3. Закон сохранения механической энергии

Согласно закону изменения кинетической энергии i-ой частицы, dK_i=A_i$. Суммируя эти равенства почленно, получаем закон изменения кинетической энергии системы: приращение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на все частицы системы, т.е.

dK_сис=A_конс+A_неконс= -dU_соб-dU_внеш+A_неконс,

откуда

dE_сис=A_неконс.

Это - закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно работе неконсервативных сил.

Если же система - консервативная, т.е. на частицы системы не действуют никакие (ни внешние, ни внутренние) неконсервативные силы, то ее полная механическая энергия сохраняется.

3. Момент импульса системы. Уравнение моментов

Моментом импульса системы называется аддитивная величина, равная векторной сумме моментов импульса всех частиц системы:

.

Закон изменения полного момента импульса системы: . Это уравнение называетсяуравнением моментов и утверждает, что производная по времени полного момента импульса системы равна результирующему моменту внешних сил.

3. Закон сохранения момента импульса

Как следует из уравнения моментов, полный момент импульса системы сохраняется, если сумма моментов внещних сил, действующих на систему, равна нулю.

Этот закон может выполняться только для одной единственной точки (центра). Закон сохранения момента импульса имеет векторный характер, поэтому может сохраняться не сам вектор момента импульса, а его проекция (или две проекции). Допустим, что . Тогда

Динамика твердого тела

1. Вращение тела относительно закрепленной оси

Произвольное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного движения и вращения вокруг оси.

В ИСО уравнения движения твердого тела можно записать в виде:

Первое из этих уравнений описывает поступательное движение тела, второе - ращательное.

Рассмотрим только некоторые наиболее простые частные случаи вращательного движения.

Рассматривая твердое тело, как систему частиц, обобщим формулу для момента импульса частицы на случай произвольного твердого тела. Момент импульса тела относительно закрепленной оси будет:

где величина называется моментом инерции тела относительно оси (R_i -расстояние i-ой точки от оси вращения).

Таким образом, момент импульса тела относительно закрепленной оси равен произведению момента инерции на угловую скорость:

L_Z=I_Z.

Кроме того,

или

Последнее уравнение называется основным уравнением вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси.

Как из него следует: если моменты всех сил относительно оси уравновешены, т.е. M_Z=0, то момент импульса тела (или системы тел) относительно той же оси сохраняется: L_Z=I_Z=const. Это частный случай закона сохранения момента импульса.

Если же M_Z0, то из уравнения следует:

изменение момента импульса за время t=t₂-t₁ равно импульсу момента силы за то же время.

В частном случае I=const уравнение еще более упрощается и принимает вид:

произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему

моменту внешних сил.

Из последней формулы следует, что момент инерции играет роль меры инертности при вращательном движении тела (как масса - при поступательном).