- •Основные понятия и определения сплошной среды
- •Кинематика сплошных сред
- •Скалярное поле
- •Свойства вектора градиента
- •Свойства линии тока
- •Расход сплошной среды через поверхность
- •1.3. Определение наличия источников и стоков
- •1.4. Определение параметров вращательного движения
- •1.5. Поток вектора скорости среды через поверхность единичного куба
- •II. Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела
- •2.3. Исследование напряженного состояния в точке абсолютно-упругого тела
- •Обобщенный закон Гука
- •Полная система уравнений теории упругости
- •4. Динамика идеальной и вязкой жидкости
- •Режимы течения. Число рейнолдса.
- •5.Вязкоупругие жидкости.
- •5.1. Модель Максвелла
- •5.2. Модель Фойгта
- •5.3. Модель Кельвина
II. Исследование деформированного и напряженного состояния в точке абсолютно упругого тела
Одной из важных моделей сплошной среды является абсолютно-упругое тело Гука, т.е. среда, которая полностью восстанавливает свою форму после снятия внешних нагрузок. Под действием внешних сил такое тело деформируется и в нем возникает внутреннее напряжение. Для реальных тел при больших внешних нагрузках возникают такие внутренние напряжения и, соответственно, деформации, при которых начинается разрушение материала. Предель-ные напряжения или допустимые напряжения для различных материалов задаются в справочниках. Поэтому при исследовании механических характеристик упругих тел под воздействием внешних нагрузок важно уметь определять величины максимальных напряжений и деформаций.
2.1. Постановка задачи
Для абсолютно упругого тела заданы (см. таблицу 2.1):.
1 .Упругие постоянные материала — модуль упругости Е (Н/м2) и коэффициент Пуассона V.
2.Поле перемещений для любой точки U(x,y,z), V(x,y,z), W(x,y,z) (миллиметры).
3. Точка М, положение которой задано единичным вектором
где I, т, п — направляющие косинусы вектора ОМ или, поскольку
\ОМ\ = 1, координаты точки М.
Необходимо определить деформационное и напряженное состояние материала в точке М и графически изобразить деформации и вектор полного напряжения по наклонной площадке. Данные взять из таблицы 2.2.
2.2. Исследование деформированного состояния в точке абсолютного упругого тела
Под действием внешней нагрузки абсолютно упругое тело деформируется, при этом частицы сплошной среды тела перемещаются относительно неподвижной среды координат. Поле перемещений частиц определяется векторной функцией
где U, V, W— функции проекции вектора перемещений S на оси Ox, Оу и Оz.
Согласно теореме Гельмгольца частицы сплошной среды в общем случае совершают поступательное, вращательное и деформационное движения.
Деформационное движение определяется тензором деформаций:
где £x,Ey,ez —относительные удлинения (линейные деформации)
вдоль осей Ох, Оуи Oz соответственно; у^ = у у/, У„ =У„; Ууг = Yzy — углы сдвига (угловые деформации) в координатных плоскостях хОу, zOx, yOz, соответственно.
Компоненты тензора деформаций S выражаются через проекции векторной функции перемещений S с помощью формул Коши:
Относительное удлинение ех вдоль какого-либо направления, за-
даваемого единичным вектором у = li -t-m/ + nA в окрестности точ-
ки M(x0,y0,z0) можно определить с помощью компонентов тензора деформаций 5 следующим образом:
Чтобы получить полную картину деформации в точке M(l,m,n), необходимо:
1. Вычислить компоненты тензора деформаций. Для этого в результаты вычислений по формулам (2.3) необходимо подставить вместо текущих координат числовые значения х=1, у=т, z—n.
2. Записать тензор деформаций в точке М в виде числовой матрицы.
3. Рассчитать относительное удлинение ей/ч по формуле (2.4)
4. Графически изобразить схематично деформацию единичного куба в виде рисунков 3-х проекций куба на плоскости хОу, zOx, yOz с указанием полученных в результате расчетов знаков деформаций, как указано в качестве примера на рис. 2.1.
Рис. 2.1
Задача №4(3.1)
M(1,-1,2)
1.-уменьшение по оси ох
-удлинение по оси оу
-уменьшение по оси оz
2.-тупой угол
-острый угол
-тупой угол M
-удлинение вектора n.