5.8. Обращение матриц

Отыскание матрицы, обратной заданной матрице A, основывается на тождестве

, (5.51)

где - единичная матрица. Это матричное равенство можно рассматривать как n СЛАУ относительно n неизвестных векторов, являющихся столбцами матрицы . Таким образом, задача обращения матрицы эквивалентна задаче решения n СЛАУ с одной и той же матрицей, но с разными правыми частями.

6. Алгебраическая проблема собственных значений

6.1. Постановка задачи

Рассматривается матричное (векторное) уравнение

, (6.1)

для которого ищется решение - ненулевой вектор и значение параметра ,.при котором это решение существует. Такое значение называется собственным значением матрицы , а вектор - ее собственным вектором.

После записи уравнения (1 ) в виде

, (6.2)

где матрица называется характеристической матрицей, легко видеть,что ненулевое решение существует, если

(6.3)

Уравнение (3) относительно искомого параметра называется характеристическим уравнением и после раскрытия определителя приобретает вид алгебраического уравнения n-й степени, которое:

, (6.4)

которое имеет n корней, собственных значений, . Многочлен называется характеристическим многочленом. Подставив каждое из собственных значений в матричное уравнение (2) и решив его, можно найти собственные вектора ,.

Если ищутся все n собственных значений и векторов, то говорят о полной проблеме собственных значений, если же интересуются только некоторыми собственными значениями, то это - частичная проблема собственных значений.

Все методы решения проблемы собственных значений можно разделить на две группы:

1. методы, непосредственно решающие нелинейное уравнение (3) или (4);

2. методы, преобразующие задачу определения собственных значений матрицы в задачу определения собственных значений матрицы специального вида, например, треугольной или диагональной.

6.2. О методах решения характеристического уравнения

Для решения характеристического уравнения могут использоваться общие методы решения нелинейных уравнений, которые будут рассматриваться в 7-м разделе этого пособия. Составной частью этих методов является вычисление определителя для заданных значений . Вычислять его можно

1. изученными в 5-м разделе методами линейной алгебры (Гаусса, LU - разложения и т.д.);

2. представив сначала определитель в виде характеристического многочлена, то есть, вычислив его коэффициенты a_i.

Для вычисления коэффициентов характеристического многочлена можно сначала вычислить определитель методами линейной алгебры в (n+1)-й точке а затем интерполировать его на этой сетке, например, методом Ньютона (метод интерполяции Микеладзе).

6.3. Преобразование подобия

Матрица

(6.5)

называется подобной матрице . Преобразование (5) называется преобразованием подобия. Легко показать, что преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.

Вывод: преобразованиями подобия можно привести матрицу к виду, удобному для определения собственных значений, например, диагональному.

Для преобразования подобия удобно использовать унитарные матрицы, обладающие свойством

, (6.6)

например, матрицу вращения

; (6.7)

. (6.8)

Здесь матрица почти единичная, за исключением элементов

. (6.9)