4. Математические объекты и их происхождение. Способ определения математических объектов. Понятие множества по Кантору; место множества в иерархии математических объектов.

Математические объекты не изобретаются математиками. Они открываются как и любые другие объекты. Открываются по мере необходимости. Математические объекты по своей природе объективны. Они определены через другие ещё более абстрактные объекты.

Понятие множеств по Кантору: Множество – это многое мыслимое нами как единое.

Множество долгое время считалось самым абстрактным объектом, пока не открыли элементы множества.

5. Отношение принадлежности элемента множеству; способы задания множеств.

Способы задания множества:

1 – перечисление элементов

2 – с помощью порождающей процедуры.(Задание порождающей процедуры предлагает описание неких характеристик свойств элементов.)

При этом предполагается наличие множества Х, которое по каким – то причинам должно быть изменено для задания множества У, нужно только правильно выбрать некоторые элементы исходного множества с помощью какой-то порождающей процедуры, т.е. элементы множества должны быть характеристиками.

А так же элементы множества могут принадлежать и не принадлежать множеству.

6. Мощность множества; классификация множеств по мощности; способ установления соответствия множеств по мощности.

Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов

множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Виды множеств:

1)Конечное множество (алфавиты множеств)

2)Бесконечные (с бесконечным числом элементов)

а) Бесконечные счетные

б) бесконечные континуальные(множества мощностью континуум)

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .

  • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, ког да оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.

• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или.

• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

• Мощность декартова произведения:

• Формула включения-исключения в простейшем виде:

7. Определение подмножества; отношения множеств; собственное (строгое) подмножество. Процедура сравнения множеств.

1) Из двух множеств одно множество является подмножеством другого, если каждый элемент является элементом другого множества. X С Y  (xX)&(xY)

Отношение множества к подмножеству: С

2) Равество множеств: =

Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

X=Y  (X C Y)&(Y C X)

3) Несравнимость множеств: =/=

Два множества несравнимы, если каждое из них не является подмножеством другого.

X=/=Y  (X C Y)& (Y C X)

4) Строгое или собственное множество: С

Из двух множеств одно является строгим, если оно подмножество другого, а другое нет.

XCY  (X C Y)& (Y C X)

8. Определение множества-универсума и булеана; мощность булеана.

Универсум – множество которое покрывает любое из рассматриваемых множеств, не покрывает другие множества рассматриваемые в других ситуациях.

Булеан – множество всех подмножеств данного конечного множества (универсума).

Мощность булеана |B(I)| = 2^|I|

9. Определение объединения и пересечения множеств; диаграммы Эйлера-Венна.

Объединение множеств – называется такое третье множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному. XUY = Z = {x|(xX)V(xY)}

Пересечение множеств – такое третье множество, каждый элемент которого принадлежит как первому, так и второму. XY = Z = {x|(xX)&(xY)}

Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера.