ИЭ / 1 семестр / Учебники / Линейная алгебра и аналитическая геометрия

3.61. Найти расстояние от вершины B до медианы, проведенной из точки A в треугольнике

3.62. Дан треугольник		Найти
центр О и радиус r вписанной окружности.
3.63. Дан треугольник		Найти центр
О и радиус R описанной окружности.
3.64. Найти точку M , симметричную точке		относительно
прямой
3.65. Найти площадь S треугольника, заключенного между осями ко-
ординат и прямой
3.66. Через точку	провести прямую, отсекающую равные от-
резки на осях координат.
3.67. Через точку	провести прямую так, чтобы ее отрезок, за-

ключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.

3.68. Через точку	провести прямую так, чтобы площадь тре-
угольника, образованного ею и осями координат, была равна
3.69. Дан треугольник		На биссек-
трисе угла A найти такую точку M, чтобы 4-хугольник		оказал-
ся трапецией.
3.70. Дан треугольник		Найти: 1) ор-

тоцентр M1 (точку пересечения высот); 2) центр описанной окружно-

сти M2 (точку пересечения серединных перпендикуляров); 3) центр тяжести M3 (точку пересечения медиан). Проверить, лежат ли эти точки на одной прямой.

7.2.3.Дополнительные задачи

3.71.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его

вершин	и	уравнения	двух		высот:
	и
3.72. Составить уравнения сторон треугольника, зная				одну из его
вершин	и	уравнения	двух		медиан:
	и

263

3.73. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух биссектрис:

и

3.74. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения высоты: и биссектрисы:

проведенных из одной вершины.

3.75. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его

вершин	и уравнения высоты:	и медианы:
	проведенных из различных вершин.

3.76. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его

вершин	и уравнения биссектрисы:	и медиа-
ны:	проведенных из различных вершин.

7.3.КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА

7.3.1.Окружность

3.77.Построить окружность, найти ее центр C и радиус R:

а)		б)
в)	г)	.

3.78.Составить уравнение окружности, проходящей через 3 точки:

3.79.Составить уравнение окружности, касающейся оси OX в начале координат и пересекающей ось OY в точке

3.80. Составить уравнение окружности радиуса касающейся оси OY в точке

3.81. Составить уравнение окружности, касающейся обеих осей коор-

динат и проходящей через точку
3.82. Составить уравнение окружности с центром в точке	ка-
сающейся прямой
3.83. Составить уравнение касательной к окружности	в
точке
3.84. Составить уравнение касательной к окружности
в точке

264

3.85.Составить уравнение касательной к окружности

вточке

3.86.Определить угол, под которым видна окружность из точки

3.87. Найти длину d касательной, проведенной из точки								к ок-
ружности
3.88. Составить уравнение		окружности,			проходящей через			точку
и касающейся прямых							и
		7.3.2. Эллипс
3.89. Построить эллипс:					Найти его полуоси			и ,
фокусы и	эксцентриситет , расстояние между директрисами d;
составить уравнения директрис D1 и D2.
3.90. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно:
а)	б)	в)
г)	д)	е)

3.91.Построить эллипс; найти его центр C, полуоси a и b, фокусы

,эксцентриситет , расстояние между директрисами d; составить уравнения директрис D1 и D2:

а)

б)

в)

3.92. Вычислить эксцентриситет эллипса, если известно: а) малая ось его видна из фокуса под прямым углом;

б) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей; в) расстояние между директрисами в 4 раза больше расстояния между

фокусами.
3.93. На эллипсе	найти точку, расстояние которой

от правого фокуса в 4 раза больше расстояния от ее левого фокуса.

265

3.94. Через фокус	эллипса				проведена хорда, пер-

пендикулярная к большой оси. Найти длину этой хорды.

3.95. Составить уравнение касательной к эллипсу

в точке

3.96.

Составить

уравнения

касательных, проведенных

из точки

к эллипсу

.

3.97. Составить уравнения касательных к эллипсу

, парал-

лельных прямой

3.98. Составить уравнения касательных к эллипсу

, пер-

пендикулярных к прямой

7.3.3. Гипербола

3.99.

Построить

гиперболу:

Найти ее полуоси

и

, фокусы

и

эксцентриситет , расстояние между директри-

сами d, угловой коэффициент k асимптот; составить уравнения асимптот и и директрис D1 и D2.

3.100. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

3.101. Построить гиперболу; найти ее центр C, полуоси и , фоку-

сы и

эксцентриситет

, расстояние между директрисами d; со-

ставить уравнения асимптот

и

и директрис D1 и D2:

а

б

в

3.102. Вычислить эксцентриситет

гиперболы, если известно:

а) угол между асимптотами равен

;

б) угол между асимптотами равен

;

266

в) действительная ось гиперболы видна из фокуса сопряженной гиперболы под углом в 3.103. Найти угол между асимптотами гиперболы, если расстояние

между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.

3.104. На гиперболе				найти точку, расстояние которой от

левого фокуса в раза больше расстояния от ее правого фокуса.

3.105. Составить уравнение касательной к гиперболе

в

точке

3.106.

Составить

уравнения касательных, проведенных из

точки

к гиперболе

3.107. Составить уравнения касательных к гиперболе

,

па-

раллельных прямой

3.108. Составить уравнения касательных к гиперболе

,

перпендикулярных к прямой

7.3.4. Парабола

3.109. Построить параболу. Найти ее параметр p, ось симметрии

и

фокус ; составить уравнение директрисы D.

а

б

в

г

.

3.110. Написать каноническое уравнение параболы, если известно:

а)

;

б)

точка

лежит на параболе

в)

— фокус параболы.

3.111. Построить параболу; найти ее вершину C, параметр p, ось сим-

метрии	и фокус ; составить уравнение директрисы D:
а	б
в	г		.

267

3.112. Точка лежит на параболе

и находится на расстоя-

нии 9,125 от ее директрисы. Найти расстояние от точки

до верши-

ны параболы.

3.113. Через фокус параболы

проведена хорда, перпендику-

лярная к ее оси. Найти длину этой хорды.

3.114. Составить уравнения

касательных,

проведенных из

точки

к параболе

3.115. Составить уравнения касательных к параболе

, парал-

лельных прямой

3.116. Составить уравнения касательных к параболе

, пер-

пендикулярных к прямой

7.3.5. Дополнительные задачи

3.117. Найти расстояние от эллипса

до

прямой

3.118. Найти расстояние от гиперболы

до

прямой

3.119. Найти расстояние от параболы

до

прямой

3.120. Из левого фокуса эллипса

под углом

α к оси OX направлен луч света. Составить уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса.

3.121. Из правого фокуса гиперболы				под углом

αк оси OX направлен луч света. Составить

уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гиперболы.

3.122.	Из фокуса			параболы	под углом
α			к оси	OX направлен луч	света. Составить уравнение

прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

268

Методом собственных векторов привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и найти кано-

ническую систему координат	(№ 3.123 – 3.128).
3.123.	.
3.124.	.
3.125.	.
3.126.	.
3.127.	.
3.128.	.

8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

8.1. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Установить, какие поверхности задаются следующими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат в пространст-

ве. Изобразить схематически эти поверхности (№ 4.1 – 4.10).
4.1.	. 4.2.	. 4.3.	.
4.4.	.	4.5.	.			4.6.				.
4.7.			. 4.8.						.
4.9.	2	. 4.10.				.
	Составить уравнение плоскости		в пространстве и привести его
к общему виду (№ 4.11 – 4.15).
4.11. Нормальное уравнение ( ,			):
а)
б)
в)		.
4.12. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки (
):
а)
б)			.
4.13. Уравнение плоскости «в отрезках» (
	):

269

а

б

в

.

4.14. Нормированное уравнение (

, d( ; ) ):

а)

,

,

,

б)

,

,

,

в)

,

,

,

.

4.15. «Неполное» уравнение:

а

б

в

г

д

е

.

Установить, какие линии задаются следующими уравнениями в

прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Изобразить схематически эти линии (№ 4.16 – 4.27).

4.16.	; 4.17.	,	;

4.18.		; 4.19.		,		;
4.20.		; 4.21.				;
4.22.		; 4.23.				;
4.24.		; 4.25.		;
4.26.		; 4.27.		.
270

Составить канонические и параметрические уравнения прямой

в пространстве (№ 4.28 4.30).
4.28.	:
а)
б)
в)	.
4.29.	:
а)	б)
в)	.
4.30.	:
а)	; б)	.

8.2. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

8.2.1. Основные задачи

4.31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку					па-
раллельно плоскости .
а)	:	б)		:	.
4.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки					и
	перпендикулярно к плоскости .
а)		:
б)		:		.
4.33. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку					па-
раллельно векторам a1, a2.
а)	a1	a2	б)	a1
a2	.
4.34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки					и
	параллельно вектору a.
а)		a	б)
a	.

271

4.35.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через	точку
	и перпендикулярной к плоскостям:					и
4.36.	Вычислить	объем	пирамиды,	ограниченной	плоскостью
		и координатными плоскостями.
4.37.	Составить	уравнение	плоскости,	проходящей	через	точку
	и отсекающей от осей координат положительные и рав-

ные отрезки.

4.38. Составить уравнение плоскости, делящей пополам двугранный

угол,	образованный	плоскостями:		и
4.39. В пирамиде		найти двугранный угол между боковой гра-
нью [	] и основанием [		], если известно:
4.40. Найти расстояния от точки				до плоскости, проходя-

щей через точки 4.41. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через

точку

и параллельной прямой:

а)

; б)

.

4.42. Вычислить угол между прямыми:

и

.

4.43. Вычислить угол между прямыми:

и

.

4.44. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через

точку	и перпендикулярной к плоскости
	.
4.45. Найти точку пересечения прямой							и плоскости
	.
4.46. Найти проекцию точки		на плоскость
	.

272