лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ № 11 СИЛА АМПЕРА
.pdfЛЕКЦИЯ № 11 СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА КОНТУР С ТОКОМ. СИЛА АМПЕРА.
Носители тока испытывают действие магнитной силы. Действие этой силы передаѐтся проводнику, по которому движутся заряды. В результате магнитное
поле действует с определѐнной силой на сам проводник с током. |
|
Пусть объѐмная плотность заряда являющегося носителем |
|
|
|
тока (электроны в металле) равна . Выделим мысленно элемент |
dV |
объѐма dV проводника. |
|
|
|
В нѐм находится заряд – носитель тока: |
|
dq = dV.
Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, может быть записана
|
|
|
|
|
|
|
|
на основании формулы Fм |
q[vB] в виде: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
dF [uB]dV |
|
|||
скорость упорядоченного движения носителей тока. Так как плотность |
|||||||
где u |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тока можно представить в виде j u , то |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF [jB]dV . |
(1) |
|||
Если ток течѐт по тонкому проводнику, то согласно соотношению между |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
объѐмным и линейным элементами тока jdV Idl |
и, следовательно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF I[dl B] |
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
||
где dl |
– вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий эле- |
мент длины тонкого проводника.
Формулы (1) и (2) выражают закон Ампера. Интегрируя |
|
|
|
|
|
I |
||||
эти выражения по элементам тока (объѐмным и линейным) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
можно найти магнитную |
силу, действующую на проводник |
B |
|
|||||||
(элемент объѐма или линейный участок). Силы, действующие на |
|
|
|
|
dl |
|||||
токи, называются силами Ампера или амперовыми. Направ- |
|
|
|
|
|
|
||||
ление силы Ампера определяется по правилу векторного произ- |
|
|
|
|
|
|
||||
ведения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что одинаково направленные |
I1 |
|
|
|
I2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
токи притягиваются, а противоположно – оттал- |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
киваются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для исследования |
магнитного |
поля ис- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dF |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
B |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
пользуется пробный ток, циркулирующий в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плоском замкнутом контуре малых размеров, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
аналогично как в электростатике мы используем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пробный заряд. Такой контур называют элемен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
тарным. Результирующая сила, действующая на |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
этот контур с током, в соответствии с (2) опре- |
I |
|
|
|
|
|
|
|||
деляется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F I [dl B] , |
|
|
|
|
(3) |
где интегрирование проводится по данному контуру с током I.
Отметим, что поведение элементарного (пробного по Савельеву) контура
|
|
|
|
|
|
удобно описывать с помощью магнитного момента pm |
: |
||||
|
|
|
|
|
|
pm |
ISn , |
|
|
(4) |
|
где I – ток; S – площадь, ограниченная контуром; |
– нормаль к контуру, направ- |
||||
n |
ление которой связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 3).
Если поле однородно, то интегрирование в (3) представляет замкнутые це-
почки элементарных векторов dl , (т.к. B = const и выносится за знак интеграла) и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
поэтому интеграл равен нулю. Следовательно, результирующая сила F 0 . |
||||||
|
Если магнитное поле неоднородно, то кропотливый расчѐт по (3) приводит |
|||||
к выражению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
F p |
|
|
(5) |
|
|
|
|
B , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
pm – модуль магнитного момента контура, B – производная вектора B по |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
направлению нормали n или вектора pm . |
|
|
|
|||
|
Выражение (5) аналогично для силы, действующей на диполь в электриче- |
|||||
ском поле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F p E . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
Из (5) следует, что, как и для электрического диполя: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1. В однородном магнитном поле F = 0, т.к. B 0 . |
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Направление F в общем случае не совпадает ни с |
pm , ни с |
B , а лишь с |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
направлением приращения вектора |
B взятого в направлении вектора pm в |
месте расположения контура. Сказанное иллюстрирует рис.1, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока I0. Здесь же показан и вектор результирующей силы F, которая действует на контур в каж-
дом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так). |
|||||
|
|
|
|
|
|
I0 |
F |
pm |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
F |
|
|
||
|
|
|
pm |
||
I0 |
|
pm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
F 0 |
|
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
||
Если нас интересует проекция |
F |
на некоторое направление Х (рис.2), то до- |
статочно записать выражение (5) в проекциях на это направление, и мы получим:
|
|
|
F p |
Bx , |
|
|
|
|
|
|
x |
m n |
|
|
|
где B/ n |
производная соответствующей проекции вектора |
опять же по |
|||||
B |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
направлению нормали |
n |
к контуру (или по направлению вектора pm ). |
2
ПРИМЕР. Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный мо-
мент pm , расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитно- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
го поля, причем вектор pm в направлении вектора B . |
|
||||||
Выберем положительное направление оси X, как показано на рис. 2. |
|||||||
|
|
|
приращение проекции Вх будет отрица- |
||||
Так как в направлении вектора pm |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тельным, то Fx < 0. Значит, вектор F направлен влево в сторону, где B больше. |
|||||||
Если же контур с током (и вектор |
|
|
) повернуть на 900 так, чтобы центр |
||||
p |
|
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
контура совпал с осью симметрии поля |
B , то в этом положении Fх = 0, а вектор F |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
будет направлен перпендикулярно оси X, причем в ту же сторону, что и |
pm . |
||||||
|
МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ КОНТУРА С ТОКОМ |
|
|||||
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном магнитом |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
поле B (рис. 3). Мы уже выяснили, что результирующая сила, дей- |
pm |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ствующая на контур с током в однородном магнитном поле F 0 . |
n |
||||||
Из механики известно, что если результирующая сил, дей- |
S |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
ствующих на любую систему равна 0, то суммарный момент не за- |
I |
||||||
висит от выбора центра вращения. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ðèñ. 3 |
|||
В нашем случае результирующий момент Амперовых сил: |
|||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
[rdF] |
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
где dF |
I[dl B]. |
|
|
|
|
|
Расчѐт показывает, что для произвольной формы контура с током: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [pm B] , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
где pm |
ISn . Вектор M перпендикулярен pm |
и |
B . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль M равен |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
M pm Bsin , |
|
|
|
||
где угол между |
|
и |
|
|
когда |
|||||
p |
|
B . В тех случаях, |
p |
B момент сил |
||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
положение контура будет устойчивым. Если |
pm |
B |
момент сил M 0 |
кое положение является неустойчивым.
(7)
M 0
но та-
РАБОТА ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Когда контур с током находится во внешнем маг- |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нитном поле, при этом B = const, на отдельные элемен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ты контура действуют силы Ампера. Поэтому при пе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||||||
ремещении контура эти силы будут совершать работу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим частный случай: контур с подвижной |
|
|
|
B, n |
|
l |
||||||||||
перемычкой длины l находится в однородном магнит- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ном поле перпендикулярном плоскости контура и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
направленным за плоскость чертежа (рис.4). |
Ðèñ. 4 |
|
|
|
|
|
|
|
3
На перемычку действует сила F= IBl. При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершает работу:
A Fdx IBldx IBdS, |
(8) |
где dS = ldx приращение площади очерченной контуром.
Как мы знаем, величину Ф BS называют магнитным потоком. Поэтому
(8) перепишем как:
(9)
где d приращение магнитного потока через контур при данном перемещении. Поток Ф может быть как положительный, так и отрицательный, в нашем
случае – положительный, т.к. нормаль к поверхности контура образует правовинтовую систему с направлением тока.
Выражения (8) и (9) будут справедливы и для произвольного направления
вектора B , при этом нужно рассматривать его составляющие в проекции на n , l или x.
При произвольном перемещении любого контура в постоянном неоднородном магнитном поле, его мысленно разбивают на бесконечно малые элементы тока и рассматривают бесконечно малые перемещения так, что поле можно считать однородным. Через элементарные работы элементов контура находят полную работу.
Чтобы найти работу сил Ампера при полном перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного 2, достаточно проинтегрировать (9)
2 |
|
A IdФ . |
(10) |
1 |
|
Если при этом I = const то: |
|
A I(Ф2 Ф1) , |
(11) |
где Ф1 и Ф2 магнитный поток в начальном и конечном положениях.
4