1. Векторы, линейные операции над ними, разложение по базисам. Основные формулы, связанные с декартовыми координатами.

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В, мы будем рассматривать свободные векторы т.е. те которые можно переносить параллельно самим себе.

Длиной или нормой вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длину вектора АВ обозначают |АВ|. Вектор длина которого равна 1 называется единичным или ортом. Свободный вектор однозначно определяется своей длиной и направлением.

Векторы, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными.

Векторы называются компланарными, если сущ. Плоскость, которой они параллельны.

Лин. операции над векторами.

Для свободных векторов определены операции сложения, вычитания и умножения их на действительные числа.

Сумма двух векторов А и В называется вектор (А+В), который получается из векторов А и В. Сумма конечного числа n векторов а¹,а²,..аⁿ по определению , есть замыкающий вектор ОА_n

Вектор (-В) называется противоположный ему вектор В.

Разностью двух векторов А и В называется вектор (А-В), суммой векторов А и –В направлен к концу вектора А.

Произведением вектора А на действительное число Альфа наз. Вектор В=Альфа*А, длина которого |Альфа|*|A|. Совпадает с направлением А, если Альфа>0. Если меньше….наоборот.

Если а не равно 0 то единичный вектор а⁰ =а/|а| называется ОРТОМ.

Свойства.

1.А+В=В+А 2.(А+В)+С=А+(В+С) 3. А+0=А 4. А+(-А)=0

5. альфа*(Бета*а)=(Альфа*Бета)*А 6.1*А=А 7. (Альфа+Бета) *А=Альфа*А+бета*В

Множество векторов уд свойствам 1-8 наз. линейным или векторным пространством.(R³)

Проекция вектора. Угол между двумя векторами наз. Наименьший угол ФИ(0;пи), на который нужно повернуть один вектор чтобы он совпал по направлению с другим вектором. Проекция вектора а=АВ на ось L называется длина отрезка А1В1, заключённого между ортогональными проекциями начала и конца вектора АВ на эту ось, взятая со знаком минус, если не совпадает. ПР л А=|А|*cos Fi

Направленный отрезок Ал=А1В1 называется ортогональная составляющей вектора АВ по оси Л.

Ортогональная составляющей вектора А=(ПРлА)*1⁰ , где 1⁰ – единичный вектор, соответствующий направлению оси Л.(2 свойства)

Лиин зависим векторов. Векторы e¹,e²,e³, … eⁿ называются линейно зависимыми если сущ такие постоянные числа во Лямда1, Лямда2.. не все одноврем равные нулю, что выполняется равенство

Лямда1*е1+Лямда2*e2…+ЛямдаN*eN=0. => eN=(-Лямда1/ЛямдаN)*e1-…-(ЛямдаN-1/ЛямдаN)*e^N-1

eN линейно выражается через комбинацию пред. Векторов.

Если равенство вып только пря ВСЕХ равных лямда Тл векторы линейно-независимые.

Вектор единственным образом разлагается в три некомпланарных вектора.

Любые три компланарных вектора всегда линейно –зависимы.

Любые 4 вектора в простр линейно-зависимы. Коефф (лямда) – координаты вектора в данном базисе.

Базис образует любая тройка некомпланарных векторов.

Декартова сист координ.

r=xi+yj+zk. X,y,z – координ вектора r в базисе I,j,k. Координаты являются проекциями на оси.(теорема). |a|=Корень(x*x*+y*y+z*z) cos(Alfa)=x/|a|, Beta, Gama… cos²A+cos²B+cos²C=1

Расстояние - |АВ|=Корень( (х2-х1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²) Конца-начала.