1. Решение прямой и обратной задачи

В робототехнике, есть две основные задачи кинематики: прямая и обратная.

Прямая задача — это вычисление положения (Xp, Yp, Zp) рабочего органа манипулятора по его кинематической схеме и значениях обобщенных координат (q₁, q₂… q_n) , где n — число степеней свободы манипулятора, q — обобщенные координаты.

Обратная задача — это вычисление величин обобщенных координат (q₁, q₂…q_n) по заданному положению (Xp, Yp, Zp) рабочего органа при известной схеме кинематики манипулятора.

Таким образом, решение прямой задачи говорит о том, где будет находиться рабочий орган манипулятора, при заданных углах его суставов, а обратная задача — как нужно «вывернуться» манипулятору, чтобы его рабочий орган оказался в заданном положении.

Прямую и обратную задачи кинематики манипулятора будем решать геометрически. Кинематическая схема манипулятора, обобщенные координаты его звеньев q_n, их длины l_n изображены на рисунке 1.

Прямая задача. По заданным обобщенным координатам найти положение точки P схвата.

;

;

.

Обратная задача. По заданному положению точки P схвата найти обобщенные координаты.

;

;

.

2. Исследование динамических свойств манипулятора

Составим расчетную схему (рис. 2) для построения динамической модели, с изображенными силами действия приводов, силами трения и обобщенными координатами.

Манипулятор представляет собой механизм с несколькими степенями свободы с голономными связями, потому воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода для составления уравнений движения.

Уравнения Лагранжа второго рода применительно к исследуемой манипуляционной системе примут вид

. (1)

Кинетическая энергия системы при неподвижном основании определится по формуле:

(2)

где T₁, T₂, T₃ — кинетические энергии звеньев 1, 2, 3 соответственно.

Составим расчетную схему для построения динамической модели, с изображенными силами действия приводов, силами трения и обобщенными координатами.

Рис. 2. Расчетная схема

Так как звено 1 совершает пространственное поступательное движение по осям X, Y, Z, то получаем:

. (3)

Звено 2 совершает вращательное движение вокруг оси Z, то получаем:

_. (4)

Звено 3 совершает пространственное поступательное движение по осям X, Y, Z, то получаем:

_. (5)

Подставляя результаты (3), (5) и (5), получаем

_. (6)

Изобразим манипулятор в произвольный момент времени и сообщим системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q₁ (рис. 3), которая имеет приращение δq_1.

Рис. 3. Изменение обобщенной координаты q₂

При этом точка P превратится в P₁. Вычислим виртуальную работу всех активных сил на этом перемещении:

. (7)

Множитель при вариации δq₁ в полученном выражении виртуальной работы и будет обобщенной силой Q₂:

. (8)

Поочередно сообщая системе возможные приращения δq₁, δq₂, δq₃ соответствующие обобщенным координатам q₁, q₂, q₃ определим по формуле (9) соответствующие обобщенные силы:

; (9)

.

;

; (10)

;

;

.

где F₁, F₃ — силы приводов, действующих на звенья 1 и 3; F_Т1, F_Т3 — силы трения при движении по осям звеньев 1 и 3; М₂ — момент силы привода, действующий на звено 2; М_Т2 — момент сил трения, действующий на звено 2; G₁, G₂, G₃, G_ГР — силы тяжести, действующие соответственно на звено 1, 2, 3 и схват.

Определим частные производные от кинетической энергии по обобщенным координатам и обобщенным скоростям:

; ;

; ; (11)

; .

Подставляя полученные значения в уравнения Лагранжа (1), получим:

F₁ – F_Т1– G₁– G₂– G₃– G_гр;

= M₂ – M_T2; (12)

= F₃ – F_Т3.

Если в задаче требуется найти движение системы, то интегрируют уравнения Лагранжа и определяют по начальным условиям произвольные постоянные интегрирования.

Если в задаче требуется найти неизвестные активные силы, то их определяют из уравнений Лагранжа.

Если в задаче требуется определить неизвестные реакции, то после нахождения из уравнений Лагранжа следует применить принцип освобождаемости к соответствующим телам системы и воспользоваться основным уравнением динамики, либо принципом Даламбера, либо общим уравнением динамики.