем массу этой области. Мы будем считать что разбиение столь мало, что каждый из отрезков однороден и плотность на нем совпадает с плотностью соответствующей точки P_k, тогда масса равна: Mⁿ_k=1f(p_k)S_k; а точно M=_0limⁿ_k=1f(p_k)S_k; (где =max{S₁;S₂…S_n} – максимальный диаметр на который разбивается фигура), а это и есть 2-й и-л, т.е. _0limⁿ_k=1f(p_k)S_k=_df(x,y)dS=_df(p)dS (определение определенного и-ла – Предел n-ной интегральной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0; при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы)

3. Задача о массе изогнутой пластины, приводящая к понятию поверхностного и-ла 1-го рода. Пусть задана пов-ть в пространстве и на ней расположенна масса с плотностью (P)= _q0lim(m/q)=(x,y,z). Найдем массу пов-ти. Мы будем считать что разбиение столь мало, что каждый из участков разбиения однороден и плотность на нем совпадает с плотностью соответствующей точки P_k, тогда масса равна: Mⁿ_k=1f(p_k)q_k; а точно M=_0limⁿ_k=1f(p_k)q_k; (где =max{q₁;q₂…q_n} – максимальный диаметр на который разбивается фигура), а это и есть 2-й и-л, т.е. _0limⁿ_k=1f(p_k)q_k=_Qf(x,y)dq=_Qf(p)dq (определение определенного и-ла – Предел n-ной интегральной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0; при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы)

4. Задача о массе тела, приводящая к понятию тройного и-ла. Пусть задано объемное тело пространстве и на нем расположенна масса с плотностью (P)= _V0lim(m/V)=(x,y,z). Найдем массу тела. Мы будем считать что разбиение столь мало, что каждый из участков разбиения однороден и плотность на нем совпадает с плотностью соответствующей точки P_k, тогда масса равна: Mⁿ_k=1f(p_k)V_k; а точно M=_0limⁿ_k=1f(p_k)V_k; (где =max{V₁;V₂…V_n} – максимальный диаметр на который разбивается фигура), а это и есть 3-й и-л, т.е. _0limⁿ_k=1f(p_k)V_k=_Vf(x,y,z)dV=_Vf(p)dV (определение определенного и-ла – Предел n-ной интегральной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0; при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы)

5. Понятие интегральной суммы. Определенный и-л по фигуре как предел интегральной суммы. Виды определенных и-лов. Определение определенного и-ла – Предел n-ной интегральной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0; при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы;

6. Основные св-ва определенных и-лов (док-во св-в для различных типов и-лов). Они справедливы только для 2-х и-лов. 1) Опр-й и-л от алгебраической  конечного числа слагаемых равен алгебраической  опр-х и-лов от слагаемых: _d[f(p)+g(p)]dS=_df(p)dS+_dg(p)dS; Док-во: обозначим F(p)=f(p)+g(p); _d[f(p)+g(p)]dS=_dF(p)dS; а по определению это есть _0limⁿ_k=1F(p_k)S_k=_0limⁿ_k=1[f(p_k)+g(p_k)]S_k=_0limⁿ_k=1f(p_k)S_k+_0limⁿ_k=1g(p_k)S_k=_df(p)dS+_dg(p)dS f(p)>0; g(p)>0; f(p)+g(p); 2) Постоянный множитель можно выносить за знак опр-го и-ла; 3)адитивность Пусть ф-ра F разбита на 2 части F₁ и F₂ тогда определенный и-л по фигуре F равен сумме опр-х и-лов по частям F₁ и F₂. _Df(p)dS=_D1f(p)ds+_D2f(p)ds; Док-во: Обозначим линию через , и проведем разбиение области D включая  как одну из линий разбиения. _0limⁿ_k=1f(p_k)S_k=_0lim(ⁿ_k=1`f(p<sub>k</sub>)S<sub>k+</sub><sup>n</sup><sub>k=1</sub>``f(p<sub>k</sub>)S<sub>k</sub>)=где в ` входит, т.е. ее ячейки на которые разбита область D₁, а в `` входит, т.е. ее ячейки на которые разбита область D<sub>2,</sub> а предел  равен  пределов=<sub>0</sub>lim<sup>n</sup><sub>k=1</sub>`f(p<sub>k</sub>)S<sub>k</sub>+<sub>0</sub>lim<sup>n</sup><sub>k=1</sub>``f(p)S_k=_D1f(p)dS+_D2f(p)dS; Определенный и-л по ф-ре для ф-ции f тождествннно равной единице равен мере этой фигуры. Док-во для плоской пластины: _DdS=_0limⁿ_k=11S_k=_0limⁿS=S_D;

7. Двойной и-л. Определение и геом.см. (с пояснением) Определение: Предел n-ной интегральной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0 (при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы), наз-ся двойным и-лом от ф-ции f(x,y) по области D. Геом.см.: Пусть ф-ция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл _Df(x,y)dS численно равен объему вертикального цилиндрического тела: сверху ограниченного пов-ю z=f(x,y), в основании которого лежит область D. V= _Df(x,y)dS; Пояснение: Разобьем цилиндрическое тело; и будем считать что S_k очень мало, возьмем произвольно точку P_k на нем и заменим данное цилиндрическое тело цилиндром с высотой f(p_k) и основанием S_k, тогда объем этого цилиндра равен V_k=f(p_k)S_k => объем всего тела это сумма все маленьких цилиндров Vⁿ_k=1f(p_k)S_k; V==_0limⁿ_k=1f(p_k)S_k; или V= _Df(x,y)dS

8. Криволинейный и-л по длине кривой. Определение и геом.см. кр-л-го и-ла по плоской кривой (с пояснением). Определение: Кр-л-м и-лом наз-ся предел n-ной суммы, когда максимальный диаметр на который разбивается фигура 0; при этом предполагается, что этот предел сущ-ет и не зависит от построения интегральной суммы Пояснение: Имеется и-л по кривой Г _f(x,y)dl; f(x,y)>0 образуем цилиндрическую пов-ть, срезая сверху пов-тью z=f(x,y). По определению _f(x,y)dl=_0limⁿ_k=1f(p_k)l_k; заменим полоску – прямоугольником. Площадь этой полоски равна S_k=f(p_k)l_k; => площадь цил-кой пов-ти равна Sⁿ_k=1f(p_k)l_k, а точно S=_0limⁿ_k=1f(p_k)l_k, а это есть криволинейный и-л. Вывод: Кр-л-й и-л по плоской кривой от положительной ф-ции равен площади соответствующей цилиндрической пов-ти с направляющей  и образующей || оси OZ; _f(x,y)dl=S

9. Вычисление кр-л-го и-ла по длине кривой для различных способов задания кривой. Площадь пов-ти вращения. Т1: Площадь пов-ти вращения плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси равна произведению длины дуги на длину окружности описываемую центром тяжести; Т2: Имеется плоская ф-ра D она вращается и объем тела вращения равен V=_a^by²(x)dx, а для центра y_c=_DydS/S, раскроем этот и-л _Dydxdy=_a^bdx_y2(x)^y1(x)ydy=_a^b(y²/2|^y2(x)_y1(x))dx=(1/2)_a^by²₂(x)dx-(1/2)_a^by²₁(x)dx => V=S2y_c;

10. Вычисление 2-го и-ла в декартовых координатах (с обоснованием). Вычисление 2-го и-ла в полярных координатах (сформулировать правило вычисления). Мы будем рассматривать 2-й и-л как  бб числа бм величин. Выясним чему равен диф-л dS в декартовых к-х, для этого разобьем область D координатными прямыми (прямыми || осям) на части. S – площадь элементарного участка. dS=dxdy; _df(x,y)dS=_df(x,y)dxdy; Р-м случай когда f(x,y)>0 и будем ее интерпретировать как плотность пластинки D. M=_df(x,y)dS (1); Р-м область D специального вида, а именно она ограничена y=y₂(x), y=y₁(x) и прямыми x=a, x=b. Мы будем называть ее правильной в направлении оси OY если люб.прямая проходя || оси OY и проходящая через внутреннюю точку (a,b) пересекает границу области в 2-х точках. Вычислим массу пластины др.способом, мы разобьем пластину узкими полосками. Вычисли массу 1-й полоски: он однороден и его плотность равна плотности в (.)P_k; f(x,y)=f(P); f(P)dS=f(P)dxdy; масса этой полоски _y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)dydx=dx_y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)dy; Вся масса: M=_a^bdx_y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)dy. Если сравнить полученное выражение для массы с формулой (1), то получим следующую формулу для вычисления 2-го и-ла: _df(x,y)dS= _df(x,y)dxdy= _a^bdx_y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)dy (где _a^bdx-внеш.и-л по перем-й х; _y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)dy-внутренний и-л по перем-й y); Для вычисления 2-го и-ла по области D поступаем след.образом: фиксируем x и вычисляем и-л по переменной y от точки входа до точки выхода, затем полученную ф-цию по переменной x интегрируем в пределах наиб-шего изменения этой переменной; (Если область не явл-ся правильной ее разбивают на части при этом пользуясь св-вом адитивности и-ла). Определение из практики: 1)Спроекцируем одласть D на ox; 2) a<x<b; 3) из люб.точки [a,b] проведем луч ||oy; 5) Найдем точку входа и точку выхода; 5) y₁-ур-е линии входа; y₂-ур-е линии выхода_df(x,y)dS= _df(x,y)dxdy= _a^bdx_y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)dy;

11. Теорема об оценке (с док-вом) и ее геом.см. об оценке опр.и-ла по фигуре. Предположим, что для всех точек P, фигуры F выполняется m<f(p)<M (1), тогда опр-й и-л по фигуре F больше или = m и меньше или = M. _df(p)dS и докажем mS_d< _df(p)dS<MS_d; Док-во: _df(p)dS=_0limⁿ_k=1f(p_k)S_k возьмем сумму ⁿ_k=1f(p_k)S_k, по определению это mⁿ_k=1S_k< ⁿ_k=1f(p_k)S_k<M ⁿ_k=1S_k перейдем к пределу m_0lim ⁿ_k=1S_k< _0lim ⁿ_k=1f(p_k)S_k<M_0lim ⁿ_k=1S_k где _0lim ⁿ_k=1S_k площадь обл.D => mS_d< _df(p_k)dS_k<MS_d чтд. Геом.см: Площадь фигуры меньше M(b-a) и больше m(b-a), для пространственной фигуры г.с.состоит в том, что V цилиндрического тела расположен меж. V вписанных и описанных цилиндров.

12. Теорема о среднем значении ф-ции на фигуре (с док-вом) и ее геом.см. Пусть ф-ция z=f(p) непрерывнана ограниченой замкнутой ф-ре F, тогда найдется (.)P на ф-ре F, такая что значение определенного и-ла по фигуре от ф-ции z=f(p), равно произведению меры фигуры на значение ф-ции z=f(p) в точке P₀ (т.е.z=f(P₀)); 1)_a^bf(x)dx=f(p₀)(b-a); 2)_f(p)dl=f(p₀)L_; 3)_df(p)dS=f(p₀)S_d; 4)_qf(p)dq=f(p₀)S_q; 5)_Tf(p)dV=f(p₀)V_T; Док-во 3): Обозначим через m и M наименьшее и наибольшее знач-е ф-ции на замкнутой ограниченной обл.D. В силу св-ва таких ф-ций для всех (.)-ек выполняется m<f(p)<M (PD); Воспользуемся Т.об оценке… mS_d< _df(p)dS<MS_d, разделим на S_d… m< (_df(p)dS)/S_d<M где (_df(p)dS)/S_d – число меж.m и M. В силу Т. о промежуточном значении непрерывной ф-ции, сущ-ет (.) P₀ в обл-ти D такая, что f(p₀) равняется этому числе, т.е.f(p₀)= (_df(p)dS)/S_d, а это и требовалось доказать чтд. Вывод из Т: Сущ-ет (.)P₀ в обл-ти D такая, что V цилиндрического тела равен V цилиндра с тем же основанием D и высотой f(p₀).

13. Вывод формул для моментов инерции плоской кривой и плоской пластины. Момент инерции это произведение массы на квадрат расстояния. Мом.ин.пластины D относ-но осей ox и oy: dIx=y²(x,y)dS; I_x=_Dy²(x,y)dxdy; I_y=_Dx²(x,y)dxdy; Для дуги в пространстве: dI_xy=z²(x,y,z)dl; I_xy=_z²(x,y,z)dl; Пример док-ва(_df(x,y)dS= _df(x,y)dxdy= _a^bdx_y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)d)

14. Вывод формул для статических моментов плоской кривой и плоской пластины. Статическим моментом точки отн-но оси или пл-ти наз-ся произведение массы на длину расстояния от точки до оси или пл-ти. Статический момент мат. Точек отн-но оси или пл-ти равен сумме ст-х моментов точек отн-но оси или пл-ти. Р-м плоскую область D и ее ст-й момент отн-но оси OX. Выделим элементарную частичку, выберем (.) P_k на ней, сосредоточим всю массу в этой точке. (x,y)>0; dS_x=y(P_k)dS; S_x=_Dy(x,y)dS; S_y=_Dx(x,y)dS; Для кривой в пространстве: dS_xy=z(x,y,z)dl; S_xy=_z(x,y,z)dl Пример док-ва(_df(x,y)dS= _df(x,y)dxdy= _a^bdx_y=y1(x)^y=y2(x)f(x,y)d)

15. Определение центра тяжести фигуры. Вывод формул для координат центра тяжести плоской пластины и плоской кривой. Точка с – центр тяжести фигуры F, это такая точка, что если сосредоточить в ней всю массу фигуры, то статический момент это й точки относительно оси (или пл-ти в пространстве) равен статическому моменту фигуры отн-но той же оси(пл-ти). Найдем координаты центра тяжести: My_c=S_x; M=_D(x,y)dS; y_c=_Dy(x,y)dS/_D(x,y)dS; x_c=_Dx(x,y)dS/_D(x,y)dS; Если (x,y)=1; x_c=_DxdS/S; y_c=_DydS/S; Если =1 то это статический момент площади. В случае однородной ф-ры стат.моменты, наз-ся стат-ми моментами площади; Для кривой: Mz₀=S_xy; S_xy=_z(x,y,z)dl; z_c=_z(x,y,z)dl/_(x,y,z)dl; x_c=…; y_c=…; Р-м однородную фигуру (=1). Если она имеет ось (или пл-ть симметрии), то статический момент фигуры отн-но оси (пл-ти) равен нулю. Если однородная ф-ра имеет центр симметрии, то статический момент отн-но центра симметрии равен нулю. => Центр тяжести ф-ры имеющей ось, пл-ть или центр симметрии лежит соотв-нно на оси, пл-ти или центре. Док-во: dS_x⁽¹⁾=ydS; dS_x⁽²⁾ydS; dS_x=ydS+(-ydS)=0; x_c=y_c=0;

16. Формулы для статических моментов и моментов инерции пространственных фигур. Моменты инерции: для кривой в пространстве: dI_xy=z²(x,y,z)dl; I_xy=_z²(x,y,z)dl; для тела Т: I_xy=_Tz²(x,y,z)dxdydz; отн-но начала коорд-т: I₀=_T(x²+y²+z²)(x,y,z)dxdydz; Пов-ть на пл-ти отн-но оси: I₀=_D(x²+y²)(x,y)dS; Статические моменты: S_x=_Dy(x,y)dS; S_y=_Dx(x,y)dS – плоской области. ; Для кривой в пространстве: S_xy=_z(x,y,z)dl

17. Задача о работе силы. Кр-л-й и-л по координатам (определение и св-ва с док-вом) Имеется пространственное силовое поле: F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k; A=FAB (1); Точка движется по дуге  (у дуги есть направление). На пл-тиF(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j разбиваем на части M_k(x_k,y_k); M_k+1(x_k+1; y_k+1) проведем хорду M_k-M_k+1; M_kM_k+1=x_ki+y_kj; x_k=x_k+1-x_k; y_k=y_k+1-y_k; Будем считать, что разбиение столь мало (что участок однороден), что кривую  можно заменить соответствующей ломаной и на «катом» участке (k=1,2…n)сила постоянна и равнаF(M_k)=F(x_k,y_k); (k=1,2…n), тогда работа совершаемая мат.точкой на «катом» участке равна A_k=F(x_k,y_k)M_kM_k+1 (в силу формулы (1)); A_k=[P(x_k,y_k)i+Q(x_k,y_k)j][x_ki+y_kj]=P(x_k,y_k)x_k+Q(x_k,y_k)y_k; (k=1,2…n); Работа по всей дуге равна Aⁿ_k=1[P(x_k,y_k)x_k+Q(x_k,y_k)y_k]; A=_{maxxk0;maxyk0}ⁿ_k=1[P(x_k,y_k)x_k+Q(x_k,y_k)y_k] (1); В пространстве…+R(x_k,y_k,z_k)z_k] (2). Пусть задана ф-ция f(x,y) на кривой . Разобьем кривую и составим интегральную сумму _maxx0limⁿ_k=1f(x_k,y_k)x_k= – интегральная  кр-л-го и-ла по переменной x; Если сущ-ет предел интегральной  и он не зависит от способа разбиения, то он наз-ся кр-л-ным и-лом 2-го рода от ф-ции f(x,y) по переменной x; =f(x,y)dx; Тоже и с y: _maxy0limⁿ_k=1g(x_k,y_k)y_k=g(x,y)dy_k; Составной кр-л-й и-л 2-го рода по кривой : _f(x,y)dx+_g(x,y)dy; _=_A^B; Работа в силовом поле F: A=_P(x,y)dx+_Q(x,y)dy; Для пространственного поля: A=_P(x,y,z)dx+_Q(x,y,z)dy+_R(x,y,z)dz; Если ф-ции P,Q,R – непрерывные, а кривая  задается гладким (непрерывность 1-й производной) образом, то составной и-л сущ-ет

18. Кр-л-й и-л по координатам (определение и вычисление) Пусть задана ф-ция f(x,y) на кривой . Разобьем кривую и составим интегральную сумму _maxx0limⁿ_k=1f(x_k,y_k)x_k= – интегральная  кр-л-го и-ла по переменной x; Если сущ-ет предел интегральной  и он не зависит от способа разбиения, то он наз-ся кр-л-ным и-лом 2-го рода от ф-ции f(x,y) по переменной x; =f(x,y)dx; Тоже и с y: _maxy0limⁿ_k=1g(x_k,y_k)y_k=g(x,y)dy_k; Составной кр-л-й и-л 2-го рода по кривой : _f(x,y)dx+_g(x,y)dy; _=_A^B; Работа в силовом поле F: A=_P(x,y)dx+_Q(x,y)dy; Для пространственного поля: A=_P(x,y,z)dx+_Q(x,y,z)dy+_R(x,y,z)dz; Если ф-ции P,Q,R – непрерывные, а кривая  задается гладким (непрерывность 1-й производной) образом, то составной и-л сущ-ет; Вычисление: Задан и-л вдоль кривой  x=x(t)}~y=y(t)} <t<; f(x,y)dy=_^f[x(t),y(t)]y`(t)dt; <sub></sub>f(x,y)dx=<sub></sub><sup></sup>f[x(t),y(y)]x`(t)dt; Если кривая задана как y=y(x), а x изменяется в a<x<b _f(x,y)dx=_a^bf[x,y(x)]dx; Если x=x(t)}~y=y(t)}~z=z(t)}(<t<); _f(x,y,z)dx=_^f[x(t),y(t),z(t)]x`(t)dt;

19. Формула Грина (с док-вом). Т1: Дана связная область P(x,y), Q(x,y) на D. Предположим, что ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в обл.D. Тогда справедлива формула _D(Q/x-P/y)dS=_0P(x,y)dx+Q(x,y)dy – Формула Остроградского-Грина Эта формула связывает и-л области D с и-лом по границе области. Док-во: будем доказывать -_DP/ydS=_0P(x,y)dx (3); Р-м 2-й и-л: _DP/ydS=_a^bdx_y1(x)^y2(x)P/ydy=_a^b[P(x,y)|_y1(x)^y2(x)]dx=_a^bP[x,y_2(x)]dx-_a^bP[x,y₁(x)]dx (воспользуемся правиломf`(x)dx=f(x)+c);Посмотрим что такое левая часть ур-я, т.к.y₂(x) верхняя дуга и и-л от a до b т.е.слева направо(против напр-я ) то запишем как минус -_BNAPdx-_AMBPdx=-_0P(x,y)dx т.е доказали (3); Так-же доказывается и для Q(x,y)dy

20. Условия независимости кр-л-го и-ла от пути интегрирования (с док-вом). Имеется плоское векторное полеF(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j; и рассматривается и-л Pdx+Qdy; A движется к B по люб. Тр-рии.(1;2,…n). При каких условиях на его компоненты P(x,y) и Q(x,y) и-л не зывисит от выбора пути интегрирования. Т.е.работа совершаемая мат.точкой от A до B в таком поле не зависит от выпора пути интегрирования. Т1: Везде будем считать, что ф-ции P и Q непрерывны вместе со своими частными производными в замкнутой области D. Для того, чтобы кр-л-й и-л не зависел от выбора пути интегрирования в области D необходимо и достаточно, чтобы и-л по любому замкнутому контуру (лежащему в этой области D) был равен 0. Необходимость: И-л не зависит от пути; Док-ть: что и-л по замкнутому контуру был равен 0, т.е. _=0 (и-л замк.); _0=_ANB+_BMA; у нас и-л не зависит от выбора пути, т.е. _ANB=_BMA; _0= _ANB-_BMA, а из соотношения _ANB+_BMA следует что _0=0; Достаточность: Дано: _0=0; Док-ть: что и-л не зависит от выбора пути интегр-я. Док-во в обратном направлении. Т2: Предположим P(x,y) и Q(x,y) непрерывны со своими частными производными в односвязной, замкнутой области D, т.е. P,QW¹(D)(Область на пл-ти наз-ся односвязной, если любой гладкий, замкнутый контур можно “стянуть” в точку не выходя за пределы области D. Если взять 1-связную обл. и выколоть точку, то область будет 2-связная). Для того чтобы кр-л-й и-л _Pdx+Qdy не зависел от выбора пути интегр-я, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках выполнялось соотношение: P/y=Q/x (1). Достаточность: Дано: (1); Док-ть: и-л не зависит от выбора пути интегр-я; Применим формулу Остроградского-Грина_D(Q/x+P/y)dS=_0Pdx+Qdy=0; Необходимость: Дано: и-л не зависит от выбора пути инт-я; Док-ть: что во всех точках выполняется (1). Предположим противное, сущ-ет такая точка M₀ в обл.D что в ней не выполняется (1). Т.к. ф-ции P,QW¹(D), то сущ-ет окрестность точки M₀ в которой ф-ция P/y-Q/x сохраняет тот же знак, что и в точке M₀; Р-м P/y|_M0Q/x|_M0; Q/x|_M0-P/y|_M0>0; (Q/x-P/y)|_M0>0; Поэтому сущ-ет окрестность точки M₀, такая, что во всех точках этой окрестности в кот.она положительна, применим формулу О-Грина. _0Pdx+Qdy=_VM0(Q/x-P/y)dS; >0 |(Q/x-P/y)_MCVM0|>>0; В силу Т. о неравенствах 2-го и-ла _VM0dS=_VM0S>0; Мы пришли к тому что 0Pdx+Qdy>0, в силу Т1 это противоресит тому что кр-л-й и-л не зависит от выбора пути интегр-я. чтд

21. Числовой ряд. Его сходимость, сумма. Необходимый признак сходимости (с док-вом). Основные св-ва сходящихся рядов (сдок-вом). Сумма бесконечной последовательности членов a₁, a₂, a₃ наз-ся рядом, a_n – общий член ряда. Сумма n первых членов ряда наз-ся n-ной частичной суммой S_n Если величина S_n при n имеет предел S, т.е. _nlimS_n=S то ряд наз-ся сходящимся, а число S наз-ся суммой ряда. Если предел не сущ-ет или равен , то ряд наз-ся расходящимся. Необходимый признак: если ряд (1) сходится, то предел общего члена равен 0; a_n-сх-ся=> _nlima_n=0; Следствие необходимого признака: Если предел общего члена не равен 0, то ряд (1) расх-ся. _nlima_n0=>a_n-расх-ся. Признак сравнения: Пусть имеется 2 знакоположительных ряда a_n и b_n, если а_n<b_n , то 1) если ряд с большими членами b_n сх-ся, то и сходится ряд с меньшими членами a_n сх-ся; 2) если ряд с большими членами b_n расх-ся, то и сходится ряд с меньшими членами a_n расх-ся;

22. Ряды с положительными членами. Ограниченность частных сумм – необходимое и достаточное условие сходимости ряда (с док-вом); a₁+a₂+…+a_n+…=^_n=1a_n (1) где a_n>0 (n=1,2…) (т.е.положительные числа). Т1: Необходимое и достаточное условие сх-ти знакоположительного ряда. Для того что бы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены. Т.е. (1)сх-ся  S_n<c(n=1,2…); Док-во: Частичные суммы ряда возрастают, т.е. S_n<S_n+1 (n=1,2) (2); S_n+1=a₁+a₂+…+a_n+a_n+1=S_n+a_n+1; a a_n+1>0; => S_n+a_n+1>S_n; Необходимость: Дано: (1)сх-ся, покажем что его частичные суммы ограничены т.е.  S_n<c(n=1,2..). По определению т.к. 1 сх-ся то _nlimS_n=S; S_n<S=const (n=1,2…); Достаточность: S_n – ограниченная посл-ть тредуется док-ть что (1) сх-ся. Воспользуемся Т о пределе последовательности. (Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху y , то она имеет предел) Т.е. если S_n ограничена то сущ-ет предел S_n_nlimS_n=S; (Т1: ^_n=1a_n-сх-ся => _nlima_n=0; Следствие из Т1: _nlima_n0 =>^_n=1a_n-расх-ся)

23. Признаки сравнения (с док-вом). Пусть имеются 2 знакоположительных ряда. a₁+a₂+…+a_n+…=^_n=1a_n; a_n>0 (n=1,2…)(1); b₁+b₂+…+b_n+…=^_n=1b_n, b_n>0 (n=1,2…)(2); a_n<b_n (n=1,2…) тогда справедливо следующее утверждение: 1) Если сх-ся ряд (2), то и сх-ся ряд (1); 2) Если расх-ся ряд (1), то расх-ся ряд (2); Док-во: Обозначим через S_n=a₁+a₂+…+a_n – частичную сумму ряда (1), а через _n=b₁+b₂+…+b_n – частичную сумму ряда (2); S_n<_n (n=1,2…) (4); 1) Докажем что ряд b сх-ся. ^_n=1b_n<=>_n<const (n=1,2…) в силу (4) S_n<const, а в силу достаточного условия Т1(Необх-е и достаточное услюсх-ти ряда:Для того что бы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены. Т.е. (1)сх-ся  S_n<c(n=1,2…);) ряд сх-ся ^_n=1a_n<; 2) _nlimS_n==>_nlim_n=; частичные суммы ряда (2) – неограниченны в силу условия Т1 этот ряд расх-ся чтд

24. Признаки сравнения в предельной форме (с док-вом); Сравнения з-п-х рядов. Пусть для членов (1)и (2) выполняется lima_n/b_n=K (0<K<)(5) тогда ряды (1) и (2) ведут себя одинаково т.е. если сх-ся один из рядов то и сх-ся и др; если расх-ся один то и др. расх; Док-во: Распишем определение предела: >0N _nn>N |a_n/b_n-K|<; K-<a_n/b_n<K+ (n>N); (k-)b_n<a_n<(k+)b_n (n>N)(6); Покажем что если сх-ся (1) то и сх-ся (2): Восп-ся неравенством (k-)b_n<a_n и р-м ряд ^_n=N(k-)b_n (k=const; =const) члены этого ряда меньше чем члены сх-ся ряда => данный ряд ^_т=Т(л-)b_n –сх-ся т.е.(k-)b_n –сход.< b b_n; 2) (1)- расх. Восп-ся неравенством (6) a_n<(k-)b_n (n>N); и р-м ряд (k+)b_n, т.е.члены этого ряда больше данного ряда и т.к. (k-)b_n-расх то и _n=N b_n – расх и _n=1b_n-расх