33) Найти максимум функции и оптимальные управления:

f (x) = x12 + x22 → max,

x14 + x24 =1

34)Определить размеры цилиндрической банки заданного объема V из условия:

а) минимального расхода материала; б) минимальной длины сварного шва.

9.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое точка перегиба, как ее определить?

2.В чем состоит свойство унимодальности функции?

3.Пусть точка удовлетворяет достаточным условиям существования локального минимума. Как установить, является ли этот минимум глобальным?

4.Как проверить, является ли функция выпуклой или вогнутой?

5.На основе каких соотношений может быть принято решение об окончании одномерного поиска минимума функции методом а) золотого сечения; б) квадратичной интерполяции;

в) одномерного градиента; г) половинного деления; д) тяжелого шарика; е) чисел Фибоначчи; ж) сканирования?

6.Какие методы используется для безусловного поиска глобального минимума функции одной переменной?

7.Какие методы используется для безусловного поиска локального минимума унимодальной функции?

8.В чем заключается свойство убывания целевой функции при переходе от итерации к итерации? Почему выполнение этого

99

свойства необходимо для построения эффективного алгоритма? Укажите один алгоритм, обладающий этим свойством, и один алгоритм, который этим свойством не обладает:

а) для функции одной переменной; б) для функции многих переменных.

9.Пусть в точке х* градиент f0 (x* ) = 0 . Что можно сказать о точке х*, если

а) f0(x) – выпуклая функция; б) f0(x*) – вогнутая функция;

в) матрица Гессе – знаконеопределенная матрица?

10.Какая функция называется овражной? Какие методы поиска экстремума эффективны для такой функции? Опишите один из них.

11.Как определить порядок итерационной процедуры.

12.Какие методы требуют дифференцируемости функции.

12.Найдите экстремальные управления графическим методом решения задач линейного программирования [5,8,9,14,16,17,21]: а) найти max f0(x), если f0(x) = 14x1 + 18x2 при условиях

10x		+8x		≤168
	1		2	≤180
5x1	+10x2				x1	≥ 0, x2	≥ 0 ;
	+12x2
6x1				≤144

б) найти max f0(x), если f0(x) = x1 + 2x2 при ограничениях

4x		− 2x		≤12
	1		2	≤ 6
	− x1 +3x2				x1	≥ 0, x2	≥ 0 ;
		+ 4x2
2x1				≥16

в) найти min f0(x), если f0(x) = –2x1 + x2 при ограничениях

3x		− 2x				≤12
	1			2
	− x1 + 2x2 ≤ 8						x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ;
	2x		+3x		2	≥ 6
	1

г) найти max f0(x), если f0(x) = x1 + x2 при ограничениях

100

	x	+ 2x			≤14
	1		2
−5x1 +3x2 ≤15						x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ;
	4x	+ 6x		2	≥ 24
	1

д) найти max f0(x), если f0(x) = x1 + 2x2

−x		+3x			≤10
	1			2
	x1 + x2 ≤ 6
	x	− x	2		≤ 3
	1
	x	+ 4x		2	≥ 4
	1

при ограничениях

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ;

е) найти min f0(x), если f0(x) = –6x1 – 2x2 при ограничениях

2x		+ 4x		≤ 9
	1		2		x1	≥ 0, x2	≥ 0 ;
	3x1 + x2 ≤ 6

ж) найти max f0(x), если f0(x) = x1 + x2 при ограничениях

	x	+3x		≤ 3
	1		2	≤ 6
	3x1 + x2				x1	≥ 0, x2	≥ 0 .
− x1 − x2				≥ −1

101

10.ЛИТЕРАТУРА

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и зада-

чах. – М.: Высш.шк., 1986. – 319с.

2.Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: Наука, Гл. ред. физ. – мат. лит., 1991. – 448с.

3.Балакирев B.C. Методы оптимизации функции одной переменной /Учебное пособие. – М.: МИХМ, 1992. – 19с.

4.Балакирев B.C. Методы оптимизации функций многих переменных /Учебное пособие. – М.: МИХМ, 1992. – 33с.

5.Банди Б. Основы линейного программирования /Перевод с англ./ – М.: Радио и связь, 1989. – 176с.

6.Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. –

М.: Высш.шк., 1990. – 544с.

7.Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. – М.: химия, 1969. – 564с.

8.Булавский В.А., Звягина Р.А., Яковлева М.А. Численные методы линейного программирования /под ред. Канторовича Л.В./ – М.: Нау-

ка, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. – 367с.

9.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. –

М.: Наука, 1980. – 518с.

10.Васильев О.В., Аргучинцев А.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. – 208с.

11.Глушков В.М. Основы безбумажной информатики. Изд. 2-е, испр. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 552с.

12.Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. /под ред. Быховского М.Л./ − М.: Мир, 1975. − 536с.

13.Испарилов Р.Б. Теория оптимизации. Часть 1. Математическое программирование. Вариационное исчисление. Учеб. пос. − Екатеринбург: УГГТА, 1996. − 90с.

14.Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. Изд. 4-е перераб., доп. – М.: химия, 1985. – 448с.

15.Кафаров В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств. – М.: Высш. шк., 1991. – 124с.

102

16.Курицкий Б.Я. Оптимизация вокруг нас. – Л.: Машиностроение, 1989. – 145с.

17.Маловичко М.М. Оптимизация технологических процессов / Метод. указ. по выполнению лабораторных работ. – Иркутск, 1988. – 35с.

18.Моисеев Н.Н., Ивакилов Ю.П. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1978. – 302с.

19.Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях.

– М.: Радио, 1989. – 147с.

20.Остроградский Г.М., Бережинский Т.А. Оптимизация химикотехнологических процессов. – М.: химия, 1984. – 240с.

21.Полак Э. Численные методы оптимизации. – М.: Мир, 1974. – 376с.

22.Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэксдел К. Оптимизация в технике (в 2-х кн.). – М.: Мир, 1988. – 348с.

23.Цирлин A.M. Оптимальное управление технологическими процессами. – М.: Энергоиздат, 1986. – 400с.

103

104