Свойства Элементарных функций

(одиннадцать элементарных функций)

Понятие предела числовой

последовательности.

Геометрическая интерпретация.

Пусть независимый аргумент X образует некоторую числовую последовательность: Х₁; Х₂; Х₃;…; Х_n;

Числовая последовательность может быть организована по некоторому закону.

При изменении номера n, члены последовательности могут стремиться к некоторому фиксированному числу. Например в примере при n члены последовательности стремятся к нулю.

Число к которому стремятся члены числовой последовательности при увеличении n, называют пределом числовой последовательности.

Введём некоторую окрестность числа a в первом примере

Число А наз. пределом числовой последовательности Xn, если для как угодно малого положительного найдётся такой номер N, начиная с которого n>N, все члены последовательности попадают в - окрестность этого числа А, или выполняется неравенство

Если А – конечное число, то говорят числовая последовательность сходится, её называют сходящейся. Если А, то числовая последовательность расходящаяся.

Операции со сходящимися последовательностями. Пусть имеем две сходящиеся последовательности. Тогда предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, произведению, частному (не равному 0), этих пределов.

Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы.

Если независимый аргумент функции f(x) изменяется, и образует числовую последовательность {Xn}, а именно x₁; x₂; x₃; …; x_n; то функция y образует тоже числовую последовательность f(x₁); f(x₂); f(x₃); …; f(x_n); Т. е. Имеем две последовательности x_n и y_n.

Чтобы сформулировать определение предела функции y(x_n) в точке x₀, нужно повторить дважды определение предела для числовой последовательности x_n и y_n.

Число A называется пределом функции f(x), если для любого сколь угодно малого >0, найдётся как угодно малое, что начиная с некоторого номера N выполняется неравенство |x – x₀|< и | f(x) – A|<.

Из определения предела f(x) в x₀ не следует A= f(x₀). Может быть, что в точке x₀ функция не определена, а предел в этой точке существует. Например:

В точке x функция не определена, а предел равен 1.

Понятие предела функции в точке.

Односторонние пределы.

Понятие предела числовой

последовательности.

Геометрическая интерпретация.

Свойства Элементарных функций

(одиннадцать элементарных функций)

Бесконечно малые функции

и операции с ними

Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x=0 если предел при x0 функции f(a)=0.

lim{x0}sin(x)=0 lim{x0}arcsin(x)=0

lim{x0}tg(x)=0

Сумма конечного числа бесконечно малой функции есть б/м функция (справедливо и для разности).

Произведение конечного числа б/м функции есть функция бесконечно малая.

Произведение ограниченной функции на функцию бесконечно малую, есть функция бесконечно малая.

Следствия из свойств:

Проиведение б/м функции на константу есть функция б/м.

Натуральная степень бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая.