6.4. Итерационный метод вращений (Якоби)

Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы .к диагональному виду с помощью бесконечной последовательности элементарных вращений

; (6.10)

; p = 0,1,…. (6.11)

При этом

(6.12)

; (6.13)

(6.14)

. (6.15)

Это преобразование обладает следующими свойствами:

1. сферическая норма матрицы при преобразовании не изменяется:

; (6.16)

2. поскольку

, (6.16)

то при преобразовании диагональная часть сферической нормы изменяется на величину

. (6.17)

Отсюда следует вывод: если элементарное вращение производить так, чтобы аннулировать элемент , то при этом диагональная часть сферической нормы матрицы увеличится на величину(недиагональная ее часть уменьшится на ту же величину). Таким образом, приматрица превратится в диагональную.

Параметры вращения определяются из условия аннулирования недиагонального элемента:

(6.18)

и условия (8), которые приводят к биквадратному уравнению

. (6.19)

Один из его корней

; ; (6.20)

. (6.21)

6.5. О выборе аннулируемых элементов

При каждом элементарном вращении наиболее выгодно аннулировать недиагональный элемент с максимальным модулем. Но для больших матриц перебор всех элементов становится очень длительной процедурой. Наиболее выгодным оказалось отыскивать и аннулировать т.н. оптимальный элемент. Для этого составляются суммы квадратов недиагональных элементов строк:

. (6.22)

Из них выбирается наибольшая , а в ней - наибольший по модулю элемент .

После каждого вращения изменяются только две суммы, причем вычислить их можно просто:

(6.23)

7. Методы решения нелинейных уравнений и систем

7.1. Постановка задачи

Требуется найти все или некоторые корни уравнения

, (7.1)

где - заданная непрерывная функция.

Эта задача состоит из следующих этапов:

3. исследование количества, кратности и расположения корней;

4. отыскание приближенных значений корней;

5. выбор интересующих нас корней и вычисление их с требуемой точностью.

Первые два этапа выполняются аналитическими и графическими методами. Для уточнения корней используются итерационные методы.

7.2. Метод половинного деления (дихотомия)

Пусть найдены такие точки и, что, т.е. на отрезкележит не менее одного корня уравнения (1). Найдем середину отрезкаи вычислим . Из двух половин отрезка выберем ту, для которой , т.к. один из корней лежит на ней. Далее действия повторяются.

Если требуется найти корень с погрешностью, то деление отрезков пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше. Тогда средина этого отрезка и будет корнем с требуемой точностью.

Преимущества метода:

1. простота: алгорим элементарен;

2. надежность: функция может быть недифференцируемой, точность ее вычисления не влияет на результат (метод устойчив к погрешностям округления) и точность ответа гарантируется.

Недостатки метода:

1. если на начальном отрезке есть несколько корней, то будет найден один из них, заранее неизвестно, какой;

2. метод неприменим к корням четной кратности;

3. метод не обобщается на системы уравнений;

4. скорость сходимости метода невелика.