Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

	–	l		+
		p = q l +q
	–q

а)

–q	+q	E–
–	+
l		r
	б )
Рис. 15. 7

EA E+

A

Рассмотрим применение этого принципа для расчета напряженности поля системы дискретно и непрерывно распределенных зарядов.

Пример 15.2. Для электрического диполя (рис. 15.7, а) введем

электрического дипольного момента º º

понятие вектора : p = q l . Эта величина определяется произведением положительного заряда

º º

диполя q на плечо диполя l . Здесь l — вектор, направленный от отрицательного заряда диполя к положительному, причем l — расстояние между зарядами. Для расчета модуля напряженности поля в любой точке А на оси диполя (рис. 15.7, б) воспользуемся принципом суперпозиции:

1

1

º

=

º

+

º

;

E

= E

– E

= kq -----

– ------------------- .

E

A

E

+

E

–

A

+

–

r 2

(r + l) 2

При условии r >> l последнее равенство приводится к виду EA =

2l

=

2k

p

Поскольку

в

этом примере E

> E

, то

= kq-----

----- .

+

–

r 3

r 3

º

º

º

º

º

º

= 2k

p

.

EA

ÊÊ E

+

EA

ÊÊ p

, поэтому

EA

-----

r 3

Расчет напряженности поля в точках, лежащих на серединном перпендикуляре к оси диполя (рис. 15.8), при том же условии r >> l дает другой результат:

E

=

º

+

º

=

2E

α

α = E

l

q

l

p

D

E

+

E

–

+

sin ---- ≈ E

+

+

--- = k

------

--- =

k ----- .

2

r

r 2 r

r 3

l

Q

dE

–q –

+ +q

z

A

E–

r

R

dEz

EA

ED

D

r

E+

dl, dQ

Рис. 15. 8

Рис. 15. 9

191

	º
º	p	º	º
Однако ED	≠ k -----	, так как ED	↑↓ p .
	r 3

Пример 15.3. Определим напряженность поля, созданного электрическим зарядом Q, непрерывно распределенным по однородному проволочному кольцу радиусом R, на оси кольца в точке А, удаленной на расстояние z от плоскости расположения кольца (рис. 15.9).

Разобьем кольцо на элементарные отрезки длиной d l. Тогда на каждом таком элементе кольца будет находиться элементарный

заряд dQ = τ d l =

Q

dl . Этот электрический заряд создает в точке А

----------

2πR

º

dQ

электрическое поле

напряженностью

d E

, причем

dE =

k -------

=

r 2

dQ

º

º

º

= k

-------------------

. Вектор d E

показан на рис. 15.9. Поскольку EA

= ∫ d E ,

R

2 + z2

то из условия симметрии очевидно, что

EA = ∫ dEz = ∫ dE cos α

z

z

= ∫ dE --- = ∫ dE ------------------------ .

r

R

2 + z2

Окончательно получаем:

dQ

z

2πR

Q

z

Qz

= ∫ k

.EA= ∫ k -------------------

---------------------

---------- -------------------------------- dl =

k-------------------------------- .

R2 + z2 R 2+ z2

0

2πR

2

2 3 ⁄ 2

2

2 3 ⁄ 2

R

+ z

R

+ z

15.4.Работа сил электростатического поля. Разность потенциалов. Потенциал

Силы электростатического взаимодействия являются центральными, а, следовательно, консервативными. Таким образом, электростатическое поле является потенциальным. Определим работу сил электростатического поля, созданного зарядом Q1, по перемещению

точечного заряда Q2 из точки 1 в точку 2 (рис. 15.10).

Элементарная работа сил потенциального поля по перемещению

	º	º		º	º
заряда на расстояние d l :	dA = F	d l	= Q	2E dl cos ( E ,	d l	) =
= Q2E dr . Тогда

192

r2	Q1		1			1
A = Q2 ∫E dr = Q2 ∫ k	------		----		–	----	. (15.10)
	r	2	dr = kQ1Q2 r	1		r
r1						2

Если заряды одноименны, то поле совершает положительную работу по их удалению одного от другого и отрицательную работу по их сближению.

Соотношение (15.10) показывает, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории движения заряда, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Итак, кулоновские силы консервативны, поэтому циркуляция напряженности электростатического

º º

поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю: E d l = 0.

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы электростатическое поле было потенциальным. Тогда справедлива связь работы консервативной силы и изменения потенциальной энергии, т.е. работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии:

dA = – dWпот A = W1 – W2 .

(15.11)

Рассмотрим отношение работы поля по перемещению пробного заряда из одной точки пространства в другую к величине переносимого заряда:

A12		W1 – W2	2
	=			(15.12)
--------		---------------------- = ∫E dr .
Q2		Q2	1

Поскольку полученное отношение не зависит от переносимого заряда и траектории его перемещения, то данная величина может быть принята в качестве характеристики электростатического поля.

Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется отношение работы сил поля по перемещению

	1			E
	dr
	r1
Q1	Q2	dl
		r	2	2

Рис. 15. 10

193

пробного электрического заряда из одной точки в другую к значению этого заряда:

ϕ		– ϕ		A12	W1 – W2
	1		2	= --------	= ---------------------- .
				Q2	Q2

С учетом (15.12) и (15.13) получим

2	º	º	r2
ϕ1 – ϕ2 = ∫	E	d l =	∫ E dr,
1			r1

(15.13)

(15.14)

A12 = (ϕ1 – ϕ2 )Q2 .

(15.15)

Введем теперь понятие потенциала точки электростатического поля. Из (15.13) следует, что ϕ1 = W1 ⁄ Q2 ; ϕ2 = W2 ⁄ Q2 .

Потенциалом точки электростатического поля называется энергетическая характеристика поля, равная отношению потенциальной энергии пробного электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к значению этого заряда.

Ранее было отмечено, что потенциальная энергия — физическая величина, которая определена с точностью до некоторого произвольного значения. Следовательно, потенциал электрического поля также определен с точностью до произвольного значения, поэтому в любой точке пространства можно принять его значение, в частности, равным нулю. Если значение потенциальной энергии и соответственно потенциала в точке 2 принять равными нулю, то потенциал точки 1 согласно (15.14)

2	º	º
ϕ1 = ∫	E	d l ; ( ϕ2	= 0).	(15.16)
1

Таким образом, потенциал любой точки электростатического поля численно равен удельной работе (работе, отнесенной к значению заряда), совершаемой силами поля при перемещении пробного заряда из этой точки в ту точку, в которой потенциал поля условно принят равным нулю. Выбор точки с нулевым потенциалом произволен и определяется удобством решения каждой конкретной задачи. Рассмотрим это на некоторых примерах.

Пример 15.4. Определим потенциал произвольной точки пространства, удаленной на расстояние r от точечного заряда Q (рис. 15.11).

194

Выберем точку, потенциал которой примем равным нулю. Пусть это будет точка, бесконечно удаленная от заряда Q. Поскольку работа по переносу пробного заряда из данной точки в бесконечность не зависит от формы траектории движения, то рассмотрим

такое движение пробного заряда, при котором	º	º
	E	ÊÊd l	(т.е. вдоль

прямой, совпадающей с осью Or).

Тогда при условии ϕ(×) = 0 получаем зависимость потенциала

2	º	º	×
поля точечного заряда от расстояния ϕ = ∫	E	d l	= ∫ E dr =
1			r

×Q

=∫ k -----2

r

r

	Q	. График функции ϕ(r) показан на рис. 15.12.
dr = k	---
	r

Пример 15.5. Рассмотрим электростатическое поле, созданное системой точечных зарядов q1, q2, …, qn . Тогда потенциал произвольной

2 º º

точки пространствa ϕ = ∫ E d l , при этом ϕ2 = 0. Вектор напряжен-

1

º

ности поля E в данной точке рассчитываем по принципу суперпозиции (15.9) и находим искомый потенциал как алгебраическую сумму потен-

2	n	º	º	n 2(ϕ2 = 0)		º	º	n
циалов: ϕ = ∫	∑	Ei d l		= ∑	∫	E	d l	= ∑ ϕi .
1	i = 1			i = 1	1			i = 1

Сформулируем полученный вывод: потенциал поля, созданного в данной точке системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности, т.е.

					n
					ϕ = ∑ ϕi	(15.17)
					i = 1
Q
		r
O				r		1
						~
		Рис. 15. 11					r
					Рис. 15. 12 0
								r

195

При рассмотрении поля, созданного непрерывно распределенным в пространстве зарядом, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1)выделить в объекте элемент заряда d Q, который в условиях данной задачи можно считать точечным;

2)выразить потенциал d ϕ поля этого заряда в рассматриваемой точке;

3) определить потенциал в заданной точке пространства:

n

ϕ = ∑ ϕi или ϕ = ∫ dϕ .

i = 1	Q

15.5. Связь напряженности и потенциала. Градиент скалярного поля

Выясним физический смысл взаимосвязи напряженности (силовой характеристики электростатического поля) и потенциала (энергетической характеристики). Соотношение

2	º	º
ϕ1 = ∫	E	d l ; (ϕ2	= 0)
1

позволяет по заданной зависимости напряженности произвольной точки поля от ее координат найти зависимость потенциала этой точки от координат и, как следствие, рассчитать потенциал поля в любой точке. При этом потенциал произвольной точки поля определяется напряженностью поля на всем пути от этой точки до точки, где значение потенциала условно принято за нуль. Данное соотношение носит название интегральной связи напряженности и потенциала электростатического поля.

	Из соотношения (15.14) следует, что							º	º	= – dϕ . Левая часть
								E	d l
равенства		представляет			собой		скалярное		произведение векторов
º	º	º		º		º	º		º	º
E	= Ex i	+ Ey j	+ Ez k		и	d l	= i dx +		j dy + k dz , поэтому
			º	º
			E	d l	=	Exdx + Eydy +			Ezdz .
Поскольку		бесконечно			малое		приращение			потенциала dϕ =
	∂ϕ	∂ϕ	∂ϕ							º
	------	------	------
=	∂x dx +	∂y dy +	∂z	dz , то для проекций вектора E получаем:
				∂ϕ			∂ϕ			∂ϕ
		Ex = –		------			------			------
				∂x	; Ey = – ∂y ;			Ez = – ∂z .

196

Отсюда следует, что

º	= E	º	+ E		º	º	∂ϕ º	∂ϕ º	∂ϕ º	.
E		i			j	+ E k	= – ------ i	+ ------ j	+ ------ k
	x			y		z	∂x	∂y	∂z

Таким образом,
º	= – grad ϕ .	(15.18)
E

Последнее равенство можно записать иначе — в операторной форме:

								º	º	(15.19)
								E	= – ϕ ,
º	∂	º		∂	º		∂	º	º
где =	-----	i	+	-----	j	+	-----	k	; носит	название оператора
	∂x			∂y			∂z

Гамильтона.

Выражения (15.18) или (15.19) определяют дифференциальную связь напряженности и потенциала электростатического поля. Они позволяют по известной зависимости потенциала от координат определить зависимость напряженности поля от координат и найти напряженность поля в любой точке. Поскольку градиент скалярной функции — это вектор, направленный в сторону ее наибольшего возрастания, то из (15.19) следует, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Поэтому и силовые линии поля направлены в сторону убывания потенциала.

Если известны значения потенциала в различных точках пространства, то через точки с одинаковыми значениями потенциала можно провести поверхности, которые называются эквипотенциальными. Графически представляя электростатическое поле на плоском листе бумаги, будем изображать линии пересечения этих поверхностей с плоскостью листа в виде эквипотенциальных линий (эквипотенциалей). Докажем, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.

Разность потенциалов между	двумя			точками		пространства
	2	º		º
(рис. 15.13) согласно (15.14) ϕ1 – ϕ2 = ∫		E	d l		. Если эти точки при-
	1
	то ϕ1			ϕ2		º
надлежат одной эквипотенциали,			–		= 0,	а вектор d l

направлен вдоль эквипотенциали. Равенство скалярного произведе-

ния	º	º	º	,	º	) =	π / 2. Следова-
	E	d l	нулю возможно лишь при ( E		d l

тельно, соотношение (15.19) позволяет по заданному распределению потенциала поля в пространстве восстановить картину его силовых линий (рис. 15.14).

197

				1	2			3
	= const
2
		dl
		Силовая
1		линия
		E
					1 > 2 > 3
		Рис. 15. 13			Рис. 15. 14

15.6.Теорема Гаусса для электростатического поля

ввакууме

Ранее были введены две физические величины, характеризующие электрическое поле, — напряженность и потенциал. Принцип суперпозиции (15.9) и соотношение (15.17) позволяют рассчитать эти величины для заданной системы зарядов в пространстве независимо одну от другой, а интегральная и дифференциальная связь между ними (15.16) и (15.18) дают возможность определить одну из величин, зная другую. Однако практическое вычисление интегралов (15.9) и (15.16) может быть весьма затруднительным.

Рассмотрим иной метод определения напряженности электростатического поля — метод, основанный на использовании теоремы Гаусса.

Для рассмотрения этой теоремы введем понятие потока вектора напряженности. Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис. 15.15). Назовем элементарным потоком вектора напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности d S величину

º º	º	º	º	,	º
dΦ = E d S	= E dS cos ( E	, d S	) = E dS cos ( E		n ) , (15.20)

S

dS

n

dS

E

Рис. 15. 15

где	º	—	вектор		площади элемента
	d S
поверхности;			º		единичный вектор
			n	—

нормали к поверхности в месте расположения элемента dS. Справедливы соотноше-

º	º	º	=	º	dS = dS .
ния: d S	= n dS ;	d S		n

Малый элемент поверхности d S выбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.

198

Поток вектора напряженности электростатического поля через всю поверхность S находится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

º º
Φ = ∫dΦ = ∫ E d S .	(15.21)

SS

При вычислениях по формуле (15.21) договоримся направлять все

º

векторы n в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, для замкнутой поверхности S в дальнейшем будем счи-

º

тать векторы n внешними нормалями к поверхности, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью.

Из (15.21) следует, что Ф = 0, если во всех точках поверхности S

º

силовые линии поля перпендикулярны векторам n , т.е. «скользят» по поверхности. В то же время поток максимален, если поверхность S расположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.

Вспомним понятие телесного угла. Это часть пространства, ограниченная прямыми, проведенными из одной точки (вершины угла) ко всем точкам замкнутой кривой (рис. 15.16). Мерой телесного угла является отношение площади элемента d Sn , вырезаемого телесным

углом на сфере радиусом r с центром в вершине угла, к квадрату радиуса:

dΩ	dSn	=	dS cos α
	= --------		------------------- .
	r 2		r 2

Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу

радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м2. Такой телесный угол равен 1 стерадиану (обозначается 1 ср). Поскольку пло-

n			n
		dS
r		n0	E
dSn		Q +
		dS

Рис. 15. 16

Рис. 15. 17

199

щадь поверхности всей сферы равна 4πr 2, то телесный угол, опирающийся на всю сферу, равен 4π ср.

Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис. 15.17).

Выделим на этой поверхности элемент площадью d S, «вырезанный» из нее телесным углом dΩ с вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент d S согласно (15.20) в СИ запишем следующим образом:

º		º	Q			º		º		Q
dΦ = E dS cos ( E	,	d S	) = ------------------			dS cos ( E	,	d S	) = ------------ dΩ .
			4πε	0	r 2				4	πε	0

Полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

º º

Q

Q

Q

Q

Φ =

E d S

=

------------

dΩ = ------------

dΩ = ------------

4π = ----

. (15.22)

4

πε

0

4

πε

0

4

πε

0

ε

0

Интегрирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды Q1, Q2, …, Qn , то можно составить систему уравнений:

	º º	Q1
	E1 d S =	------	;
		ε0
	S

…

	º º	Qn
	E n d S =	------	,
		ε0
	S

º

где E i — напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения приведенной выше системы, получаем:

							n
n				n			∑ Qi
	º	º	=		º	º	i = 1	(15.23)
∑	E i	d S		∑	E i	d S	= -------------- .
i = 1 S				S i = 1			ε0

Итак, если электрические заряды находятся внутри замкнутой поверхности, то поток вектора напряженности через эту поверхность пропорционален алгебраической сумме этих зарядов.

Pассмотрим теперь точечный заряд Q > 0, расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис. 15.18).

В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхность S на две части: S1

200