3.6. Формирование случайных векторов с заданными вероятностными характеристиками

Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат. Эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения.

В том случае, когда значения координат N-мерного вектора представляют собой независимые случайные величины, формирование векторов сводится к

раздельному формированию N случайных чисел с использованием рассмотренных ранее способов. При наличии корреляции между значениями координат задача усложняется.

В простейшем случае вектор двумерный и может быть задан совместным

законом распределения его проекций ξ и η на оси 0X и 0Y.
Рассмотрим	способы	формирования	случайных	векторов

моделирования дискретных и непрерывных случайных процессов на примере двумерных векторов. При большей размерности содержание рассматриваемых ниже процедур сохраняется, лишь удлинняется цепочка действий.

1. Дискретный случайный процесс.

Пусть требуется смоделировать случайный вектор(ξ , η ). Составляющая ξ может принимать значения x1, x2, … , xm, а составляющая η – значения y1, y2, … , yn и каждой паре (xi yj) соответствует вероятность Pij. Совместную функцию распределения вероятностей зададим в виде матрицы

	P11 P12	.... P1 n
P =	P21 P22	.... P2 n	,	m n
	..........	........		å å Pi, j =1.
				i =1 j =1
	Pm 1 Pm 2 .... Pmn
Тогда каждому возможному значениюxi случайной величины ξ будут
соответствовать вероятность
		n
		Pi = åPij ,
		j =1

представляющая собой сумму вероятностей i-й строки матрицы.

Набор значений P1, P2, …, Pm представляет собой одномерный закон распределения вероятностей для первой координаты. Используя его, можно разыграть значение координаты ξ =xi , генерируя равномерно распределенное в диапазоне от 0 до 1 число β1 и определив значение i по правилу:

αi-1 < β1<αi,

i

где α0=0, αi = åPk .

k =1

Из всех значений матрицыP выбираем последовательностьPi1, Pi2, … , Pin (i-ю строку) и преобразуем её:

102

P*	=	Pij	(j=1,2, …n).
ij		Pi

Эта последовательность описывает условное распределение величиныη при условии, что ξ = xi.

Используя тот же прием, что и при розыгрыше значения первой координаты, определяем с помощью равномерно распределеннго в диапазоне

от 0 до 1 числа β2 конкретное значение yj случайной величиныη. Получена первая реализация (xi, yj) вектора. Если нужно большее колтчество реализаций, процедуру повторяем циклически.

2.Непрерывный случайный процесс.

Вэтом случае двумерная случайная величина(ξ,η) описывается совместной функцией плотности распределения fξη (x,y).

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно определить одномерный закон распределения одной из них

¥

fx (x) = ò f (x, y)dy .

-¥

Имея этот закон , используя один из рассметренных ранее методов (например, метод обратной функции), можно сформировать случайное число xi,

а затем при условии, что ξ = xi определить условное распределение случайной величины η:

fh ( y x = xi ) = f (xi , y) / fx (xi ) .

Всоответствии с этой плотностью, можно определить случайное числоyj

иполучить реализацию вектора (xi,yj).

Аналогичным образом можно моделировать случайные вектора и большей размерности. Например, если вектор трехмерный и задан совместной функцией плотности fξηζ (x,y,z), то значения случайных чиселxi, yj, zk выбираются в соответствии с функциями плотности:

¥ ¥

fx(x) = ò ò f (x, y,z)dyd ,

-¥ -¥

¥

fh(yx =xi ) = ò ( f (xi , y, z)/ fx (xi ))dz ,

-¥

fz (zx =xi ,h= yi ) = f (xi , yi ,z)/ fx (xi ) fh(yi x =xi ).

3.7. Моделирование случайных событий

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события. Рассмотрим особенности их моделирования . Будем при этом предполагать, что в нашем распоряжении

103

имеется	последовательность {ηi}			псевдослучайных		чисел, равномерно
распределенных в интервале (0, 1).
1) Простое событие.					событиеА, наступающее
Пусть	надо	реализовать		случайное			с
вероятностью P. Будем определять его как выполнение условия
		ηi £P.				что ηi удовлетворяет
Противоположное		событие	A	состоит в	том,
неравенству

ηi >P.

Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе значенийηi и сравнении их с P, по результатам которого далается вывод о том, какое событие

произошло − А или A .
2) Полная группа несовместных событий
Если		моделируется	полная	группа		несовместных
A1, A2 , ... ,					s
	As , наступающих с вероятностями Р1, Р2, …, Рs ( å Pi =1, события
					i =1
не могут произойти одновременно), то наступление					события Аm будем
определять как то, что выбранное значение ηi удовлетворяет условию
		qm -1 <hi £ qm ,
		m
где		qm = å Pi , q0=0.
		i =1
Процедура		моделирования	испытаний	в	этом	случае	состоит
последовательном сравнении случайных чиселηi				со значениями qm. Исходом
испытания оказывается событиеАт, если выполняется данное условие. Эту
процедуру	называют определением		исхода	испытанияпо		жребию в
соответствии с вероятностями Р1, Р2, …, Рs .

Очевидно, что эта же процедура может быть использована для реализации дискретной случайной величиныξ, принимающей конечное число возможных значений x1, x2, ..., xs с вероятностями Р1, Р2, …, Рs. Для дискретной случайной величины, принимающей бесконечное (счетное) число возможных значений, этот путь позволяет получить приближенное решение задачи.

Пусть дискретная случайная величинаξ принимает счетное множество возможных значений xk (k=1, 2, …), а Рk задается соотношением

	Рk=P(xk), x1< x2< ... < xn< ... ,
	¥
где	åPk =1.
	i =1

104

Возьмем	очередное	РРСЧηi	из	базовой	последовательности и будем
	r
формировать	сумму å Pi	до	тех	,порпока	не станет справедливым
неравенство:	i =1

r

hi £ åPi . i =1

Тогда считаем , что очередным значением случайной величины ξ будет xr.

3) Сложные события

Сложное событие − это событие, зависящее от двух или более простых

событий.

Пусть в основе

сложного события лежат

два

простых независимы

события А и В с вероятностямиРА и РВ. исходами

совместных испытаний в

этом случае будут события

АВ,

АВ

,

АВ,

АВ

с вероятностями

РАРВ, РА(1-РВ), (1-РА)РВ, (1-РА)(1-РВ).

использовать

два

Для моделирования совместных испытаний можно

варианта процедуры:

а) последовательную проверку условия наступления простых событийА и

В и принятие решения о исходе сложного

события

по результатам

эти

проверок;

б) определение одного

из

исходов, считая,

что

они

представляют

собой полную группу несовместных событий с соответствующими вероятностями.

Первый вариант требует двух	чиселηi	и сравнений. При втором
варианте можно обойтись одним	числомηi ,	но сравнений может -по

требоваться больше. С точки зрения удобства построения моделирующего алгоритма и экономии количества операций и ячеек памяти ЭВМ боле предпочтителен первый вариант.

Рассмотрим теперь случай, когда события А и В являются зависимыми и

наступают	с	вероятностями РА И РВ . Обозначим через Р(В			А) условную
вероятность	наступления события В при условии, что событие А произошло.
При этом считаем, что условная вероятность Р(В				А) задана.
Рассмотрим один из вариантов построения модели. Из базовой последо-
вательности случайных чисел извлекается очередное числоηi					и проверяется
справедливость		неравенства ηi<РА. Если это неравенство			справедливо, то

наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В, используется вероятность Р(В А) . Из совокупности чисел {ηi} берется очередное число ηi+1 и

105