6,24

Лабораторная работа № 6.24

Изучение сложениЯ колебаний

Цель: экспериментально исследовать явления происходящие при сложении колебаний.

Приборы и принадлежности: блок генератора напряжений ГН1, блок амперметра-вольтметра АВ1, генератор звуковых частот ЗГ1, стенд с объектами исследования С3-ЭМ01, осциллограф ОЦЛ2- 01, соединительные провода.

Краткие теоретические сведения

Сложение сонаправленных колебаний

Рассмотрим два гармонических колебания совершаемые в одном направлении.

.

Для вычисления амплитуды и фазы результирующего колебания применяется метод векторных диаграмм. Сущность метода заключается в том, что каждому колебанию сопоставляется вектор, модуль которого пропорционален амплитуде колебания, а направление будет отличаться от некоторого наперед заданного на угол равный фазе колебания. Данное правило проиллюстрировано на рис. 1. Колебаниям Х₁ и Х₂ соответствуют вектора и . Результирующему колебанию соответствует вектор . Как видно из рисунка амплитуда результирующего колебания может быть легко найдена по теореме косинусов

(1)

а начальная фаза определяется соотношением

(2)

Картина колебаний является неизменной, если их амплитуда не изменяется со временем. Из (1) видно, что это возможно только в случае если частоты складываемых колебаний ₁ и ₂ одинаковы.

Биения

Биениями называются колебания получающиеся при сложении двух сонаправленных колебаний с близкими частотами, такими, что  = ₂-₁<<₁, ₂. В этом случае амплитуда результирующих колебаний является медленно меняющейся периодической функцией времени. Типичная картина биений приведена на рис. 2.

Для простоты рассмотрим сложение двух колебаний с равными амплитудами А₁ = А₂ = А₀ и одинаковыми начальными фазами . В соответствии с (1) амплитуда результирующего колебания (рекомендуется самостоятельно проделать преобразования)

. (3)

В последнем выражении поставлен модуль, так как амплитуда по своему смыслу не может быть отрицательной. Из (3) следует, что амплитуда колебаний будет меняться от минимального значения до максимального ( в общем случае от | А₁ - А₂| до А₁ + А₂) с частотой называемой частотой биений.

(4)

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим движение точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях происходящих вдоль осей X и Y :

. (6)

где - фаза колебаний

Перепишем уравнения в другом виде

. (7)

Заменив во втором уравнении cos  на , а sin на , получим уравнение

. (8)

В случае когда складываются колебания с одинаковой частотой и разность их фаз остается постоянной последнее уравнение описывает эллипс, оси которого произвольно ориентированы относительно осей X и Y. В общем случае, когда частоты складываемых колебаний различны, траектории колеблющейся точки представляют собой сложные линии. Если частоты колебаний вдоль взаимно перпендикулярных осей соотносятся как целые числа

, (9)

то линии оказываются замкнутыми и называются фигурами Лиссажу (числа n_X, n_Y можно определить посчитав количество пересечений линии, образующей фигуру Лиссажу, с осями координат X и Y, причем, если ось проходит через точку пересечения ветвей фигуры Лиссажу, то эту точку считают дважды). Вид этих кривых зависит от соотношения частот, амплитуд и разности фаз складываемых колебаний, поэтому анализ фигур Лиссажу широко используется при исследовании колебаний.

Порядок выполнения работы

Часть1. Определение разности фаз сонаправленных колебаний.

По заданию преподавателя произведите измерения по методу 1 или методу 2.

Метод 1

1. Соберите схему в соответствии с рис. 3 (ЗГ – генератор звуковых частот) используя в качестве активного сопротивления R резистор R3 или R4, в качестве реактивного сопротивления Х – конденсаторы С1, С2 или С3 по заданию преподавателя. Данные занесите в таблицу 1.

2. Установите самостоятельно частоту сигнала в диапазоне от 8 до 12 кГц (кнопка «F» на ЗГ). Занесите выбранное значение в таблицу 1.

3. Получите на экране осциллографа одновременно два гармонических сигнала, режим I, II (кнопка «режим» и «+/-»). Установите коэффициенты усиления одинаковыми для обоих каналов (кнопка «К_ус» и «+/-»). Изменяя напряжение на выходе генератора звуковых частот (регулятор «U» на ЗГ) добейтесь чтобы амплитуда любого из сигналов не превышала двух делений по шкале осциллографа.

4. Не изменяя частоты генератора звуковых частот и коэффициентов усиления, переведите осциллограф в режим I (кнопка «режим» и «+/-»). Измерьте амплитуду первого колебания (в делениях осциллографа) А₁. Результат занесите в таблицу 1.

5. Не изменяя частоты генератора звуковых частот и коэффициентов усиления, переведите осциллограф в режим II (кнопка «режим» и «+/-»). Измерьте амплитуду второго колебания (в делениях осциллографа) А₂. Результат занесите в таблицу 1.

6. Не изменяя частоты генератора звуковых частот и коэффициентов усиления, переведите осциллограф в режим I+II («режим» и «+/-»). Измерьте амплитуду результирующего колебания (в делениях осциллографа) А. Результат занесите в таблицу 1.

7. По формуле (1) определите разность фаз колебаний  = ₂-₁. Результат занесите в таблицу 1.

Метод 2

1. Соберите схему в соответствии с рис. 4. Для измерения напряжений используется блок амперметра-вольтметра АВ1. В качестве активного сопротивления R подключите резистор R3 или R4, в качестве реактивного сопротивления Х – конденсаторы С1, С2 или С3 по заданию преподавателя. Данные занесите в таблицу 1.

2. Установите самостоятельно частоту сигнала в диапазоне от 8 до 12 кГц (кнопка “F” на ЗГ). Занесите выбранное значение в таблицу 1.

3. Переведите амперметр – вольтметр в режим измерения переменного напряжения, кнопка «=/» на АВ1 должна быть нажата. Измерьте напряжение U₁. Результат занесите в таблицу 1 (А₁).

4. Измерьте напряжение U₂ между точками 2 и 3 на схеме. Результат занесите в таблицу 1 (А₂).

5. Измерьте напряжение U между точками 1 и 3 на схеме. Результат занесите в таблицу 1 (А).

6. По формуле (1) определите разность фаз колебаний  = ₂-₁. Результат занесите в таблицу 1.

Таблица 1.

R, Ом	С, Ф	, Гц	А1	А2	А	, рад

Часть2. Определение частоты неизвестных колебаний исследованием биений.

1. Соберите схему представленную на рис. 5, в качестве источников сигналов используются генератор звуковых частот и генератор напряжений, осциллограф должен находиться в режиме суммирования колебаний I+II. Для переключения режима осциллографа нажмите кнопку «режим» и «+/-».

2. Выберите на генераторе напряжений неизвестный сигнал Х1, Х2, по заданию преподавателя.

3. Установите на осциллографе режим I, II. Изменяя диапазон (кнопка «F») и регулируя частоту ЗГ (регулятор «F»), получите на экране два близких по частоте колебания.

4. Переведите осциллограф в режим I+II.

5. Изменяя длительность развертки, режим “длит.” «+/-» получите на экране осциллографа картину биений.

6. Определите с помощью осциллографа период биений Т_Б (см. рис. 2) , и занесите результат в таблицу 2 вместе с частотой генератора звуковых частот _Г, которая отображена на индикаторе частот ЗГ.

7. Повторите измерения по п. 3  п. 4 еще два раза. Результат занесите в таблицу 2.

8. Для каждого измерения в п. 3  п.5 вычислите частоту биений , а затем по формуле (4) частоту неизвестных колебаний _Х. Результаты обработайте по методике косвенных невоспроизводимых измерений.

Таблица 2.

№	г, Гц	ТБ, с	б, Гц	х, Гц	<Х >, Гц	x , Гц	x
1
2
3

Часть3. Определение частоты неизвестных колебаний исследованием фигур Лиссажу.

1. Установите на осциллографе режим I, II. Изменяя диапазон (кнопка «F») и регулируя частоту ЗГ (регулятор «F»), получите на экране два близких по частоте колебания.

2. Переведите осциллограф в режим изображения функциональных зависимостей между двумя сигналами (режим X-Y).

3. Изменяя частоту сигнала генератора звуковых частот с помощью регулятора «F», получите на экране осциллографа изображение фигуры Лиссажу (эллипс). Запишите частоту генератора звуковых частот _г

Контрольные вопросы

1. Сложение сонаправленных колебаний. Метод векторных диаграмм. Определение разности фаз колебаний.

2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Анализ вариантов траектории движения.

3. Биения. Амплитуда и частота биений.

4. Методы определения частоты неизвестных колебаний.