Высшая математика Ответы на вопросы

15. Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность, частные производные

Понятие функции нескольких переменных. Функция нескольких переменных имеет вид:

z = f (x,y,…).

Всякая функция от нескольких переменных становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать, т.е. придать им постоянные значения.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных

z = f (x,y) (15.1)

является поверхность в пространстве Оxyz.

Частные приращения. Пусть z = f (x,y) есть функция от двух переменных x и y. Дадим переменной х приращение х, оставляя переменную y неизменной. Тогда частным приращением функции f (x,y) по переменной x называется разность

_xz = f (x + x,y) - f (x,y).

Аналогично записывается частное приращение функции f (х,у) по переменной у:

_yz = f (x, y + y) – f (x,y).

Если обе переменные х и у получили соответственно приращения х и у, то соответствующее приращение функции

z = f (x + x, y + y) – f (x,y)

называется полным приращением функции f (x,y) или просто приращением функции. Полное приращение не равно сумме частных приращений.

Непрерывность. Функция от двух переменных f (x,y) называется непрерывной в точке (x₀,y₀), если 1) функция определена в данной точке; 2) бесконечно малым приращениям x₀ = x – x₀ и y₀ = y – y₀ переменных x и у соответствует бесконечно малое приращение f (x₀,y₀) функции f (x,y). Иначе говоря при любом (если для него имеет смысл приращение функции) стремлении приращения переменных х и у к нулю, выполнено условие

. Функция от двух переменных f (x,y) называется непрерывной в данной области, если эта функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области, т.е. для каждой точки (x,y) области выполняется равенство:

. (15.2)

Иначе говоря, функция непрерывна тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям ее аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

Из формулы 15.2 следует, что

f (x + x, y + y) = f (x,y) + ,

где  - бесконечно малая при х  0 и у  0, т. е. если функция f (x,y) непрерывна, то значения ее в двух бесконечно близких точках отличаются друг от друга на бесконечно малую функцию. Положим x + x = x₁ и y + y = y₁. Очевидно, что при х  0 и у  0 имеем х  х₁ и у  у₁ и обратно. Тогда из формулы 15.2 получаем эквивалентное определение непрерывности функции двух переменных:

.

Частные производные. Пусть дана функция z = f (x,y) (функция определена в некоторой полной окрестности точки х,у). Рассмотрим отношение частного приращения фукнции z по переменной х к приращениюх этой переменной:

.

Предел этого отношения при х стремящемся к нулю, если таковой существует, называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x,y) по х и обозначается так:

Аналогично определяется частная производная функции z по у. Итак, частной производной функции от нескольких переменн.

ых по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю:

.

Отсюда видно, что частная производная функции от нескольких переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными:

, где у = const, и т.д.

Следовательно, частное дифференцирование подчиняется всем известным правилам дифференцирования.

Геометрический смысл частной производной: частная производная функции двух переменных f (x,y) по переменной х есть коэффициент наклона касательной к кривой, представляющей собой сечение поверхности, описываемой данной функцией, соответствующей плоскостью, параллельной координатной плоскости Oxz.