Задача 18.

Построить кривую, заданную уравнением, приведя его к каноническому виду. Определить:

1. для окружности – координаты центра и радиус;

2. для эллипса – координаты центра, полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис;

3. для гиперболы – координаты центра, действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис, уравнения асимптот;

4. для параболы – координаты вершины, параметр параболы, координаты фокуса, уравнение директрисы.

Решение.

а) Исследуем кривую второго порядка, заданную своим уравнением .

В этом уравнении второго порядка коэффициенты при квадратах переменных имеют одинаковый знак. Значит, уравнение относится к эллиптическому типу. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, получаем

,

,

,

,

.

Точка центр эллипса. малая полуось, большая полуось эллипса. Так как , то фокусы лежат на вертикальной оси симметрии. Поэтому , а эксцентриситет (отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси) . Координаты фокусов: . Уравнения директрис: ; для данного эллипса: .

Рисунок

б) В уравнении кривой второго порядка коэффициенты при квадратах переменных имеют противоположный знак. Поэтому уравнение относится к гиперболическому типу. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, получаем

,

,

,

,

.

Уравнение задает сопряженную гиперболу с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью . При этом , а эксцентриситет (отношение фокального расстояния гиперболы к ее действительной оси) . Координаты фокусов: . Уравнения директрис: ; для данной гиперболы: . Уравнения асимптот: ; для данной гиперболы: .

Рисунок

в) Уравнение кривой второго порядка относится к параболическому типу, поскольку содержит только одно слагаемое с переменным в квадрате. Выделяя полный квадрат по , получаем

,

,

,

,

,

.

Это парабола с горизонтальной осью симметрии, для которой параметр , а . Вершина параболы находится в точке . Координаты фокуса: ; для данной параболы . Уравнение директрисы ; для данной параболы .

Рисунок

Задача 19.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение.

В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор данной плоскости, то есть . Теперь, зная нормаль плоскости и точку , ей принадлежащую, запишем ее уравнение:

,

,

,

.

Задача 20.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору , если .

Решение.

Найдем вектор :

,

.

Так как он перпендикулярен к плоскости, то, используя его в качестве нормального вектора, запишем уравнение плоскости:

,

,

.

Задача 21.

Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение.

Расстояние от точки до плоскости находим по формуле:

,

где уравнение плоскости.

Имеем

.

Задача 22.

Найти угол между плоскостями .

Решение.

Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Нормальные векторы данных плоскостей соответственно равны и . По формуле найдем косинус искомого угла :

,

,

откуда .

Задача 23.

Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и . Выясните, лежит ли точка на этой прямой.

Решение.

Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки, уравнения прямой можно записать в виде:

,

,

,

и окончательно

.

Чтобы точка лежала на прямой , необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнениям данной прямой. Проверим это:

,

.

Задача 24.

Прямая задана общими уравнениями

Записать ее канонические и параметрические уравнения.

Решение.

Для записи канонических уравнений прямой надо знать какую-нибудь точку этой прямой и ее направляющий вектор. В качестве координат точки прямой можно взять любое решение данной системы двух уравнений, например , а направляющий вектор найдем по формуле

.

Тогда

,

канонические уравнения прямой.

Каждое отношение в последнем соотношении обозначим буквой :

,

то

параметрические уравнения прямой.

Задача 25.

Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку перпендикулярно плоскости .

Решение.

Нормальный вектор плоскости параллелен прямой и его можно принять в качестве ее направляющего вектора. Зная точку и направляющий вектор прямой, запишем ее канонические уравнения:

,

.

Задача 26.

Найти точку пересечения прямой и плоскости . Вычислить угол между прямой и плоскостью .

Решение.

Точку пересечения прямой и плоскости можно найти из системы

где параметрические уравнения прямой ; уравнение плоскости .

Канонические уравнения прямой перепишем в ее параметрические уравнения:

;

Точка точка пересечения прямой и плоскости . Ее координаты найдем из системы:

Следовательно, .

Зная направляющий вектор и нормаль , вычислим по формуле величину угла между данными прямой и плоскостью:

,

,

.