1.3.3. Экономический смысл переменных двойственной задачи.

Предприятию необходимо изготовить два вида продукции Р₁ и Р₂. Для этого используется три вида ресурсов R₁, R₂ и R₃, количество которых ограничено.

Известно: запас ресурса каждого вида на предприятии; количество каждого вида ресурса, расходуемое на изготовление единицы продукции; доход от каждого вида продукции.

Требуется определить количество продукции каждого вида, которое обеспечит предприятию максимальный доход.

Пример 1.12:

Таблица 1.2

Типы ресурсов	Нормы затрат Р1 рес/ед	Нормы затрат Р2 рес/ед	Запасы ресурсов
R1	6	6	36
R2	4	2	20
R3	4	8	40
Доход от одного изделия	12	15

f(x) = 12x₁ + 15x₂  max

Предположим, что по какой-то причине предприятие отказывается от производства данной продукции и решает продать имеющиеся ресурсы. Предприятие желает получить за эти ресурсы не меньше той суммы, которую оно получило бы при продаже готовой продукции. По какой цене продать?

Пусть у₁-цена единицы ресурса R_1,

у₂-цена единицы ресурса R_2,

у₃-цена единицы ресурса R_3.

Тогда цель, которую ставит покупатель ресурсов отражается в целевой функции задачи: φ(у) = 36у₁ + 20у₂ + 40у₃  min.

В ограничениях задачи отразим тот факт, что предприятие должно получить в случае продажи ресурсов не меньше той суммы, которую оно получило бы от реализации продукции.

Смысл первой строки - цена ресурсов, идущих на изготовление единицы продукции Р₁ (левая часть уравнения), должна быть не меньше дохода от реализации продукции Р₁.

1.4. Свойства двойственных оценок оптимального объемного планирования производства.

Пример 1.13:

Составить план производства изделий, при котором общая прибыль от реализации продукции максимальна.

Таблица 1.3

Типы ресурсов	Нормы затрат Р1 рес/ед	Нормы затрат Р2 рес/ед	Запасы ресурсов
R1	1	3	21
R2	3	2	21
R3	3	1	18
Доход от одного изделия	30	60

f(x)= 30x₁ + 60x₂  max

Двойственная:

min φ(y)=21y₁ + 21y₂ + 18y₃

1.4.1 Свойства:

Если - оптимальный план производства j-го вида товаров, то оценки оптимального плана имеют следующие свойства:

1) Оценки (у) как мера дефицитности ресурса. Дефицитный ресурс, полностью используемый в оптимальном плане (), имеет положительную оценку >0.

Чем выше величина оценки, тем острее дефицитность ресурса. Недефицитный, не полностью используемый ресурс (для которого ) имеет нулевую оценку .

2) Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, на сколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу, т.е.

(1.24)

3) Оценки, необходимые для определения эффективности включения новых товаров в план производства.

Для товаров (, где k- количество новых товаров, включенных в план), проверяются условия:

Если соблюдается, то товар невыгоден для включения в план.

И наоборот, если , то товар выгодно включить в план.

Тогда для рассматриваемой задачи:

- наиболее дефицитный,

- менее дефицитный,

- не дефицитный.

Приобретение дополнительно одной единицы ресурса:

R₁ (b₁=1) дает увеличение прибыли на денежных единиц;

R₂ (b₂=1) дает увеличение прибыли на денежных единиц;

R₃ (b₃=1) дает увеличение прибыли на ;

Определим целесообразность включения в план нового изделия Р₃ с прибылью от реализации единицы этого изделия 70 денежных единиц, если затраты ресурсов R₁, R₂, R₃ на единицу изделия составляют 2,6,1 соответственно.

Следовательно, изделие Р₃ выгодно для включения в план, т.к. затраты на производство единицы изделия меньше прибыли от реализации этого изделия.