2. Интегральное представление энергии непрерывного распределения зарядов, cравнение со случаем энергии системы точечных зарядов

Пусть в элементе объема находится заряд. Для определения энергии взаимодействия всех элементовв объеме V можно использовать формулу(12.4). , перейдя в ней от суммы к интегралу:

 (12.5)

Где - потенциал, создаваемый всеми зарядами в точке нахождения заряда.

На первый заряд формулы (12.4) и (12.5) кажутся аналогичными, тем более что (12.5) “выведена” из (12.4). Однако между ними существует принципиальное различие. Формула (12.4) учитывает лишь энергию взаимодействия между заряженными шарами, но не учитывает энергию взаимодействия между элементами зарядов, находящихся на каждом шаре. А (12.5) учитывает и первое, и второе.

Учитывая сказанное, энергию взаимодействия зарядов можно записать в виде:

 (12.6)

Величина - это энергия заряженных шаров, учитывающая взаимодействие зарядов между собой на каждом шаре. Собственная энергия зависит от законов распределения зарядов шара и значений зарядов. Если имеется уединенный шар, то.

Тогда (12.7)

Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности.

Но при . Это приводит к серьезным трудностям при использовании модели точечных зарядов.

3. Электрическая энергия заряженных уединенного проводника и конденсатора

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная. Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю. Тогда

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q:

Применяя соотношение , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

(16.2)

Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна поэтому соотношение для полной энергии его электростатического поля имеют вид

4. Энергия электростатического поля, выраженная в виде объемного интеграла от векторов напряжённости Е и электрического смещения D.

18. Вычисление емкости цилиндрического конденсатора

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора, изображенного на рисунке 5.12, может быть рассчитана по формуле:

где λ – линейная плотность заряда,R₁ иR₂ – радиусы цилиндрических обкладок,l– длина конденсатора, .

Рис. 5.12

Тогда, так как , получим

(5.4.9)

      Понятно, что зазор между обкладками мал:  то есть

Тогда

19. Пьезоэлектрики

Пьезоэле́ктрики — диэлектрики, в которых наблюдается пьезоэффект, то есть те, которые могут либо под действием деформации индуцировать электрический заряд на своей поверхности (прямой пьезоэффект), либо под влиянием внешнего электрического поля деформироваться (обратный пьезоэффект). Оба эффекта открыты братьями Жаком и Пьером Кюри в 1880—1881 гг.

(прямой пьезоэффект)

Пьезоэлектрический эффект обратим, то есть пластина кварца, помещенная в электрическое поле будет сжиматься и растягиваться с частотой, соответствующей частоте смены знаков электрических зарядов. Таким образом, пьезоэлектрические пластины становятся излучателями ультразвука. Это обратный пьезоэлектрический эффект.

Для создания электрического контакта на поверхности пьезопластины наносят тонкий слой серебра, служащий электродом. При подаче на них электрического напряжения пластина изменяет свою толщину вследствие обратного пьезоэлектрического эффекта.

Если напряжение знакопеременно, то пластина колеблется в такт этим изменениям, создавая в окружающей среде упругие колебания. При этом пластина работает как излучатель, и наоборот, если пьезопластина воспринимает импульс давления, то на её обкладках в следствие прямого пьезоэлектрического эффекта появляются заряды, величина которых может быть замерена. В этом случае пластина работает как приемник. Мощность колебания пластины зависит от напряжения на электродах и соотношения частоты переменного тока и собственной частоты колебаний пластины.

Таким образом, пластина излучает ультразвуковые волны благодаря обратному пьезоэффекту, а принимает – благодаря прямому.

Наибольшую излучающую мощность можно получить при резонансе, когда собственная частота колебаний пьезопластины будет соответствовать частоте переменного тока генератора, возбуждающего его.

Пьезоэлектрическую пластину выбирают такой, чтобы её толщина была равна половине длины ультразвуковой волны в материале пластины.

δ = λ_п / 2 = C / 2f_п

λп – длина волны в материале пьезопластины

Сп – скорость ультразвука в материале пластины

δ – толщина пластины

Пьезоэлектрики широко используются в современной технике в качестве элемента датчика давления. В быту можно наблюдать пьезоэффект, например, в зажигалке, где искра образуется от нажима на пьезопластинку, а также при медицинской диагностике с помощью УЗИ, в которой используются пьезоэлектрические источник и датчик ультразвука. Передовой областью использования пьезоэлектриков является сканирующая зондовая микроскопия (СЗМ).