Решение типового варианта.
Часть 1 Линейная алгебра. Аналитическая геометрия
Задача 1.
Вычислить определитель .
Решение.
Способ 1.
Вычислим определитель методом понижения порядка.
Выносим за знак определителя из четвертого столбца общий множитель :
,
, а затем будем последовательно умножать третью строку на и складывать соответственно с первой и со второй строками. Имеем
.
Далее полученный определитель раскладываем по элементам третьего столбца
.
Получим определитель третьего порядка, который можно вычислить по правилу Саррюса или подобным приемом свести к вычислению одного определителя второго порядка. Для этого последовательно умножим элементы первого столбца на и прибавим соответственно к элементам второго и третьего столбцов. Получаем
.
Полученный определитель раскладываем по элементам третьей строки, имеем:
.
Способ 2.
Вычислим определитель методом приведения его к треугольному виду.
Выполним следующие операции. Выносим за знак определителя из четвертого столбца общий множитель , а затем переставим местами первую и четвертую строки – определитель меняет свой знак на противоположный:
.
Далее, первую строку определителя сложим со второй, эту же строку, умноженную на с третьей, на с четвертой строкой. В итоге получим определитель, который равен исходному:
.
Вторую строку определителя умножим на и сложим с третьей:
.
Из четвертой строки вычтем третью:
.
Определитель треугольного вида равен произведению элементов его главной диагонали. Имеем
.
Задача 2.
Даны матрицы и . Найдите матрицу , если
.
Решение.
.
Задача 3.
Какое из произведений существует или ? Почему? Найдите это произведение, если
.
Решение.
Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица. Для заданных матриц определено только произведение .
.
Задача 4.
Решите систему уравнений тремя способами:
-
по формулам Крамера;
-
с помощью обратной матрицы (матричным методом);
-
методом Жордана - Гаусса.
Выполните проверку.
Решение.
1) Если определитель системы линейных алгебраических уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера
,
где определитель системы,
вспомогательные определители, которые получаются из определителя заменой столбца из коэффициентов соответственно при столбцом свободных членов.
Определитель системы равен
.
Вычислим вспомогательные определители:
;
;
.
По формулам Крамера найдем:
2) Систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде матричного уравнения:
,
где матрица системы; столбец неизвестных; столбец свободных членов.
Если матрица невырожденная, то решение системы определяется по формуле:
,
где обратная матрица.
Для данной системы
столбец неизвестных , столбец свободных членов .
Найдем обратную матрицу по формуле
,
где определитель матрицы ,
союзная матрица, которая получается из матрицы заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическими дополнениями.
Определитель матрицы
.
Вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы по формуле
,
где минор элемента .
, , ,
, , ,
, , .
Составим союзную матрицу
.
Обратная матрица будет равна
,
.
Проверим правильность нахождения обратной матрицы, используя соотношение .
.
Теперь можно получить решение системы в матричном виде:
.
.
3) Метод Жордана – Гаусса (метод полного исключения неизвестных).
Пусть задана СЛАУ . Запишем ее расширенную матрицу . Каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует аналогичное преобразование уравнений в исходной СЛАУ.
Элементарные преобразования в расширенной матрице:
-
перемена местами строк;
-
перемена местами столбцов с запоминанием, какому неизвестному соответствует каждый столбец;
-
умножение (деление) строки на ненулевую постоянную;
-
прибавление к любой строке линейную комбинацию других строк;
-
вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;
-
вычеркивание нулевой строки.
Эти преобразования не меняют множество решений системы.
Если элементарными преобразованиями строк матрица переведена в матрицу , то столбец есть решением системы линейных уравнений .
Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования:
.
.
Проверка.
Подставив полученное решение в систему, убедимся в правильности полученного решения:
Задача 5.
Найдите общее решение, построив фундаментальную систему для однородной системы алгебраических уравнений.
Решение.
Составим матрицу однородной СЛАУ и проведем необходимые элементарные преобразования строк
.
, где число неизвестных. Система имеет нетривиальные решения. Базисный минор . Число свободных переменных . Пусть базисные переменные, свободные переменные.
Исходная система равносильна системе из двух уравнений
Общее решение:
.
Полагая и , из общего решения получим фундаментальную систему решений (Ф.С.Р.):
.
Общее решение системы имеет вид
.
Задача 6.
Исследовать на совместность и в случае совместности найдите общее решение методом Жордана – Гаусса и одно частное решение системы. Выполните проверку.
Решение.
Используем метод Жордана – Гаусса (метод полного исключения). Составим расширенную матрицу неоднородной СЛАУ и проведем необходимые элементарные преобразования строк:
.
, где число неизвестных. Система совместна, имеет бесчисленное множество решений. Базисный минор . Число свободных переменных . Пусть базисные переменные, свободные переменные.
Исходная система равносильна системе из двух уравнений
Общее решение неоднородной СЛАУ представим так:
.
Полагая, например, , найдем частное решение:
.
Непосредственной подстановкой в систему частного решения убедимся в его правильности:
Задача 7.
Найдите координаты, модуль и направляющие косинусы вектора , его орт, если .
Решение.
Найдем координаты вектора :
;
.
Длина вектора определяется так:
или ;
.
Направляющие косинусы вектора определяется по следующим формулам:
.
Следовательно,
.
Вектор является ортом (единичным вектором) вектора .
.
Задача 8.
Вычислите скалярное и векторное произведения векторов , если . Являются ли векторы и коллинеарными? Являются ли векторы и ортогональными?
Решение.
.
.
Скалярное произведение:
;
.
Векторное произведение:
;
.
Условие коллинеарности векторов и :
векторы не коллинеарны.
Условие ортогональности векторов и :
векторы не ортогональны.
Задача 9.
Заданы вершины треугольника . Вычислите его площадь и косинус внутреннего угла .
Решение.
Внутренний угол в треугольнике это угол между векторами и . Здесь
, .
;
.
Площадь треугольника вычисляется по формуле
.
Вычислим векторное произведение векторов и :
.
Тогда площадь треугольника
.
Задача 10.
Выясните, образуют ли векторы базис. Если образуют, то разложите вектор по этому базису.
.
Решение.
Поскольку определитель , векторы не компланарны, следовательно, линейно независимые.
Найдем координаты вектора в базисе . Запишем
, или .
Это векторное равенство равносильно системе линейных уравнений:
Методом Жордана – Гаусса решим систему:
.
Таким образом, .
Задача 11.
Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .
Решение.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна
.
Согласно свойствам векторное произведение векторных многочленов производится по тем же правилам, что и умножение алгебраических многочленов. Тогда, используя антикоммутативность векторного произведения и тот факт, что векторное произведение вектора на самого себя равно нуль – вектору, получим
.
Задача 12.
Вычислить , если .
Решение.
.
Задача 13.
Найти вектор , ортогональный векторам и и удовлетворяет условию .
Решение.
Вектор коллинеарен векторному произведению , следовательно, . Поскольку
,
то
.
Так как , то
,
,
.
Теперь можно определить координаты вектора
.
Задача 14.
Принадлежат ли точки и одной плоскости?
Решение.
Точки и лежат в одной плоскости, если векторы и компланарны. Найдем координаты этих векторов:
;
;
,
.
Проверим их компланарность
,
.
Точки и лежат в одной плоскости.
Задача 15.
Заданы прямая и точка . Запишите:
1) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;
2) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Решение.
Преобразуем общее уравнение данной прямой в уравнение с угловым коэффициентом
.
1) Так как искомая прямая параллельна данной, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой, следовательно, . Тогда по точке и угловому коэффициенту составляем уравнение прямой
,
,
.
2) С учетом условия перпендикулярности прямых угловой коэффициент искомой прямой . Тогда по точке и угловому коэффициенту составляем уравнение прямой
,
,
.
Задача 16.
Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку и через точку пересечения прямых .
Решение.
Для нахождения координат точки пересечения прямых и составляем систему уравнений
Решая ее, получаем .
Теперь по двум известным точкам и составляем уравнение искомой прямой:
,
,
,
,
.
Задача 17.
Даны вершины треугольника . Найти:
-
уравнение стороны и длину ;
-
уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону ;
-
уравнение медианы, проведенной из вершины .
Решение.
-
Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, получим уравнение стороны :
,
,
,
,
.
Расстояние между точками и определяется по формуле:
,
.
-
С учетом перпендикулярности прямых и угловой коэффициент высоты . Преобразуем общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом
.
По точке и угловому коэффициенту составляем уравнение высоты :
,
,
.
-
По известным формулам находим координаты середины отрезка :
;
.
Теперь по двум известным точкам и составляем уравнение медианы :
,
,
,
.