08 Электрическое поле постоянных токов

Лекция № 8

Электрическое поле постоянных токов

1. Уравнения электромагнитного поля постоянных токов

Рассмотрим поле постоянных токов в неподвижных проводниках и проводящих средах. Постоянный ток может протекать только в замкнутой проводящей цепи. Уравнения электромагнитного поля для случая постоянных токов в неподвижной проводящей среде вне источников э.д.с. имеют вид

rotH = j, rotE= 0, divD = divB = 0.
j = E,	B = H,	D= E.	(1)

Условие rotE = 0 свидетельствует, что вне источника э.д.с. электрическое поле постоянных токов является так же, как и электростатическое поле, безвихревым и потенциальным.

Уравнение непрерывности в случае постоянных токов сводится к уравнению divj =0,

которое выражает то, что линии вектора плотности тока в этом случае не имеют ни начала, ни конца. Соотношение (2) называют также первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

Вычислим интеграл jdl , взятый вдоль некоторого замкнутого контура L,

L

совпадающего с замкнутой силовой линией. Если имеется только электростатическое поле E кулоновского происхождения, то плотность тока связана с напряженностью уравнением j = = E, где E=-grad . Тогда

jdl	= Edl grad dl - d 0.			(3)
L	L	L	L

Так как интегрирование в интеграле jdl ведется вдоль линии плотности тока, то элемент

L

пути интегрирования dl в каждой точке параллелен вектору плотности тока. Следовательно, jdl= jdl. C учетом сказанного равенство (3) приобретает вид

jdl = jdl 0.

L L

Подынтегральное выражение на всем пути интегрирования не меняет знака. При таком условии из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения: j=0. Тем самым доказано, что существование постоянного тока при наличии только кулоновских сил электростатического поля невозможно.

Постоянные токи могут существовать только при наличии полей неэлектростатического происхождения. Такие поля существуют в источниках тока - гальванических элементах, аккумуляторах, генераторах. Эти поля, называются сторонними, связанные с этими полями силы, обеспечивающие движение зарядов и возникновение тока, называются сторонними электродвижущими силами (сторонними э.д.с.).

Обобщение закона Ома. Плотность тока обусловливается не только электростатическим полем, но и полем сторонних сил. Поле сторонних сил характеризуется вектором Естор, который определяется как напряженность электрического поля, порождающего такую же плотность электрического поля, какая порождается сторонними силами неэлектростатического происхождения. В связи с этим закон Ома должен быть написан в виде

j = E+Eстор).

(4)

Уравнение (4) называют обобщенным законом Ома в дифференциальной форме. Если от обеих частей уравнения (4) взять интеграл по замкнутому контуру, включающему в себя

Электрическое поле постоянных токов

2

________________________________________________________________________________

источник э.д.с., то будет получен второй закон Кирхгофа, поэтому уравнение (4) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Мощность тепловых потерь в проводнике равна произведению тока и напряжения P=IU. Если рассмотреть в проводящей среде элемент объема dV, то мощность, которая тратится в этом объеме на тепловые потери, будет равна:

dP=dIdU=jdSEdl=jEdV,

откуда

dP jE E2 j2 / . dV

Это и есть дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца.

Мощность тепловых потерь в объеме V можно выразить следующим образом: P E2dV

V

2. Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами

Так как токи в диэлектрике отсутствуют, то следует положить в нем поэтому поле в диэлектрике характеризуется уравнениями:

rotE = 0, divD = 0 D= E.

В случае однородной среды, когда const, эти уравнения дают divE = 0 или =0, т.е. потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.

Таким образом, в самом диэлектрике такое поле ничем не отличается от электростатического. Однако граничные условия на поверхности проводников уже не соответствуют тем, которые имели место в электростатике. В случае электростатической задачи поверхность каждого проводника является поверхностью равного потенциала. Это следует из закона j = E. Математически проводники характеризуются тем, что их проводимость 0, поэтому, если j = 0, то при электростатическом равновесии E=0, т.е. поле в проводнике равно нулю только тогда, когда в нем отсутствуют токи, а заряды находятся в равновесии.

При прохождении по проводнику электрического тока в проводнике возникает падение потенциала, и, следовательно, поверхность проводника уже не будет эквипотенциальной. Линии напряженности электрического поля в диэлектрике подходят к поверхности проводника не под прямым углом, так как на поверхности проводника появляется касательная составляющая напряженности поля в направлении линий тока.

С принципиальной точки зрения, указанное обстоятельство существенно осложняет расчет поля, однако практически во многих случаях его можно не учитывать, так как обычно касательная составляющая напряженности поля много меньше нормальной составляющей. Касательная составляющая может быть определена из выражения Et = j/ . Если принять для медных проводов См/м и j = 5 А/м2, то получим для Et = 0,086 В/м. В случае проводов линии низкого напряжения величина Еn имеет величину порядка 1000 В/м, тогда En/Et > 104. Для линий высокого напряжения эта величина достигает 107.

Полученные цифры показывают, что составляющая Et ничтожно мала по сравнению с En – (Et En), и при рассмотрении поля около проводов ею можно пренебречь без опасения внести этим заметную ошибку. В таком случае граничные условия на поверхности проводников оказываются тождественными условиям в электростатике.

Электрическое поле постоянных токов

3

________________________________________________________________________________

3. Электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде

Внутри проводников, по которым проходит ток, также существует электрическое поле. Внутри проводящей среды вне источников э.д.с. всюду соблюдается условие Edl=0

L

или rotE = 0, что выражает также второй закон Кирхгофа соответственно в интегральной и дифференциальной формах в области, где нет источников э.д.с.

Электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне

источников э.д.с. определяются системой уравнений:
rotE = 0, divj =0,	j = E.	(5)

Эти уравнения вытекают из приведенной в начале лекции системы уравнений (1), причем уравнение divj =0, как уже отмечалось, является следствием уравнения rotH = j, так как divrotH = 0.

При переходе тока через поверхность раздела сред с различными удельными проводимостями направление тока изменяется, если только линии тока не направлены нормально к поверхности раздела. Установим соотношение между углом падения 1и углом преломления 2.

j1

1

j2

2

Из уравнений (5) следуют два граничных условия для касательной составляющей вектора E и нормальной составляющей вектора j:

				E1t=E2t
				j1n=j2n					(6)
Записав эти граничные условия с помощью тригонометрических функций, и приняв
во внимание E j, получим:				E1sin 1= E2sin 2
			1E1cos 1= 2E2cos 2.
Разделив первую строчку на вторую, найдем
	tg 1		tg 2	или	tg 1		1	.	(7)
	1		2		tg 2
							2

Закон преломления линий тока по форме аналогичен закону преломления линий электрического смещения на границе двух диэлектриков и закону преломления линий магнитной индукции на границе двух магнетиков.

Во многих практических случаях мы встречаемся с переходом тока из металлических тел в окружающую среду, удельная проводимость которой во много раз меньше удельной проводимости металла. Такие условия имеют место, например, в случае токов утечки через изоляцию между проводами, находящимися под разными потенциалами. В этом случае отношение удельной проводимости меди к удельной проводимости изоляции имеет порядок 1020. В качестве другого примера можно указать на случай перехода тока в землю через

Электрическое поле постоянных токов

4

________________________________________________________________________________

зарытые в землю металлические электроды. В этом случае отношение удельной проводимости материала заземлителя к удельной проводимости почвы имеет порядок 108.

Во всех этих случаях при рассмотрении поля в среде с малой проводимостью можно пренебречь падением напряжения внутри металлических тел и считать поверхности металлических тел поверхностями равного потенциала.

4. Аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем

Между соотношениями, характеризующими стационарное электрическое поле в проводящей среде, и соотношениями, характеризующими электростатическое поле в диэлектрике, можно провести формальную аналогию.

Электрическое поле	Электростатическое
в проводящей среде	поле
rotE = 0	rotE = 0
B	B
Edl UA UB	Edl UA UB
A	A
j = E	D = 0E
divj = 0	divD = 0
jdS i	DdS q
S	S

Если заменить вектор электрического смещения D вектором плотности тока j, электрический заряд q током i и абсолютную диэлектрическую проницаемость удельной проводимостью , то выражения в левой и правой колонках полностью совпадут

Если условия для вектора j на границе данной проводящей среды с удельной проводимостью совпадают с условиями для вектора D на такой же формы границе диэлектрика с абсолютной диэлектрической проницаемостью , то электрические поля в проводящей среде и в диэлектрике должны быть аналогичны друг другу.

На этом основан так называемый метод электростатической аналогии, позволяющий при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики. Метод электростатической аналогии дает также возможность заменить исследование электростатического поля экспериментальным исследованием поля тока в проводящей среде.

Проще всего удается экспериментально исследовать электрическое поле в проводящей среде. Важно при этом, чтобы при моделировании было соблюдено геометрическое подобие областей, в которых существует поле, а также соблюдены требуемые граничные условия.

Для исследования плоскопараллельных полей используют металлические листы или листы из проводящей бумаги, можно применять также ванну со слабо проводящей жидкостью, в которую погружены электроды.

Формулы для электрической проводимости среды G =i/U, в которой протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости C = q/U тел, так как в аналогичных задачах ток i заменяется зарядом q.

Электрическое поле постоянных токов

5

________________________________________________________________________________

q

DdS 0

EdS

i

jdS

EdS

C

,

G

,

S

S

S

S

UAB

B

B

UAB

B

B

Edl

Edl

Edl

Edl

A

A

A

A

G

.

C 0

Сопротивление заземления. Для осуществления соединения какой-либо точки электрической цепи с землей зарывают в землю металлические проводники, к которым и присоединяют соответствующую точку цепи. При повреждении изоляции одного из фазных проводов возникает ток короткого замыкания, проходящий от мест повреждения через землю и заземлитель к нейтральной точке трансформатора. Электрический ток, проходя через землю, встречает некоторое сопротивление, называемое сопротивлением заземления. По существу это - сопротивление земли, которое встречает ток при растекании от заземлителя. Вдоль поверхности земли создается падение напряжения, которое вблизи от места заземления может достигать опасных для жизни человека значений уже на длине шага человека. Поэтому необходимо уметь вычислить сопротивление растеканию тока в земле при различных конструкциях заземлителей. Формулы для проводимости заземления могут быть написаны на основании метода электростатической аналогии по имеющимся формулам для расчета емкости соответственно расположенных тел.

Часто применяют заземлители в виде труб, забитых вертикально в землю.

l

Пусть l - длина трубы и r - ее радиус. Предположим, что один конец трубы находится у самой поверхности земли. Длина трубы вместе с ее зеркальным отражением равна 2l. Емкость цилиндра, имеющего длину 2l и радиус r при 2l>>r, приближенно равна

C 4 0l . ln 2l

r

Следовательно, проводимость для системы из электрода и его зеркального изображения равна

G 4 l . ln 2l

r

Таким образом, проводимость заземления для электрода в форме вертикальной трубы выражается формулой

G 2 l . ln 2l

r

Электрическое поле постоянных токов

6

________________________________________________________________________________

5. Понятие идеального проводника и идеального изолятора

Уравнение непрерывности divj+ =0 преобразуем следующим образом. Значение

t

объемной плотности возьмем из уравнения Максвелла divD, а плотность тока - из закона Ома j = E. Тогда получаем

div( E	divD	) div( E				E	) 0.	(8)
	t				0 t
Для того чтобы равенство (8) выполнялось, достаточно предположить, что
E E0 exp(				t).
			0

Из уравнения divD видно, что аналогично будет зависеть от времени и плотность заряда

0 exp(		t) 0 exp(	t	).
	0
			M

Величина 0 играет роль характерного для данной среды времени релаксации M (максвелловское время релаксации). Оно равно времени, в течение которого объемный заряд уменьшается в е = 2,71 раза. Значение M изменяется в очень широких пределах. В плохо проводящих веществах (изоляторах) оно может измеряться многими минутами. В металлах вследствие их большой проводимости M равно по порядку величины 10-17 с.

У идеального диэлектрика M = , у идеального проводника M = 0.

Время релаксации Максвелла определяет порядок величины времени, в течение которого восстанавливается стационарность электрических процессов. Чтобы токи можно было считать квазистационарными, характерное время рассматриваемого процесса Т должно быть много больше времени релаксации M

Т >> M.

Если токи изменяются периодически, то под Т следует понимать период колебаний Т = 2 / , где - круговая частота колебаний. Тогда сформулированное выше условие квазистационарности примет вид

M << 1.

Диэлектрик может сохранять заряд достаточно долго, в проводнике же заряды, внесенные внутрь среды, быстро исчезают (релаксируют). Из закона сохранения заряда видно, что если проводник занимает все пространство, то заряды уходят на бесконечность, если же он ограничен диэлектрической средой, то заряды могут задержаться на граничной поверхности между проводником и диэлектриком.

6. Поток энергии в случае провода с постоянным током

Будем рассматривать проводник с током I как уединенный проводящий цилиндр. Воспользуемся законом Ома j= E и найдем напряженность электрического поля на

поверхности проводника (r=a) - E Izo a2 . Из закона полного тока найдем напряженность магнитного поля H Ir 2 a. Вектора напряженности электрического и

магнитного полей взаимно перпендикулярны. Вектор Пойнтинга в произвольной точке на поверхности проводника равен

I2

S E H -ro 2 2a3 .

Электрическое поле постоянных токов

7

________________________________________________________________________________

z0

r r0

Вектор Пойнтинга направлен радиально внутрь проводника, таким образом, энергия внешнего поля «втекает» в проводник. Поток энергии на участке длиной L имеет следующее значение

	2					L
SdΣ	I				2 aL I2			I2R ,
	2	a	3			2
	2					a

где R - сопротивление участка проводника. Это есть мощность тепловых потерь. На основании баланса энергии можно утверждать, что энергия внешнего поля проникает в проводник именно постольку, поскольку она им поглощается. При переходе к идеальному сверхпроводнику ( ) исчезает поглощение, а вместе с ним, как это видно из полученного результата, и поток энергии в проводник.

Рассмотрим постоянный ток, сосредоточенный в ограниченной области пространства. Выбрав какую-либо поверхность , отделяющую область V, вне которой нет тока, из теоремы Пойнтинга получим (изменение энергии электромагнитного поля равно нулю)

[E H]dΣ jEdV .

(9)

V

Будем неограниченно увеличивать объем V, относя поверхность в бесконечность. На достаточно больших расстояниях электрическое поле подобно полю точечного заряда, а магнитное – полю магнитного диполя. Таким образом, поверхностный интеграл в пределе равен нулю и мы получаем

jEdV 0.	(10)
V

Величина интеграла в последнем равенстве не может зависеть от V, если только внутри локализован не весь ток (а именно это мы и предположили вначале). Поэтому в правой части (9) всегда нуль, а отсюда

[E H]dΣ 0	(11)

при условии, что поверхность охватывает весь ток. Полученное равенство выражает важное свойство стационарных полей: поток энергии через поверхность, содержащую внутри себя весь ток, обязательно равен нулю. Можно сказать, что постоянный ток не излучает энергию.

В электростатическом поле также нет движения энергии, так как Н=0 и вектор Пойнтинга в каждой точке пространства равен нулю. Нет потока энергии и в магнитостатическом поле, где Е=0.

Заменим в равенстве (10) плотность тока через напряженность электрического поля

	по закону Ома. При этом получится	j2	dV 0. Отсюда следует, j = 0. Но при отсутствии
	V

тока нет и стационарного электромагнитного поля. Если использовать обобщенный закон

Электрическое поле постоянных токов

8

________________________________________________________________________________

	Ома j = E+Eстор), то получится равенство		j2	dV jEсторdV, показывающее, что
		V		V

постоянный ток (вместе со своим полем) существует лишь при наличии сторонних сил, т.е. источника энергии неэлектромагнитного происхождения.