3.8. Эллипс

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса.

Обозначим фокусы F₁, F₂ и расстояние между ними через 2с, т.е. . Выберем декартову систему координат так, чтобы ось 0х прошла через фокусы, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂, (рис. 3.16). Тогда фокусы будут иметь координаты F₁(с, 0), F₂(–с, 0). Обозначим через М(х, у) произвольную точку эллипса. По определению эллипса сумма расстояний есть величина постоянная, обозначим ее через 2а (по условию 2а > 2с, т.е. а > с). В равенстве:

= 2а

выразим расстояния через координаты точкиМ, получим:

Чтобы избавиться от иррациональностей, перенесем один из радикалов в правую часть равенства и возведем обе части в квадрат:

После очевидных преобразований получим:

Возведем еще раз это равенство в квадрат и упростим:

Разделим обе части равенства на :

Поскольку , тои. Пусть, тогда из последнего равенства получим:

(3.18)

– каноническое уравнение эллипса.

Установим форму эллипса, используя его уравнение. В каноническом уравнении (3.18) текущие координаты х, у входят лишь в четных степенях, следовательно, эллипс симметричен относительно осей 0х, 0у и начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка пересечения осей – центром эллипса.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Решая совместно систему уравнений

получим: Следовательно, с осью 0х эллипс пересекается в точках А₁(а, 0), А₂(– а, 0). Аналогично находим, что эллипс пересекается с осью 0у в точках В₁(0, b), В₂(0, –b). Найденные точки называется вершинами эллипса, отрезки А₁А₂, В₁В₂ – большой и малой осями соответственно.

Определим форму эллипса в первой четверти, для этого разрешим уравнение эллипса (3.18) относительно переменной у:

.

Отсюда для первой четверти имеем . При возрастании х от 0 до а переменная у уменьшается от b до 0. Воспользовавшись симметрией эллипса, изобразим его полностью (рис. 3.17).

Заметим, что уравнение притакже задает эллипс, только егофокусы будут расположены на оси 0у и поэтому b – большая полуось, а – малая полуось.

Отношение называетсяэксцентриситетом эллипса и обозначается: ,. Так как , то< 1.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Из формулы получаем:

.

Следовательно, с уменьшениемотношениестремится к 1, т.е.b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

х² + у² = а² .

Пример 3.8. Построить кривую:

9х² + 6у² = 54 .

Решение. Разделим обе части уравнения на 54, получим:

– каноническое уравнение эллипса с малой полуосью а = и большой полуосьюb = 3. Фокусы эллипса лежат на оси 0у. В этом случае , следовательно,, т.е.с = . Фокусы эллипса имеют координаты F₁(0, ),F₂(0, –) (рис. 3.18).

3.9. Гипербола

Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).

Пусть F₁, F₂ – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с,

Выведем уравнение гиперболы. Для этого выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось 0х прошла через фокусы F₁, F₂ (рис. 3.19).

Тогда фокусы F₁, F₂ будут иметь координаты F₁(с, 0), F₂(–с, 0). Обозначим через М(х, у) произвольную точку гиперболы. По определению гиперболы есть величина постоянная. Обозначим ее через 2а (по условию 2а < 2с а < с).

Подставляя в формулу: = 2а вместо |F₁M| и |F₂M| их выражения через координаты получим:

Избавимся от иррациональности так же, как делали в разд. 3.18 для эллипса, в итоге получим:

Поскольку , то. Обозначими подставим в предыдущее равенство:. Разделив обе части на, имеем:

(3.19)

– каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем свойства и начертим гиперболу, используя уравнение (3.19).

Четность степеней х и у в (3.19) указывает на то, что гипербола симметрична относительно осей 0х, 0у и начала координат.

Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, совпадающие в нашем случае с осями координат. В дальнейшем оси симметрии гиперболы будут называться осями гиперболы. Для нахождения точек пересечения с осью 0х решим систему:

Получим: . Следовательно, гипербола пересекает ось 0х в точках: А₁(а, 0), А₂(–а, 0), называемых вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂ называется действительной осью, число а – действительной полуосью. Из системы

получаем: –у² = b² – противоречивое уравнение. Значит, гипербола не имеет пересечения с осью 0у. Отрезок, соединяющий точки В₁(0, b), В₂(0, –b), называется мнимой осью, а число b – мнимой полуосью.

Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти. Для этого разрешим уравнение (3.19) относительно у, получим:

.

Для рассматриваемой части гиперболы х > а и при возрастании х от а до +у возрастает от 0 до +.

Введем вспомогательную прямую и сравним для одних и тех же значений аргументах значения функции и значения ординаты взятой прямой(ординату прямой обозначимY, чтобы отличать от ординат точек гиперболы).

Очевидно, что (если представить), т.е. гипербола в первой четверти располагается ниже прямой(рис. 3.20). Покажем, что при возрастаниих гипербола приближается к прямой как угодно близко. Для этого вычислим разность для одних и тех же значений переменной х:

При неограниченном возрастании х знаменатель дроби неограниченно возрастает, а числитель остается постоянным, поэтому дробь стремится к 0 т.е. точки М₁(х, Y) и М₂(х, у) сближаются как угодно близко.

Из симметрии гиперболы следует, что имеется еще одна прямая, к которой точки гиперболы приближаются неограниченно при стремлениих к –. Прямыеиназываютсяасимптотами гиперболы. Используя симметрию, строим гиперболы (рис. 3.21).

Практический совет. Прежде чем строить гиперболу, постройте ее асимптоты.

Заметим, что уравнение также задает гиперболу, у которой будут те же асимптотыи, ноb – действительная полуось, а а – мнимая полуось, фокусы F₁ и F₂ лежат на оси 0у.

Отношение называетсяэксцентриситетом гиперболы и обозначается , т.е.. Так как, то. Из формулыимеем:,

т.е. .

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы.

При () имеем равнобочную гиперболу, уравнение которой: .

Рассмотрим график функции (или кривую второго порядкаприА = С = D = Е = 0). Перейдем к новым координатам X, Y путем поворота системы координат 0ху на угол /4, получим формулы перехода:

.

Подставим эти х, у в уравнение ху = k:

.

Таким образом, является равнобочной гиперболой, действительная полуось которой приk< 0 лежит на оси 0Y(рис. 3.22), приk> 0 – на оси 0X(рис. 3.23) в новой системе координат 0XY.

Если в уравнении второго порядка:коэффициентыВ= 0,АиС– разных знаков, то после выделения полных квадратов получим уравнение:. ПриТ 0 получаем гиперболу, приТ= 0 – пару прямых. Например, приА = 1,С = –l,Т = 0 имеем:

,

отсюда

.

Следовательно, уравнение

задает две прямые:

.

Пример 3.9.Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 8, а между фокусами – 10. Сделать чертеж.

Решение. ,, отсюда,.

.

Проведем асимптоты: и построим ветви гиперболы (рис. 3.24).