Лекція 1

Лекція 1.

Предмет, задачі та методи обчислювальної математики. Класифікація чисельних методів. Поняття стійкості та збіжності.

Предметом обчислювальної математики є методи наближеного розв’язання прикладних математичних задач, орієнтовані на комп’ютерну реалізацію (наприклад, на персональному комп’ютері).

Задачі обчислювальної математики:

- статистична обробка експериментальних даних (алгоритми опитування датчиків, відбраковка хибних значень, стиснення інформації, оцінка математичного очікування, кореляційних функцій, спектральних площин та ін.);

- апроксимаційні задачі побудова математичних моделей з використанням методів інтерполяції та апроксимації функцій;

- розв’язання математичних рівнянь, задач оптимізації та керування (чисельне інтегрування та диференціювання, розв’язання операторних та інтегральних рівнянь, чисельне розв’язання задач Коші для звичайних диференційних рівнянь).

Методи обчислювальної математики.

Метод у обчислювальній математиці – це множина алгоритмів зі спільною ідеєю їх побудови.

Розрізняють наступні методи:

- чисельні методи;

- аналітичні;

- чисельно-аналітичні;

- графічні;

- графоаналітичні.

Чисельні методи – методи наближеного або точного розв’язання задач, основані на виконанні кінцевої послідовності дій над кінцевою множиною чисел. Для коректності та справедливості використання чисельних методів необхідне виконання умов їх стійкості та збіжності.

Чисельний метод називається стійким, якщо похибка округлення, пов’язана з реалізацією методу на ЕОМ, залишається обмеженою при заданих межах вхідних величин: при X₀<X<X_m , <₀ де

X - вектор-колонка вхідних величин,

X₀ та X_m - вектор-колонка мінімальних та максимальних значень вхідних величин відповідно,

  - вектор-колонка відповідних похибок округлення вхідних величин,

₀  - вектор-колонка максимальних значень похибок округлення,

і якщо результат численного методу являє собою неперервну функцію від вхідних даних: y=f(x).

Чисельний метод називається збіжним, якщо його результат наближається до точного розв’язку задачі при наближенні параметрів методу до граничних значень.

Аналітичні методи – методи перетворення інформації, представленої в аналітичному вигляді, причому результат отримується також у аналітичному вигляді (наприклад, формула знаходження коренів квадратного рівняння). Використовуються звичайно для розв’язання задач математичного аналізу та містять операції диференціювання, інтегрування, відшукування відрізків рядів, спрощення.

Чисельно-аналітичні методи використовуються для розв’язання складних комплексних задачах. При цьому аналітичні методи застосовуються для спрощення аналітичних виразів, зведення рівняння до заданого канонічного вигляду та ін., а чисельні методи набувають чинності, коли потрібно отримати результат розв’язання у вигляді числа, або на етапі розв’язання стандартних обчислювальних підзадач (наприклад, підпрограма обчислення квадратного кореню, експоненти та ін.).

Графічні та графоаналітичні методи для отримання результатів використовують графічні представлення функцій.