Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

их движении вдоль оси Z. Поскольку минимальное расстояние, на котором скорости молекул остаются неизменными, составляет l , то преобразуем выражение (12.17):

	1		2 l		1	du		1		du
K = –	----6 n v m(u2	– u1 )	-----------2 l	= –	----3 n l v m d-----z		= –	----3	ρ l v	d-----z .

Обозначим произведение постоянных сомножителей в этом выражении через η и назовем его коэффициентом внутреннего трения (динамической вязкостью):

η =	1	ρ l			.
	----		v			(12.18)
	3
Тогда получим
		du
K =		-----		,		(12.19)
		– η dz

т.е. плотность потока импульса молекул, переносимого в каком-то направлении, прямо пропорциональна градиенту скорости частиц в этом направлении. Формула (12.19) была получена французским физиком Ж.Л.-М. Пуазейлем (1799—1869) и называется законом внутреннего трения Пуазейля.

Поскольку перенос импульса молекул из слоя в слой, т.е. изменение импульса молекул каждого выбранного слоя, согласно гипотезе Ньютона, связан с действием силы вязкого трения между слоями молекул, то можно определить эту силу. Вспомним выражение (2.10) второго закона Ньютона, связывающее изменение импульса системы с действием внешних сил на систему:

dp = F d t .

Тогда с учетом (12.17) из выражения (12.19) можно получить:

du
-----	(12.20)
F = η dzdS ,

º

где dS — поверхность, по которой действует сила F. Вектор F направлен вдоль границы слоя, поэтому называется тангенциальной силой. Полученное выражение называется законом Ньютона для внутреннего трения и определяет численные значения двух противоположно направленных сил, с которыми соседние слои молекул действуют один на другой. Поэтому в (12.20) нельзя писать перед правой частью знак минус. Однако сила F считается положительной, если слой молекул ускоряется под действием соседних, и отрицательной, если соседние слои молекул тормозят выделенный слой.

Из (12.20) следует физический смысл коэффициента внутреннего трения: он определяется отношением тангенциальной силы, необходимой для поддержания единичного градиента скорости между

161

двумя слоями, к площади соприкосновения этих слоев. В СИ единицей измерения η является паскаль-секунда: [η] = Паæc. Следовательно, 1 Паæс — это вязкость такой среды, в которой при единичном градиенте скорости возникает касательное напряжение внутреннего тре-

ния, равное 1 Н/м2.

Поскольку η					1			, то с учетом (12.3) получим выражение
				=	----		v
					3 ρ l
для динамической вязкости:
1	ρ				1	=		1			1	=	1				1	.
η = 3		v		---------------------				3 m0n	v		---------------------		3 m0		v		------------------
----							----						----
					2 nSэф						2 nSэф						2 Sэф

Отсюда следует, что коэффициент внутреннего трения не зависит ни от концентрации молекул, ни от плотности вещества, ни от давления.

Поскольку v ~ T , то η ~ T .

Рассмотрим пример ламинарного течения жидкости с постоянной скоростью в цилиндрической трубе (рис. 12.7). Выделим некоторый цилиндрический объем жидкости высотой Н и радиусом r. Его передвижение по трубе обеспечивается разностью давлений p1 и p2, дей-

ствующих со стороны окружающей жидкости. Если движение жидкости на рис. 12.7 осуществляется вверх, то p2 < p1. Поэтому

равнодействующая сил внешнего давления на выделенный элемент

жидкости определится как Fвнеш = (p1 – p2 )S = (p1 – p2 )πr 2 . Внешние слои жидкости, окружающие выделенный объем, тормозят его из-за наличия внутреннего трения в жидкости. Поэтому возникает сила вязкого трения, значение которой определяется в выбранной системе координат ( Y, r), согласно (12.20) с учетом знака:

p2

2r

p1

Y

r

Рис. 12. 7

duy	dS = – η	∂ uy	2πrH .
--------		--------
Fтр = – η dr		∂r

При установившемся течении жидкости с постоянной скоростью силы Fвнеш и Fтр компенсируют

одна другую:

H

(p1	– p2 )πr		∂ uy	2πrH .
		2	= – η ∂r
			--------

Решим полученное дифференциальное уравнение. Для этого разделим переменные:

∂u		p	1 – p	2	r∂r .
	y	= – ------------------
			2ηH

162

После интегрирования получим:

u		p	1 – p2	r 2	+ C .
	y	= – -----------------	2ηH -	-----
				2

Постоянную интегрирования С определим с учетом граничного условия: uy = 0 при r = R, где R —

радиус трубы. Тогда

p1 – p2	R2
C = -----------------2ηH -	-----
	2 .

uy

0 r

Рис. 12. 8

Окончательно получаем выражение для осевой скорости течения жидкости в трубе:

u		=	p	1 – p	2	(R	2	– r 2 ) .
	y		------------------
				4ηH

График этой зависимости изображен на рис. 12.8. Мы получили параболическую зависимость скорости. На рисунке также показаны векторы скорости течения некоторых слоев жидкости. Общий вывод для рассмотренной задачи можно сформулировать так: при ламинарном течении жидкости внешние силы поддерживаются равными касательным силам внутреннего трения, и в среде устанавливается постоянный во времени градиент скорости слоев в направлении, перпендикулярном течению жидкости.

12.5. Связь коэффициентов переноса

Обобщим выведенные соотношения в виде таблицы.

								Т а б л и ц а
Явление	Что переносится				Закон		Коэффициент
Диффузия	Масса				Фика		1
		dρ			dn
							D = ---- l v
		-----			-----
	dM = – D dx dt dS			Φ = – D dx			3
Теплопро-	Энергия				Фурье
водность		dT			dT	1		= Dρc
	dQ = – λ					λ = ---- l v ρc
		------ dt dS			------		V	V
		dx		q	= – λ dx	3
	Импульс				Пуазейля	1		λ
Вязкость		du			du
						η = -- l v ρ = Dρ = -----
	dp = – η	-----	dt dS	K = – η -----		3		cV
		dx
					dz

П р и м е ч а н и е. Напомним, что сV — это удельная теплоемкость.

Неравновесные процессы, рассмотренные нами как явления переноса, связаны с движением молекул. Перенос вещества, энергии и импульса в сплошной среде обусловлен столкновениями молекул.

163

Поэтому законы, описывающие явления переноса, аналогичны один другому по математической форме записи. Коэффициенты в этих законах также оказываются связанными один с другим.

Формулы для коэффициентов переноса показывают, что коэффициенты внутреннего трения и теплопроводности не зависят от давления газа. Это было установлено Максвеллом и в свое время вызвало серьезные трудности в признании молекулярно-кинетической теории газов и ее выводов. Формально все сводится к тому, что в выражениях (12.14) и (12.18) плотность ρ входит и в числитель, и в знаменатель, поскольку средняя длина свободного пробега l обратно пропорциональна плотности. Поэтому коэффициенты переноса η и λ от плотности газа (и его давления) не зависят. Физически это объясняется тем, что для не слишком разреженных газов при неизменной температуре с ростом давления (а следовательно, и плотности) в переносе импульса и энергии принимает участие все большее число молекул. Однако каждая из них за счет уменьшения средней длины свободного пробега переносит меньший импульс упорядоченного движения (при рассмотрении вязкости) или меньшую энергию (при рассмотрении теплопроводности). Поэтому в целом для всей массы газа перенос импульса и энергии не изменяется.

Из приведенной таблицы видно, что по найденным из опыта значениям коэффициента диффузии, теплопроводности или вязкости можно определить остальные коэффициенты переноса.

164

Г л а в а 13

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Пример 13.1. Баллон емкостью V, наполненный воздухом при давлении р и температуре Т, имеет вес F. Вес этого баллона при давлении воздуха р1 и той же температуре равен F1. Найдите значение

универсальной газовой постоянной.

Пусть вес самого баллона равен F0. Тогда массы газа, находяще-

гося

m1 =

в баллоне		при		первом и втором взвешиваниях, равны
F – F0			F1	– F0
----------------	и m2	=	-------------------		. Уравнения состояния идеального газа
g				g

				F – F0			F1	– F0
	для этих двух случаев имеют вид: pV =			--------------	RT и p1V	=	-----------------		RT .
				gμ			gμ
	F – F	1	RT , окончательно получаем: R =			(p – p1)Vgμ
	Откуда (p – p1 )V = -------------					-------------------		------------	.
	gμ						(F	– F1)T

Пример 13.2. Смесь идеальных газов состоит из m1 = 4 кг неона и m2 = 1 кг водорода. Определите удельные теплоемкости смеси газов в изобарном и изохорном процессах.

Рассмотрим изобарный процесс ( p = const). Бесконечно малое количество теплоты δQ, сообщенное смеси в этом процессе, связано с изменением температуры смеси dT соотношением

δQ = cуд pm dT ,

(13.1)

где cуд p — удельная теплоемкость смеси газов при постоянном дав-

лении. Общее количество теплоты, сообщенное системе, распределяется между компонентами смеси:

δQ = δQ1 + δQ2 ,

где δQ1 = cуд p1m1 dT ; Q2 = cуд p2m2 d — количество теплоты, полученное неоном и водородом соответственно. Тогда

δQ = (cуд p1m1 + cуд p2m2 ) dT .

(13.2)

165

Из (13.1) и (13.2) получаем

cуд p(m1 + m2 ) = cуд p1m1 + cуд p2m2 ,

откуда

c

= c

m1

+ c

m2

(13.3)

уд p

уд p1

---------------------

уд p2

--------------------- .

m

1

+ m

2

m

1

+ m

2

Аналогично получаем выражение для удельной теплоемкости смеси в изохорном процессе:

c

= c

m1

+ c

m2

(13.4)

уд V

уд V 1 m--------------------

+ m

-

уд V 2

--------------------- .

1

2

m

1

+ m

2

Учтем, что из соотношений (10.8) и (10.10) следуют выражения для удельных теплоемкостей идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении:

i

R

i + 2

R

c

уд V =

----

---

,

cуд p

=

-----------

---

2 μ

2 μ .

Для смеси получаем:

R

i1

i

2

cуд V

= -----------------------------

------

m1

+

-------

m2

;

(13.5)

2(m1

+ m2)

μ1

μ

2

c

=

R

i

1

+ 2

m

i2

+ 2

.

(13.6)

уд p

2-----------------------------(m1 + m2)

--------------

1

+ -------------- m

2

μ1

μ 2

Поскольку неон — одноатомный газ, то i1 = 3; так как водород — двухатомный газ, то i2 = 5. Подстановка числовых данных задачи дает:

cуд V = 2,58æ103 Дж/(кгæК); cуд p = 3,76æ103 Дж/(кгæК).

Пример 13.3. Кислород находится в сосуде объемом V1 при давлении p1 и температуре T1. В некотором политропном процессе его

объем увеличивается в 2 раза, а давление падает в 4 раза. Определите показатель политропы в данном процессе, массу кислорода, конечную температуру, удельную теплоемкость кислорода в данном процессе, изменение внутренней энергии газа, количество теплоты, сообщаемой газу (или отдаваемой газом) в этом процессе.

В соответствии с уравнением политропного процесса (10.13) можно записать: p1V1n = p2V2n , где n – показатель политропы. Тогда

166

	n	1	p1(2V1 )		n
	p1V1 =	----				, откуда получаем n = 2. Поэтому данный поли-
		4
	тропный процесс описывается уравнением
								pV 2 = const .			(13.7)
										m
	Массу газа определим из уравнения состояния p1V1 =									---	RT1 :
										μ
									p1V1μ
								m =	----------------
									RT1 .		(13.8)
	Конечную			температуру				газа	найдем из уравнения	состояния
		m					p2V2μ
	p2V2 =	---	RT2	: T2	=		----------------	. Подставляя сюда p2 = p1 / 4,		V2 = 2V1 и
		μ					mR
	(13.8), получаем
									1
								T2 =	----		(13.9)
									2 T1 .

Поскольку в соответствии с (10.14) молярная теплоемкость газа в политропном процессе связана с показателем политропы соотношением

c		= c		R	,	(13.10)
	m		mV	– ------------
				n – 1

а удельная теплоемкость газа связана с молярной теплоемкостью

газа выражением c		= c		/ μ, то c		= c		R	. Учтем, что
	уд		m		уд		уд V	– ---------------------
								μ(n – 1)

	i R
c	---- ---
	уд V = 2 μ , число степеней свободы молекулы кислорода i = 5 и в
данном процессе n = 2. Тогда
		5 R	R	3	R
	cуд =	---- ---	---	----	---		(13.11)
		2 μ	– μ	= 2	μ .
	Изменение внутренней энергии			газа	определим из		формулы
						1
(10.5). В нашем случае i = 5,		T = T2 – T1 = –				----
						2 T1 , а масса газа т
определена соотношением (13.8). Окончательно получаем:
			5
	U = –		----				(13.12)
			4 p1V1 .

Количество теплоты, получаемое (отдаваемое) газом определяется выражением Q = cуд m T. Подставим сюда (13.8) и (13.11), получим:

	3	R	p	1V1μ			1			3
	---- ---		----------------				----			----
Q =	2	μ		RT1		–	2	T1	= –	4	p1V1 .	(13.13)

Знак « – » в выражении (13.13) показывает, что в данном политропном процессе количество теплоты отводится от газа.

167

Пример 13.4. Определите КПД цикла, представленного на рис. 13.1, если он совершается одним молем идеального одноатомного газа. Процесс 1-2 описывается линейной зависимостью p(V ), процесс 2-1 — адиабатный. Известны объемы газа в начальном и конечном состояниях V1 и V2 , а также температура газа в начальном

состоянии T1.

Если предположить, что в процессе 1-2 к газу подводится количество теплоты Q12 , то, в соответствии с выражением (11.3), КПД

заданного цикла

η = 1 –		Q21
		------------		= 1 ,
		Q12

поскольку в адиабатном процессе Q21 = 0. Этот вывод противоречит

второму началу термодинамики, согласно которому КПД любого цикла всегда меньше единицы. Следовательно, предположение о том, что на протяжении всего процесса 1-2 к газу подводится некоторое количество теплоты, неверно. На участке 1-0 количество теплоты Q10 подводится к газу, а на участке 0-2 некоторое количество

теплоты Q02 должно отводиться от газа (рис. 13.1). В этом случае

противоречие со вторым началом термодинамики пропадает, и КПД цикла может быть рассчитан по известным соотношениям (11.2) или (11.3).

Определим объем V0. Для этого рассмотрим элементарный процесс на участке 1-2 вблизи точки 0. Запишем уравнение первого начала термодинамики для 1 моля: δQ = cmV dT + p dV , где cmV —

p
p1	1	Q1	Подвод тепла
			Q2
p0		0
			Отвод тепла
p2			2
0	V1	V0	V2	V
		Рис. 13. 1

168

молярная теплоемкость газа в изохорном процессе. Так как δQ = 0 в окрестности точки 0 с объемом V0, то

(cmV dT + p dV)		= 0 .	(13.14)
		V0

Уравнение процесса 1-2 имеет вид p = a + bV, где a и b — постоянные коэффициенты. Учитывая уравнение состояния pV = RT, получаем (a + bV )V = RT, откуда T = (a + bV )V / R. Из последнего выражения

определим dT =	1
	---- (a dV + 2bV dV) . Подставим последнее соотно-
	R
шение в (13.14):
	cmV	(a + 2bV0 ) +			(a + bV0 ) = 0 .
	---------
	R
После преобразований получаем
		V		a	γ	(13.15)
			0	= – ---- ------------ ,
				b	γ + 1

где γ — показатель Пуассона [см. (10.16)]. Коэффициенты a и b определим из системы уравнений

p1	= a + bV1;
p2	= a + bV2,
решив которую получим:
p1V2 – p2V1			p1	– p2
a = --------------------------------V2 – V1		; b =	-------------------		,	(13.16)
			V1	– V2

где p1 = RT1 ⁄ V1 , p2 = RT2 ⁄ V2 . Конечную температуру T2 определим, использовав уравнение Пуассона:

T2 = T1(V1 ⁄ V2 )γ – 1 .

Таким образом, значение объема V0 полностью определено. Другие параметры газа в состоянии «0» легко определяются:

	p0 = a + bV0 ,					(13.17)
	p0V0		a + bV	0
T0 =	------------	=	-------------------		V0 .	(13.18)
	R		R

Коэффициент полезного действия цикла находим по соотношению (11.2).

169

Работа газа за цикл равна сумме работ в процессах 1-2 и 2-1: Aц = = A12 + A21. Для процесса 1-2:

	V2				b	2	2
	A12 = ∫ (a + bV) dV = a(V2			– V1 ) +	----	(V2 – V1 ) .
					2
	V1
	Для адиабатного процесса 2-1:
	A21 = – U21 = – cmV(T1 – T2 ) = cmV(T2 – T1 ) .
	Таким образом
		b	2	2
	Aц = a(V2 – V1 ) +	----	(V2 –	V1 ) + cmV(T2 – T1 ) . (13.19)
		2

Для определения количества теплоты, подводимого на участке 1-0, воспользуемся первым началом термодинамики:

Q10 = U10 + A10 ,

где A10 =

– T1).

	V0		b	2 2
	∫ (a + bV) dV = a(V0	– V1 ) +	----	(V0 – V1 ) ; U10 = cmV(T0 –
			2
	V1

Окончательно

						b	2	2
Q10 = cmV (T0 – T1 ) + a(V0 – V1 ) +						----	(V0	– V1 ) . (13.20)
						2
С учетом (13.19) и (13.20) получаем
			b	2	2
Aц		a(V2 – V1 ) +	----	(V2	– V1 ) + cmV(T2 – T1 )
			2
η = ---------		= --------------------------------------------------------------------------------------------------------------	b					.
Q	10			2	2
		a(V0 – V1 ) +	----	(V0	– V1 ) + cmV (T0 – T1 )
			2

Пример 13.5. Расстояние между стенками сосуда Дьюара L = 5 мм. Оцените давление воздуха между стенками, ниже которого средняя длина свободного пробега молекул газа при температуре t = 20 °C будет больше расстояния между стенками. Диаметр эффективного

сечения молекул воздуха принять равным 3æ10– 8 см.

Для решения задачи воспользуемся соотношением (12.4):

l		kT		kT
	=	4------------2 ------------pπR2	= ---------	2 -----------pπd2 .

Из этой формулы следует, что при уменьшении давления средняя длина свободного пробега молекул возрастает и при некотором пре-

170