Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Dz3

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
06.02.2015
Размер:
107.64 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашняя работа №3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементы векторной алгебры

 

 

 

 

 

 

 

a = 2i + 5j 4k

,

→−b = i + 2j + 5k

,

c = 4i j 2k

. Найти:

(1) Даны векторы: →−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−

 

− −

(a)

2 a + 4→−b

2 c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

→−

→− ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−b

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b) скалярное произведение векторов

 

 

→− ;

 

c

2→−b

 

 

 

 

(c) скалярное произведение векторов

3 a

 

4 c

 

;

 

 

 

 

→−

 

→− и

→−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(d) угол между векторами →− и

→− ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

→−b

 

2 a + →−b

 

 

c

→−b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−

 

и →−

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

(e) угол между векторами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f) длину вектора →−

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

→−b

 

 

3k

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) При каком значении

m

 

 

 

a = i+j+mk

 

→−b = mi+2j

 

 

будут перпендикулярны?

 

 

векторы →−

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

Можно ли подобрать

 

 

так, чтобы векторы →− и

 

были коллинеарны?

(3) Дан треугольник ABC с вершинами A(0; −3; 1), B(−2; 2; 1) и C(5; 0; 7). Точки M и N –

середины сторон BC и AC соответственно. Найти

−−→ −−→ −−→

(a) координаты векторов AM, MC и MN;

(b) координаты точки O пересечения медиан треугольника ABC;

(c) угол A треугольника ABC;

(d) угол AOC.

 

 

k

 

−→b = i

2j + 3k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = 4i + j

и

. Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4) Даны векторы →−

 

 

 

a

−→b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a) векторное произведение векторов →−

и

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b) векторное произведение векторов

и →− ;

 

 

a

→−b

.

 

 

 

 

(c) площадь треугольника, построенного на векторах →−

и

 

 

 

 

 

2 a

 

→−b

a + 2→−b

 

 

a

→−b

равно

i

j

k

. Найти векторное

(5) Известно, что векторное произведение векторов →− и

 

 

 

 

 

 

 

произведение векторов →−

 

и →−

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)Найти площадь параллелограмма, если координаты трех его последовательных вершин

(−1; 3; 0), (2; −2; 1) и (0; −3; −2).

(7)Найти длину высоты AH треугольника ABC, если A(2; 1; 1), B(−2; 0; 1) и C(0; −1; −2).

(8) Даны

точки

M(0; −2; 1), N(2; 0; 1), K(1; −3; 9) и L(1; −1; −1). Найти смешанное

произведение векторов

(a)

−−→, −−→ и −−→;

(b)

MN NK

KL

−−→, −−→

и

−−→;

(c)

LN LK

и

ML

−−→, −−→

−−→;

(d)

LN LM

и

MN

−−→, −−→

−−→.

 

LN NL

 

MN

(9)

 

 

 

 

 

 

a = i + j

k

→−b = i

2j + k

и

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах →−

 

 

 

,

 

 

 

→−b = 3i − 2j + k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)

Найти объем тетраэдра DABC, если A(1; 0; −2), B(0; 1; −1), C(0; 2; 0) и D(−5; −5; 1).

 

 

 

1)

→−b = (1; 0; 3)

 

7)

 

 

 

 

 

(11)

a = (2; 4;

 

и

→−b = (0; 4;

 

компланарны.

 

Доказать, что векторы →−

 

 

 

,

 

 

 

 

(12)Объем тетраэдра EFGH равен 15, F(−1; 0; 0), G(0; 1; 2), H(1; 1; 0). Найти координаты точки E, если известно, что она лежит на оси Oy.

Плоскость и прямая в пространстве

(13)Определить взаимное расположение плоскостей:

(a)3x − 4y + 5z − 1 = 0 и 4x − 5y − 7 = 0;

(b)x − 2y − 2z − 1 = 0 и 3x − 6y − 6z − 2 = 0;

(c)x − 2y − 2z − 1 = 0 и 3x − 6y − 6z − 3 = 0;

(d)3x − 4y + 5z − 1 = 0 и 3x − 4y + 4z − 1 = 0.

(14)Доказать, что плоскости 3x + 4y + z + 5 = 0 и −2x + y + 2z − 2 = 0 перпендикулярны.

(15)

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(0; −1; −2)

и параллельной

 

a = (2;

1; 1)

→−b = (3;

1; 0)

.

 

 

векторам →−

 

и

 

 

 

 

K(2; −3; −1) и

(16)

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей через точку

 

 

 

 

 

a = (

2; 3; 9)

.

 

 

перпендикулярной вектору →−

 

 

 

 

(17) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(−3; 1; 1), B(3; −4; 4) и

C(0; 0; 2).

(18)Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости α : 5x − 2y − z − 2 = 0 и проходящей через точку F(1; 1; 1).

(19)Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей α :

x − 2y + z + 2 = 0 и β : 4x − 5y − 2z − 4 = 0 и начало координат.

1

(20)Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости x + y − 3z − 2 = 0 и проходящей через точки C(8; 9; 1) и D(12; 13; 0).

(21)Найти угол между плоскостями 2x − 4z + 1 = 0 и y + 3z − 9 = 0.

(22)Найти угол между плоскостью xOz и плоскостью x + 2y − 3z − 5 = 0.

(23)Найти расстояние от точки D(4; −1; 0) до плоскости 3x + y − 3z − 3 = 0.

(24)Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях Ox, Oy и Oz отрезки 8, 2 и -3 соответственно.

(25)Плоскость пересекает координатные оси в точках A(2; 0; 0), B(0; −3; 0) и C(0; 0; −4), точка O - начало координат. Найти

(a)высоту OH тетраэдра OABC;

(b)высоту AK тетраэдра OABC.

(26)Прямая задана как пересечение плоскостей 3x − 2y + z − 9 = 0 и x + y − 4 = 0. Написать

 

канонические и параметрические уравнения данной прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = t

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(27)

Прямая задана параметрически:

y = 2t+ 2;

Написать канонические уравнения данной

 

 

 

 

 

z = 4t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямой.

 

x

 

3

 

y

 

z

2

 

x+1

 

y+4

 

z

(28)

Найти точку пересечения прямых

 

2

 

=

 

=

 

5

и

 

=

 

=

 

.

 

 

1

 

2

3

−3

(29)

Составить уравнения прямой, проходящей через точку N(2; −3; 1) параллельно вектору

 

a = (

3; 1; 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(30)

Составить уравнения прямой, проходящей через точки A(1; 3; 5) и B(9 : −11; 3).

(31)

Можно ли составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки A(1; 3; 5)

 

и B(4 : 3; −1)? В случае отрицательного ответа составить параметрические уравнения

 

данной прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(32)Прямая перпендикулярна плоскости 3x − 9z + 2 = 0 и проходит через точку D(3; 8; −2). Составить уравнения данной прямой.

(33)Определить взаимное расположение следующих пар прямых:

(a)x22 = y+13 = z4 и x2 = y+43 = z4 ;

(b)x+13 = y1 = z11 и x61 = y21 = z+12 ;

(c)x4 = y+13 = z+11 и x−8 8 = y−6 5 = z1 ;

(c)x−2 3 = y+44 = z31 и x1 = y12 = z+32 .

(34)Найти угол между прямыми x2 = y+12 = z−3 1 и x12 = y2 = z+22 .

(35)Написать уравнения прямой, перпендикулярной двум пересекающимся прямым x11 =

y2 = z3 и x12 = y+44 = z+22 и проходящей через точку пересечения данных прямых.

(36)Написать уравнения прямой, перпендикулярной плоскости xOz и проходящей через точку

B(1; 7; 9).

(37)Определить взаимное расположение прямой и плоскости:

(a)x−1 4 = y5 = z7 и 5x − 7z + y − 20 = 0;

(b)x−2 2 = y+31 = z−1 7 и 6x − 3z − 9y − 2 = 0;

(c)x+12 = y−3 3 = z4 и 4x − 7z + 3y + 25 = 0.

(38)Написать уравнение плоскости, параллельной двум прямым x1 = y−2 3 = z+64 и x12 = y4 = z2

ипроходящей через точку D(2; 0; −3).

(39)

Написать уравнение плоскости, перепендикулярноу прямой

x+3

=

y−1

=

z+7

и

 

проходящей через точку M(2; −1; 0).

3

 

2

 

−8

 

 

 

 

 

 

 

 

(40)

Найти угол между прямой и плоскостью:

 

 

 

 

 

 

(a) 3x − y + 5 = 0 и x+24

= y2 =

z−5

3

;

 

 

(b) 5x − 2y + 3z − 2 = 0

и x−2

1

=

y+11

= z−3

7 .

 

1

(41)Написать уравнения прямой, составляющей с плоскостью x − 2y + z + 6 = 0 угол 450 и проходящей через начало координат.

(42)Дан тетраэдр DABC с вершинами D(2; −2; 1), A(4; 0; 0), B(−2; 0; 1), C(0; 3; −1).

(a)Написать уравнение плоскости, содержащей грань DBC данного тетраэдра.

(b)Найти высоту CH.

(с) Найти площадь грани ABD.

(d) Найти объем тетраэдра FABC, где F - середина ребра DB.

(43) Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его вершины A, A1, B и D имеют координаты

(1; 2; 0), (−1; 3; 1), (0; 0; −3) и (−3; 4; 0) соответственно.

(a) Найти координаты других вершин параллелепипеда.

(b) Найти точку пересечения диагоналей параллелепипеда.

(с) Найти площадь параллелограмма AB1C1D.

2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]