ИЭ / 1 семестр / Учебники / Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Для векторов и в прямоугольной декартовой системе координат вычислить: 1) скалярное произведение

;	2) проекции Пр	, Пр	; 3)	векторное	произведение
	; 4) площадь параллелограмма		,	построенного на векторах
и (№ 2.85 – 2.96).
2.85.	,	. 2.86.		,	.
2.87.	,	. 2.88.		,	.
2.89.	,	. 2.90.	,		.
2.91.	,	. 2.92.		,	.
2.93.	,	. 2.94.		,	.
2.95.	,	. 2.96.		,	.
Для векторов		,		,	в прямо-

угольной декартовой системе координат: 1) вычислить смешанное

произведение		; 2) определить ориентацию этих векторов в про-
странстве; 3) найти объем			параллелепипеда, построенного на
векторах ,	,	(№ 2.97 – 2.108).
2.97.	,	,	.
2.98.	,	,	.
2.99.	,	,	.

2.100.			,	,	.
2.101.	,		,		.
2.102.	,		,		.
2.103.		,		,	.
2.104.	,		,		.
2.105.	,		,		.
2.106.		,	,		.
2.107.		,		,	.
2.108.	,		,		.

253

	Даны векторы				и в прямоугольной декартовой системе коор-
динат. Векторы				и		являются линейными комбинациями этих век-
торов. Определить:
	- при каких значениях α и β векторы									и	будут коллинеарны
(№ 2.109 – 2.112);
	- при каких значениях λ векторы и									будут ортогональны (№
2.113 – 2.116).
2.109.		2	4	,		3	,		,		.
2.110.			2	,	3		,		,		.
2.111.		5	3	,		2	,		,			.
2.112.			2	,		3	2	,	,		.
2.113.			,		4	2	,		,		.
2.114.		3	2	,		2		,		,		.
2.115.		2		,			3	,	,		.
2.116.		2	3	,		2	,		,			.
	Даны векторы				,	,	в прямоугольной декартовой системе ко-
ординат. Определить, при каких значениях λ векторы												,	, будут
компланарны (№ 2.117 – 2.120).
2.117.				,				, с		.
2.118.				,				, с		.
2.119.				,			, с		.
2.120.			,			, с			.
	Точка		M лежит на отрезке						AB и	делит	его	в	отношении
		α: β. Прямоугольные декартовы координаты двух из этих точек

известны (см. рис. 6.8). Найти координаты третьей точки (№ 2.121 –

2.132).

2.121.	α	β	.
2.122.	α	β	.
2.123.	α	β	.
254

				*B
	M
	*
	A*
	Рис. 6.8. К задачам № 2.121 – 2.132
2.124.	α	β		.
2.125.	α		β	.
2.126.		α	β	.
2.127.	α	β		.
2.128.	α		β	.
2.129.	α		β	.
2.130.		α	β	.
2.131.	α	β		.
2.132.	α		β	.

Даны координаты вершин треугольника ABC в прямоугольной декартовой системе координат. Найти его площадь S, стороны a, b, c

и углы A, B, C (№ 2.133 – 2.140).

2.133.

2.134.

2.135.

2.136.

2.137.

2.138.

2.139. .

2.140.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD в прямоугольной декартовой системе координат. Найти: 1) объем пирамиды V; 2) площадь основания SABC; 3) высоту HD, опущенную из вершины D на ос-

нование ABC (№ 2.141 – 2.148).
2.141.	).
2.142.	.

255

2.143.	.
2.144.
2.145.
2.146.
2.147.
2.148.
На плоскости даны точки:	(№
2.149 – 2.156). Построить треугольник ABC и найти:
1) центр тяжести треугольника О (	); 2) площадь треугольника

S; 3) стороны треугольника a, b, c; 4) радиусы вписанной и описанной окружностей; 5) углы треугольника A, B, C; 6) медианы mA, mB, mC; 7) высоты hA, hB, hC; 8) биссектрису lA (№ 2.149 – 2.156)

или lB (№ 2.153 – 2.156).

2.149.

2.150.

2.151.

2.152.

2.153.

2.154.

2.155.

2.156.

6.2.2. Полярные, цилиндрические и сферические координаты

2.157. Найти полярные координаты точек, заданных в прямоугольной декартовой системе координат:

.

2.158. Найти прямоугольные декартовы координаты точек, заданных в полярной системе координат:

.

256

2.159. Дан квадрат OABC со стороной (рис. 6.9). Найти полярные координаты вершин A, B, C, если полюс совпадает с вершиной O, а полярная ось проходит через сторону OC.

A B

O C

Рис. 6.9. К задаче № 2.159

2.160. Дан правильный 6-тиугольник OABCDE со стороной (рис. 6.10). Найти полярные координаты вершин A, B, C, D, E, если полюс совпадает с вершиной O, а полярная ось проходит через сторону OE.

B C

A D

O E

Рис. 6.10. К задаче № 2.160

2.161. Найти цилиндрические координаты точек, заданных в прямоугольной декартовой системе координат:

.

2.162. Найти прямоугольные декартовы координаты точек, заданных в цилиндрической системе координат:

.

257

2.163. Найти сферические координаты точек, заданных в прямоугольной декартовой системе координат:

.

2.164. Найти прямоугольные декартовы координаты точек, заданных

в сферической системе координат:

.

6.2.3. Дополнительные задачи

2.165. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:

,	,	. Найти координаты вектора ,
если известно, что	,
2.166. Даны векторы	и	в прямоугольной де-

картовой системе координат. Найти координаты вектора , если из-

вестно, что		,	,	.
2.167. Дан треугольник					Точка
делит отрезок		в отношении 1:3,			— медиана, проведенная из
вершины С.	Найти		координаты	точки M пересечения прямых
и .

2.168.	Дан		треугольник
		Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при
вершине .
2.169. Дан куб					(рис. 6.11). Найти косинус угла между
векторами		и	, где M — середина ребра					.
			B1			C1
					A1		D1
			B		C		M
				A			D
			Рис. 6.11. К задаче № 2.169

258

2.170. Выразить площадь треугольника	на плоскости через коор-
динаты его вершин:

7.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

7.1.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

7.1.1.Преобразование декартовых координат

3.1.Написать формулы прямого и обратного преобразования прямоугольных координат на плоскости при параллельном переносе старой

системы OXY в новую систему O X Y с точкой О .

3.2. Написать формулы прямого и обратного преобразования прямоугольных координат на плоскости при повороте старой системы OXY к новой системе OX Y на угол .

3.3. Написать формулы прямого и обратного преобразования прямоугольных координат на плоскости при параллельном переносе старой

системы OXY в точку О						и дальнейшем повороте к новой
системе O X Y на угол					.
3.4. Найти новые координаты вершин прямоугольника OABC, где
O(	), A(	), B(	), C( ),			при параллельном переносе старой
системы координат в точку О						.
3.5.	Найти	новые	координаты			вершин треугольника ABC, где
A(	), B(	), C(			), при параллельном переносе старой систе-

мы координат в точку B.

3.6. Найти старые координаты вершин B и C треугольника ABC, если

при параллельном переносе системы координат в точку A(							) их
новые координаты: B(	), C( ).
3.7. Найти новые координаты точек M(					) и N(		) при по-
вороте системы координат на угол			.

259

3.8. Найти старые координаты точек P и Q при повороте системы ко-

ординат на угол				, если			известны			их новые						координаты:
P(		), Q(	).
3.9. Найти новые координаты точек M(										) и N(					) при парал-
лельном переносе в точку О							и дальнейшем повороте системы
координат на угол			.
3.10. Найти старые координаты точек P и Q при параллельном пере-
носе в точку О				и дальнейшем повороте системы координат на
угол		, если	известны их				новые координаты: P(										),
Q(	).
		7.1.2. Уравнения линий на плоскости
	Построить линии, заданные уравнениями в прямоугольной де-
картовой системе координат (№ 3.11 –3.26).
3.11.	. 3.12.		. 3.13. 5							7							.
3.14.			. 3.15.							. 3.16.
.
3.17.			. 3.18.													.
3.19.			. 3.20.							. 3.21.							= 1.
3.22.	2		. 3.23.							. 3.24.							.
3.25.	. 3.26.									.
	Построить линии, заданные параметрическими уравнениями в
прямоугольной декартовой системе координат (№ 3.27 – 3.36).
3.27.	. 3.28.						. 3.29.			.					3.30.		.
3.31.			. 3.32.							. 3.33.						.
3.34.	. 3.35.		. 3.36.											.

260

7.2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

7.2.1. Уравнения прямой на плоскости

Составить уравнение прямой			и привести его к общему виду.
Построить данную прямую (№ 3.37 – 3.44).
3.37. Нормальное уравнение (		, M		):
а
3.38. Каноническое уравнение (		‖	, M	):
а)	{1; 2}, M(-3; 5); б)	{-1; 3}, M(2; 1);
в)	{1; -2}, M(3; -1); г)	{1; 0}, M(-3; -2).
3.39. Параметрические уравнения (			‖ ,	M ):
а)	{1; -2}, M(3; 5); б)	{-1; 3}, M(-2; 1);
в)	{2; 3}, M(1; -1); г)	{0; 1}, M(-3; 2).

3.40. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки (M1

, M2

):

а) M1(1; 2), M2(-3; 5); б) M1(-1; 3), M2(2; -4);

в) M1(1; -2), M2(1; 2); г) M1(-1; -2), M2(3; 1).

3.41. Уравнение прямой «в отрезках» (

,

):

а)

; б)

в)

г)

3.42. Нормированное уравнение ( {cos α; sin α} , d(

;

)

):

а)

,

б)

,

в)

,

г)

,

.

3.43. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (

(

, OX)

,

M

):

а)

,

б)

,

в)

,

г)

,

3.44. «Неполное» уравнение (

‖ OX,

OY =

или

‖ OY,

OX =

): а)

б)

в)

г)

Дан треугольник ABC. Составить уравнения сторон треугольни-

ка и уравнения: медианы [mA], высоты [hA] и биссектрисы [lA], проведенных из вершины A. Привести уравнения к общему виду. Сделать рисунок (№ 3.45 – 3.50).

261

3.45.	. 3.46.	.
3.47.	.
3.48.	.
3.49.	. 3.50.	.

7.2.2. Основные задачи

3.51. Найти угол между прямыми 1 и 2.

а) 1:

,

2:

б) 1:

, 2:

.

3.52. Найти расстояние между параллельными прямыми 1 и

2.

а) 1:

,

2:

б) 1:

,

2:

.

3.53.

Дан 4-хугольник

:

Найти точку пересечения M диагоналей

и

и вычислить острый

угол

между ними.

3.54. Найти расстояние от точки

до прямой

:

.

3.55. Найти угловой коэффициент « » прямой, проходящей через

точку	на расстоянии 4-х единиц от точки
3.56. Составить уравнение прямой, параллельной двум заданным
прямым 1 и	2 и проходящей посередине между ними, 1:				,

2:

3.57. Составить уравнение прямой, проходящей через точку на одинаковых расстояниях от точек и 3.58. Составить уравнение прямой, проходящей через точку под углом 45 к прямой :

	.
3.59. Из точки	выходит луч света под углом	к оси

OX и отражается от нее. Составить уравнения падающего и отраженного лучей.

3.60. Найти расстояния от начала координат до прямых, на которых

лежат стороны треугольника	:
262