Одним из свойств этой функции является то, что

Ф*(-x) =1 -Ф*(x) .

Теперь определим вероятность попадания случайной величиныm~ в доверительный интервал, то есть решим вопрос о том, с какой вероятностью полученная оценка m~ отличается от действительного значенияm н более, чем на ε (рис. ).

m-ε	~	m	m+ε
	m
°	°	°	°
	ε		ε

Рис. Попадание оценки в доверительный интервал.

Так как оценка m~ имеет нормальное распределение, то

~

*

e

*

e

e

P(

m - m

< e ) = F (m + e )

- F (m - e ) = Ф

(

) - Ф

(

-

) = 2Ф * (

) - 1 .

s

s

s

Но это доверительная вероятность:

e

b = 2Ф * (

) - 1 .

* 1 + b

s

e = s argФ

) = s tb ,

Отсюда

(

2

* 1 + b

*

tb = argФ

argФ

*

(x) −

Ф

(x) , т.е. такое

где

(

) ,

функция,

обратная

2

функцияФ*(x) равна x.

значение

аргумента, при

котором нормальная

Для

нормального

закона

распределения

разработаны

специальные

,таблицы

используя которые, можно для каждого β выбрать значение tβ.

Окончательно:

e= tbs = tb D .

3.11.3.Точность. Определение числа реализаций

Выбор		количества	реализаций		является	задачей		тактиче
планирования эксперимента и зависит от того, какие требования по точности
предъявляются к результатам моделирования.
Пусть целью моделирования будет вычисление вероятности появления
события А.	В каждой изN реализаций			событие А	может	наступить	или не
наступить.	Иначе	говоря, количество		ξ наступления		событий	в	данной

142

реализации является случайной величиной, принимающей значения x1 =1 c вероятностью р и значение x2 =0 с вероятностью 1-р.

Математическое ожиданиеξ:

M [ x ] = x 1 p + x 2 ( 1 - p ) = p ,

дисперсия дляξ:

	D [ x ] = ( x - M [ x ])2 p + ( x							2	- M [ x ]) 2 ( 1 - p ) = p( 1 - p ) .
		1
В качестве оценки для вероятностипринимается частотаm/N
наступления события А в N реализациях.
Частоту можно представить в виде:
			m			1 N
					=		åxi ,
			N
						N i=1
где xi - количество наступления события А в i-й реализации.
В	силу	центральной				предельной теоремы(так как m/N представляет
собой	сумму	случайных				величин) частота m/N				при достаточно больших

значениях N будет иметь распределение близкое к нормальному. Найдем характеристики для частоты.

Можно представить частоту в следующем виде:

m= N xi

å.

N i =1 N

Обозначим:

xi

= a . Тогда:

N

i

p

M [a ] =

1

p +

0

(1 - p) =

;

i

N

N

N

m

M [

] = M [ai ] × N = p;

N

p(1 - p)

1

1

D[a ] =

(1 - p)2 p +

(0 - p)2 (1 - p) =

;

i

N 2

N 2

N 2

D[

m

] = ND[a ] =

p(1 - p)

.

N

i

N

Для каждого значения достоверностиβ из таблиц нормального распределения можно выбрать такую величину tβ, что точность ε будет равна:

e = t b	D[	m	] .
		N

Подставляя значение дисперсии, получим:

	e = tb	p(1 - p)
		N

143

Отсюда можно получить количество реализацийN, необходимое для

получения оценки m/N с точностью ε и достоверностью β:
2	p(1 - p)
N = tb		.
	e 2
Но р заранее не известно. Поэтому поступают так. Берут N0			= 50 – 100,
определяют по результатам N0 реализаций m/N0 , а затем, принимая			p »	m	, и
				N0

окончательно назначают

значение N и проводят остальные N-N0 испытаний.

Для случая, когда надо получить оценку математического ожидания:

~

~

= s ~t

= t

D

tb ×s

e

b

b

b

=

.

m

N

N

Отсюда:

~

2

D

N ³ tb

.

eb2

Для оценки дисперсии:

eb = tb ×s D = tb			2 ~
					D
~				N -1
Отсюда:
	~	2
2
	D
N ³ 2tb				.
	e 2

144