Относительная объемная деформация. (Коэффициент кубического(всестороннего) растяжения-сжатия. Средняя относительная деформация.

Рассмотрим элементарный параллелограмм в главных осях,до деформации и после деформации.

-до деформации

-после деформации

- относительная объемная деформация

- относительная средняя деформация

Относительная линейная деформация.

Длина(модуль) определяется константой-К и относительной линейной деформациив направлении.

,тогда подставив в формулу для ,направление касательной определено.

,с учетом формулы ,после преобразований получим уравнение поверхности 2-го порядка или уравнение поверхности деформации Коши:

в исходных осях

в главных осях

В Зависимости от величин и знаков главной деформации(аналогично деформации в исходных осях),различают следующие уравнения поверхности Коши:

А) Эллипсоид

Б)Однополостный гиперболоид

В)Двуполостный гиперболоид

6.Тензор малой деформации(тензор Коши) может быть представлен в виде суммы 2-х тензоров.

-шаровой тензор деформации характеризует относительное изменение объема элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности любой точки ДТТ без изменения формы.

Изменение V при всестороннем растяжении-сжатии элементарного параллелепипеда.

-девиатор деформации характеризует относительные изменения формы элементарного параллелепипеда без изменений V или отклонения рассматриваемого деформированного состояния в произвольной точке ДТТ, от деформированного состояния растяжения-сжатия элементарного параллелепипеда в этой точке.

- 1-й инвариант девиатора деформации

-2-й инвариант девиатора деформации

-модуль деформации(положительная величина, определенным

-интенсивность деформации сдвига

-интенсивность деформации

Замечание:

-используются при выводе основных зависимостей теории упругости,теории пластичности.

7.Компоненты тензора Коши удовлетворяют тождествам Сен-Винана или условием (уравнением) совместимости(непрерывности) деформации.

Получаются путем дифференциальных зависимостей Коши и исключающие перемещений

-уравнение совместимости деформации 1-го рода

Или

Другие две формулы могут быть получены с использованием правила круговой перестановки.

-уравнение совместимости 2-го рода(тождество)

Геометрический смысл тождеств Сен-Венана.

Выполнение тождеств означает, что между элементарными объемами(параллелепипедами, тетраэдрами)отсутствуют зазоры, пустоты, что для тела находящегося под действием внешнего нагружения означает, что оно не разрушалось.

Энергетический смысл:

Выполнение тождеств означает, что телом накоплено минимум потенциальной энергии деформации.

Определение перемещений в любой точке деформированного твердого тела при выполнении зависимости Коши и тождества Сен-Венана.

По известным компонентам тензора Коши.

Дано:

в любой точке ;

Определить:

- относительная линейная деформация

-относительная угловая деформация

-компонента вектора относительного перемещения;

-компоненты тензора дисторсии;

-компоненты вектора определяющего положение бесконечно близкой точки по отношению к рассматриваемой т.ДТТ

,т.к. справедливо тождество Сен-Венана,то первая компонента вектора перемещения может определяться следующим образом:

Криволинейный интеграл может быть расписан в виде суммы 3-х интегралов по прямым параллельным соответствующим координатным осям

и не пересекает границ тела.

Прежде, чем мы научимся определять компоненты вектора перемещения в любой точке, нам необходимо научиться определять частную производную от них по Лагранжевым координатам.

Используя в предыдущей формуле замену на

Замечание:

1.Подинтегральное выражение АВС через известные компоненты тензора Коши рассматриваемой точки ДТТ.

2.Частная производная может быть найдена через известные компоненты тензора Коши.

3.Частная производная может быть найдена аналогичным образом,через известные в рассматриваемой точке.

4.Можно показать, что справедливы условия Коши-Римана для подинтегральных выражений АВС:

т.е. АВС является частными производными одной и той же функции.

иявляется полным дифференциалом и криволинейный интеграл по пути движения от до,не зависит от пути интегрирования.

Используя предыдущее замечание, первую компоненту вектора перемещения в точке, может определяться по формуле:

2,3 –компоненты вектора перемещений в рассматриваемой точке,могут быть определены по формуле аналогично формуле для U,или с использованием круговой подстановки.

в рассматриваемой т.ДТТ определяется с точностью до 9 знака интегрирования.

-линейной перемещение точки вызванное линейным перемещением параллельным соответствующим осям движения тела,как абсолютно твердого целого.

-угловые перемещения соответствующих элементов ,вызванными угловыми перемещениями тела, как абсолютно жесткого или твердого целого, причем с учетом справедливости зависимости (*) в естественном состоянии линейно-независимых, считается например:

-линейно-независимые интегралы

Итак:

1.По известным компонентам тензора Коши рассматриваемой точки с учетом справедливости зависимости Коши,тождеств Сен-Венана,могут быть определены компонентами вектора перемещения с точностью до 6 знака линейно-независимых постоянных интеграла.

2.Постоянное интегрирование характеризует способ прикрепление координатных осей к телу не вызывают появление реактивнх сил и моментов,обычно принимают равным нулю.

3.В тождестве Сен-Венана является необходимым и достаточным условия интегрирования зависимости Коши для односвязных тел(тел без вырезов пустот)

4.Для многосвязных тел, связность = числу вырезов или пустот +1.В тождестве Сен-Венана должны быть дополнительные условиями характеризующими однозначность и непрерывность перемещений для точек лежащий на воображаемой разрезе:

Если вырезов в теле несколько,то должно быть несколько дополнительных условий,характеризующих непрерывность перемещений для точек воображаемых разрезов.

-замкнутые контуры охватывающие разрезы.