57. Ряд Котельникова и функция отчетов.

На основе открытых Фурье спектральных преобразований Котельников доказал, что сложный непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

-ряд Котельникова,

где - нормированная функция отсчетов

(мак симальная амплитуда равна 1; момент существования k-ого отсчета сигнала t^* = k  _T).

_T - шаг дискретизации;

_m - круговая частота высшей гармоники спектра сигнала (самой высокочастотной);

k - номер очередного отсчета сигнала (номер узкого импульса);

t - текущее время.

Данное преобразование, называемое рядом Котельникова, позволяет абсолютно точно отображать сложный непрерывный сигнал последовательностью бесконечно узких импульсов, следующих с равным интервалом (шагом дискретизации), величина которого определяется в виде

, где f_m и T_min - соответственно частота и период высшей гармоники спектра сигнала.

Сигнал, представленный рядом Котельникова, должен удовлетворять следующим условиям:

а) условиям Дирихле;

б) спектр сигнала должен быть ограничен сверху частотой высшей гармоники _m, т.е. частотный диапазон спектра сигнала должен размещаться в пределах (0; _m); гармоник с частотами больше, чем _m не должно быть в спектре данного сигнала.

Нормированные функции отсчетов для разных отсчетных моментов не отличаются по форме, кроме смещения по оси времени (t^* = k  _T , (k + 1)  _T и т. д.) (рис.1.16). Каждая функция отсчетов равняется нулю для всех отсчетных моментов времени, кроме данного.

Для полного определения любой k-ой деформированной функции отсчетов необходимо знать:

значение сигнала в момент k-го отсчета f(k_T);

момент данного отсчета k_T (расположение k-й функции отсчетов на оси времени);

частоту или интервал следования отсчетов _T;

закон формирования функции отсчетов в виде

- деформированная или взвешенная функция отсчетов; f(k_T) - максимальная амплитуда взвешенной функции отсчетов или амплитуда узкого импульса в момент (k_T) k-го отсчета сигнала.

Таким образом, в ряду Котельникова под знаком  расположено множество деформированных функций отсчета. С учетом введенных понятий, математическое высказывание ряда Котельникова представляет исходную непрерывную функцию в любой момент времени t как суперпозицию (сумму) множества деформированных, или взвешенных, функций отсчетов.