22. Энергетические процессы в цепях синусоидального тока. Мгновенная мощность. Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей.

Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S= UI цепи, а аргумент — углу сдвига фаз ф = ^х?_и - Ч^/( между током и напряжением на ее входе:

где /* = /с^_/Т' — комплексно-сопряженный ток.

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряженный ток / .

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической S = ^соБф + у^ыпф, устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощность цепи

С учетом (2.79) и (2.80) выражение (2.78) можно записать следующим образом:

Следовательно, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи Р, а мнимая — реактивной Q, причем если перед символом у стоит знак «минус», то это реактивная емкостная мощностъ -Q_c, а если знак «плюс» — реактивная индуктивная мощность +Q_l.

Упражнение 2.7. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплекс напряжения и комплекс тока на зажимах которой

Ц= Юс^у'³⁰° Ви/=2е"^у'⁴⁵°А.

Решение.

• 1. Комплексно-сопряженный ток / = 2e^j45 А.

• 2. Комплексная мощность S = Щ* = Юе⁷³⁰ • 2с^74э = 20e^j15 В А.

• 3. Активная мощность P = Sco$>q> = 20cos75° = 5,2 Вт.

• 4. Реактивная мощность Q = Q, = .Ssincp = 20sin75° = 19,3 вар.

Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, должна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии:

где пит — число источников и приемников энергии в цепи.

Примечание. Заметим, что потребляется и отдается не мощность, а электрическая энергия.

Уравнение (2.82) называют уравнением (условием) баланса мощностей.

В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, активных и реактивных мощностей.

Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.82): 

Для практических расчетов условие баланса комплексных мощностей цепи представляют в следующем виде:

при этом слагаемые, стоящие в левой части (2.84), берут со знаком «плюс», если совпадают направления тока I_k и ЭДС Е_к источника напряжения и не совпадает направление тока J_k с направлением напряжения U_k на зажимах источника тока. В противном случае эти слагаемые берут со знаком «минус».

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

• активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна активной мощности всех ее потребителей (она полностью расходуется в резистивных элементах цепи):

• реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и ее потребителями):

где R_k и jX_k = jX_Lk - jX_Ck — действительная и мнимая части комплексного сопротивления к-то пассивного элемента.

Упражнение 2.8. Для цепи (рис. 2.49) с параметрами Е = 10е^у9° В, J = 2е~'^Ы) А, /?, = R₂ = /?₃ = Х_и = Х_сз = Х_С4 = 5 Ом рассчитать комплексы напряжений и токов ветвей. Правильность результатов расчета проверить посредством составления баланса мощностей.

Решение.

1. Находим комплексы узловых Y_{, и У₂₂, межузловой У_п проводимостей и комплексы узловых токов и J₂₂:

Рис. 2.49

2. Воспользовавшись калькулятором ElCalc, определим комплексы узловых U_n и Ц₂₂ и межузлового U_n напряжений:

3. Находим комплексы токов ветвей по закону Ома:

4. Комплексная мощность, отдаваемая источниками,

должна быть равна комплексной мощности, потребляемой приемниками:

Таким образом, условие баланса мощностей с допустимой погрешностью выполнено.

Задание 2.10. В цепи (рис. 2.50) с параметрами Е - 2 В, У = 4 мА, /?, = 1 кОм, R₂ = 3 кОм, X_l = 2 кОм, Х_с= 3,33 кОм известны комплексы токов и напряжений на элементах цепи:

Рис. 2.50