Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

r	dl	r	dl
I		I
d		d
			B
	B
Рис. 20. 10		Рис. 20. 11

º

Направление B при выбранном направлении тока в проводнике определяется в соответствии с правилом буравчика и указано на рис. 20.10. Вычислим циркуляцию магнитной индукции вдоль контура, совпадающего с линией магнитной индукции, причем направление обхода контура выберем по часовой стрелке. Элемент окруж-

º º

ности d l совпадает в каждой точке по направлению с вектором B . Тогда

º	º	º	º	μ0I	dϕ ,
B	d l	= B dl cos ( B ,	d l	) = B dl = Br dϕ = --------
				2π

º

где dϕ — угол, под которым элемент d l виден из центра окружности. Циркуляция магнитной индукции по всему замкнутому контуру определяется следующим соотношением:

º	º	μ	0	I	2π
					∫ dϕ = μ0I.
B d l		= --------				(20.18)
L		2π			0

Таким образом, в отличие от циркуляции напряженности электростатического поля, циркуляция магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, следовательно, магнитное поле не является потенциальным.

Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции вдоль произвольного контура L, не совпадающего с линией магнитной индукции (рис. 20.11). Учитывая, что dl cos α = r dϕ, можем записать:

º	º		B dl cos α = Br dϕ =			μ0I
B	d l	=				-------- dϕ .
						2π
Интегрируя по углу от 0 до 2π, получаем:
		º	º	2π	μ0I
		B	d l	= ∫	-------- dϕ = μ0I.
					2π

L0

271

Приведенный вывод повторяет результат, полученный в соотношении (20.18). Отметим, что в случаях, изображенных на рис. 20.10 и 20.11, проводник с током пересекал поверхность, ограниченную контуром L. Такой проводник (или ток) называют проводником

(током), сцепленным с контуром.

Рассмотрим, чему будет равна циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток (рис. 20.12). В этом случае весь контур L разбивается на две части —

º

º

L1 и L2. На части контура L1 угол между векторами d l

и

B острый

º

º

cos ( B ,

d l

) > 0

, а на части контура L2 угол между векторами

º

º

º

º

и

тупой

) < 0

. Тогда

d l

B

cos ( B ,

d l

º

º

∫

º

º

+ ∫

º

º

μ0I

∫

μ0I

∫

dϕ =

B

d l

=

B

d l

B

d l

= --------

dϕ – --------

L

L1

L2

2π

ϕ

2π

ϕ

μ0I

(ϕ – ϕ) = 0.

=

--------

2π

Итак, если ток не сцеплен с контуром, то циркуляция магнитной индукции по такому контуру равна нулю.

Если магнитное поле создается системой токов, то из принципа суперпозиции магнитных полей следует, что в правой части (20.18) необходимо будет записать алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром. При этом знак тока определяется в соответствии с выбранным направлением обхода контура. Если направление тока и направление обхода контура согласуются с правилом правого винта, то сила тока берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Если получено положительное значение циркуляции магнитной индукции, то это означает, что угол между направлениями

		L2	L	I2
I	L1		I1	I
	dl	dl			5
	B	I4	I3
		B
Рис. 20. 12			Рис. 20. 13

272

º

магнитной индукции и элемента контура d l является острым. Рисунок 20.13 и выражение (20.19) иллюстрируют правило знаков:

º	º		(I1	– I3 + I4) .
B	d l	= μ0			(20.19)

L

Таким образом, циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром:

º º	n
B d l	= μ0 ∑ Ii сц .	(20.20)

Li = 1

Теорему о циркуляции магнитной индукции называют также

законом полного тока для магнитного поля.

Поскольку циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру в общем случае отлична от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Оно относится к вихревым физическим полям. Вихревой характер поля означает, что его линии магнитной индукции замкнуты сами на себя, а неподвижные «магнитные заряды», создающие такое поле, в природе отсутствуют.

Рассмотрим методику применения закона полного тока для определения магнитной индукции различных полей. Этот закон удобно использовать для расчета магнитной индукции таких магнитных полей, которые создаются симметричными системами токов. В этом случае можно так выбрать контур интегрирования, что циркуляция магнитной индукции поля по нему легко выражается через искомое

º

значение модуля вектора B . Решение задачи о нахождении индукции поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1) исходя из симметрии распределения заданной системы токов в пространстве, необходимо построить линии магнитной индукции

º

поля, т.е. определить направление вектора B в любой точке пространства;

2) выбрать «удобный» замкнутый контур интегрирования, отвечающий следующим требованиям:

а) контур должен проходить через исследуемую точку;

б) длина контура должна быть известна;

в) модуль индукции поля должен быть постоянен в точках всего контура или хотя бы его части;

273

º

г) угол между вектором B и касательной к контуру должен быть известен в любой точке контура (это обеспечивается выполнением п. 1);

3) определить циркуляцию магнитной индукции по выбранному замкнутому контуру:

º º	= B1 ∫	º	º	) dl + B2 ∫		º	º
B d l		cos ( B	, d l			cos ( B , d l		) dl + … +
L	L1				L2
				º	º
		+ Bn ∫ cos ( B			, d l	) dl ,

Ln

где Bi — постоянный модуль магнитной индукции во всех точках части контура li;

4)определить алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром;

5)применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в

пп.3 и 4, с учетом коэффициента пропорциональности μ0.

Пример 20.3. Определим магнитную индукцию поля бесконечно длинного соленоида. Таким термином называется катушка, образованная одинаковыми плотно прилегающими один к другому витками (рис. 20.14), причем длина катушки существенно больше ее диаметра.

Изобразим на рис. 20.15 фрагмент центральной части соленоида, указав направления тока в его витках. Выберем контур интегрирования L, состоящий из четырех участков. Первый участок длиной l1

проведем вдоль оси соленоида. Вблизи оси соленоида магнитное

D

l

D l

Рис. 20. 14

1B1 B2

Рис. 20. 16

B	l1	B
	B
l4		l2
2	l3
	Рис. 20. 15

274

поле можно считать однородным. Здесь линии магнитной индукции параллельны оси, а модуль индукции не изменяется.

Участки контура l2 и l4 проведем так, чтобы они были перпендикулярны линиям магнитной индукции. Замкнем контур участком l3

настолько далеким от оси соленоида, чтобы магнитную индукцию в точках этого участка контура можно было бы принять равной нулю. При таком выборе контура циркуляция магнитной индукции будет отлична от нуля только на участке l1:

º	º		∫ B dl = B l1.
B	d l	=		(20.21)

Ll1

Алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром L, определится числом токов в витках соленоида, расположенных на длине отрезка l1:

n
∑ Ii сц = Inl1 ,	(20.22)

i = 1

где n — число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины. Применим закон полного тока, приравняв выражения (20.21) и (20.22), с учетом коэффициента μ0:

Bl1 = μ0Inl1.

(20.23)

Тогда модуль магнитной индукции в центре бесконечно длинного соленоида на его оси

Bцентр = μ0In.

(20.24)

Найдем модуль магнитной индукции в центре основания бесконечно длинного соленоида. Для этого магнитную индукцию в среднем сечении такого соленоида представим суммой магнитных индукций, создаваемых левой 1 и правой 2 бесконечно длинными половинами соленоида (рис. 20.16): B = B1 + B2. Поскольку B1 = B2 =

= Bоснов, то

	1	μ0In .
Bоснов =	----		(20.25)
	2

20.3.Движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Эффект Холла

Экспериментально обнаружено, что магнитное поле действует на движущиеся в нем частицы, имеющие электрические заряды (см. § 20.1). В соответствии с (20.1), магнитная индукция равна отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного

275

º

поля на заряженную частицу, движущуюся со скоростью v , к произведению заряда на скорость частицы. Если заряженная частица

º

влетает в магнитное поле (рис. 20.17), то сила F , действующая со стороны поля, перпендикулярна скорости частицы и вектору магнит-

º

ной индукции B :

	º	º º		] .	(20.26)
	F	= q[	v , B
º	º º			º	º º	] при
Отсюда следует, что F	↑↑ [ v , B		] при q > 0 и F		↑↓ [ v , B

q < 0.

Эти случаи поясняются с помощью рис. 20.17. Направление силы

º

F согласно (20.26) можно определить по правилу «левой руки»: если расположить кисть левой руки так, чтобы четыре пальца показывали направление скорости частицы, а линии магнитной индукции входили в раскрытую ладонь, то отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы, действующей на положительно заряженную частицу. Если заряд частицы отрицателен, направление силы будет противоположным.

Поскольку сила, действующая на частицу, перпендикулярна ее скорости, ускорение, сообщаемое этой силой, тоже перпендикулярно скорости частицы и является нормальным ускорением. Под действием этой силы траектория частицы будет искривляться.

Из (20.26) следует, что, если заряженная частица влетает в поле вдоль линий магнитной индукции, сила на частицу не действует. Если же частица влетает в поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, то сила, действующая на частицу, является максимальной: F = qvB. Запишем второй закон Ньютона для заряженной частицы, движущейся в магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной

		B	+
		+	v	E	–
		Fм		Fэ
B			+
v
F – +	F	v v0	v0	v v0
Рис. 20. 17			Рис. 20. 18

276

v 2

индукции: F = man, или qvB = m ----- , где m — масса частицы, а R —

R

радиус кривизны траектории. Если поле однородно (B = const), то R является радиусом окружности

R =	mv	(20.27)
	------- .
	qB

Период обращения частицы по этой окружности не зависит от

2πR 2πm

скорости частицы: T = ---------- = ----------- . v qB

Движение частицы в магнитное поле осуществляется с постоянной скоростью, кинетическая энергия частицы не изменяется. Это является следствием того, что сила, действующая на частицу со сто-

роны магнитного поля, не совершает работы ( º º, º ºr ) .

F v F

Если же заряженная частица движется в электрическом и магнитном полях, то в соответствии с (15.5) и (20.26) на нее действует сила

º	º	ºº	] .
FЛ	= q E	+ q[ v B		(20.28)

Эта сила называется силой Лоренца (в честь голландского физика Х.-А. Лоренца, получившего в 1902 г. Нобелевскую премию за исследование влияния магнетизма на процессы излучения). Первое слагаемое выражения (20.28) определяет электрический компонент силы Лоренца, а второе — магнитный.

Рассмотрим некоторые примеры практического использования воздействия магнитного и электрического полей на заряженные частицы. На рис. 20.18 показана схема работы сепаратора частиц, т.е. устройства, разделяющего пучок частиц по их скоростям или энергиям.

В таком устройстве существует область, в которой созданы однородные электрическое и магнитное поля. Векторы напряженности и магнитной индукции этих полей взаимно перпендикулярны. На рисунке вектор магнитной индукции направлен из плоскости чертежа «на нас», а вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости чертежа и направлен вправо. Пусть в сепаратор влетает пучок одинаковых положительно заряженных частиц, имеющих раз-

ные		скорости. Тогда если частицы движутся так, что		º		º	и
				v		B
º		º	, то электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца
v		E

277

направлены в противоположные стороны. При определенном значении модуля скорости v0 эти составляющие равны:

qv0B = qE; v0 = E/B.

Это означает, что все частицы пучка, модули скоростей которых равны v0, пролетают сепаратор, не отклоняясь от своего первона-

чального направления. Частицы пучка, модули скоростей которых больше, чем v0, отклонятся влево. Для них qvB > qE, т.е. магнитная

составляющая силы Лоренца превосходит электрическую составляющую. Остальные частицы отклонятся вправо, так как для них qvB < < qE. Таким образом, на выходе из сепаратора будет получен моноэнергетический пучок частиц, т.е. пучок частиц, обладающих одинаковой кинетической энергией.

Если пучок образован частицами разных масс, то дальнейшее воздействие на него однородного магнитного поля способно разделить частицы по массе. На этом основано действие масс-спектрометра (рис. 20.19).

Пусть пучок частиц, прошедших сепаратор, попадает в однородное магнитное поле, магнитная индукция которого перпендикулярна скорости частиц. Тогда частицы пучка, масса которых равна mi,

будут согласно (20.27) в дальнейшем двигаться по окружности радиусом

	miv
Ri =	--------
	qB .

Чем больше удельный заряд частицы (отношение ее заряда к массе qi/mi), тем меньше радиус её траектории при той же скорости

и индукции магнитного поля. Таким образом, масс-спектрометр позволяет установить состав исследуемого пучка частиц, рассортировав его по значениям удельного заряда.

Воздействие магнитного поля на пучки движущихся частиц приводит иногда к неожиданным экспериментальным результатам. В

v	+ q	(q/m)max	(q/m)min

B

Рис. 20. 19

278

1879 г. американский физик Э.Г. Холл обнаружил эффект, назван-

ный впоследствии его именем. Эффектом Холла называется воз-

никновение в проводнике с током, помещенном в магнитное поле,

разности потенциалов в направлении, перпендикулярном векторам

плотности тока и магнитной индукции.

Для объяснения этого эффекта рассмотрим фрагмент плоского

металлического проводника толщиной b, в котором электрическим

º

полем с напряженностью E ||

создан электрический ток плотностью

º

j

(рис. 20.20, а). При отсутствии магнитного поля свободные элек-

º

троны металла упорядоченно движутся со скоростью u

, направлен-

ной противоположно вектору плотности тока

º

j . Если проводник

поместить в магнитное поле так, что

º

º

, то на электроны будет

B

j

º

действовать магнитная составляющая силы Лоренца

Fм , направле-

ние которой показано на рисунке. Ее действие приведет к попереч-

ному смещению электронов, в результате чего между верхней и ниж-

ней поверхностями проводника появится электрическое поле

разделенных зарядов. Если проводник достаточно тонкий, то возник-

º

шее электрическое поле с напряженностью E

можно считать одно-

родным. Процесс смещения электронов прекратится, когда компен-

сируются силы, действующие на них со стороны магнитного и

электрического полей: euB = eE . В проводнике установится элект-

º

º

º

рическое

поле с

напряженностью

E

= E

|| +

E

(рис. 20.20, б).

Изменение направления напряженности электрического поля в про-

воднике приведет к изменению положения эквипотенциальных плос-

º

костей (эквипотенциальные плоскости перпендикулярны E ). Ранее

такая

плоскость

проходила

через

точки

M

и

N

проводника

Fм

M'

M

– – – – – – – – – –

E

B

E

u

–

j

E

b

E

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

E

N

E

а)

б)

в)

Рис. 20. 20

279

(рис. 20.20, в). Теперь она пройдет через точки M ′ и N. Поэтому между точками M и N возникнет разность потенциалов

ϕN – ϕM = E b = uBb .

Поскольку j = uen, где п — концентрация свободных электронов в металле, то

ϕN – ϕM =	j
	-----	Bb .	(20.29)
	en

Эта разность потенциалов называется холловской разностью потенциалов, ее экспериментальное измерение при заданных размерах проводника и силе тока в нем позволяет определить магнитную индукцию поля, в которое помещен датчик Холла. Это один из основных методов измерения магнитной индукции постоянных магнитных полей.

20.4.Действие магнитного поля на проводник

иконтур с током. Закон Ампера

Cогласно закону, экспериментально установленному Ампером, на элемент dl проводника с током действует в магнитном поле сила (рис. 20.21)

º	= I		º º		,	(20.30)
d F			d l , B

º

где I — сила тока в проводнике; B — магнитная индукция в том

º

месте, где находится элемент d l . Модуль силы (20.30) вычисляется по формуле

dF = IB dl sin α,			(20.31)
º	º
где α — угол между векторами d l	и B . Сила направлена перпен-
	º	и	º
дикулярно плоскости, в которой лежат векторы d l			B .

Соотношение (20.30) представляет математическую запись

закона Ампера: сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на векторное произведение элемента длины проводника на магнитную индукцию поля. Сила, определяемая по (20.30), называется силой Ампера. Направление силы Ампера можно определить по «правилу левой руки».

Hайдем силу взаимодействия двух тонких параллельных бесконечно длинных проводников с токами (рис. 20.22).

Если расстояние между проводниками a, то каждый элемент проводника с током I2 будет находиться в поле, магнитная индукция

280