Романцов В.П., Романцова И.В., Ткаченко В.В. Сборник задач по Дозиметрии и защите от ионизирующего излучения

Р

а

R

x

dr	r	H

dx

dV

Рис. О.11 к задаче 4.17

Обозначим х + а = у, тогда

qV

H a

qV

H a

ln(y 2

R 2 ) dу

ln у 2 dу

4

4

a

a

q

y

H a

y ln y2

2 y

H a

V

y ln( y2

R2 ) 2 y 2R arctg

4

R

a

a

q

R

2

H a

a

a

2

R

2

25

V

(H a) ln 1

2R arctg

2R arctg

a ln

.

(H a)2

a2

4

R

R

4.18. Элемент объема dV = 2 r dr dx (рис. О.12). Плотность потока

первичных гамма-квантов в точке Р, обусловленная элементом излу-

чающего объема

dV,

с

учетом

поглощения

в

источнике

x

ln(x 2

a 2 )dx x ln(x 2 a 2 ) 2x 2a arctg

25

a

ln x 2 dx x ln x 2 2x .

141

x

qV dV e

r dr dx

x

cos

qV

–

cos ,

где

ли-

d 4 r 2 (a x) 2 2 r 2 (a x)2 e

нейный коэффициент ослабления -квантов в среде, угол видимо-

сти элемента ds из точки Р,

cos

a x

. Полная плотность

(a x) 2

r 2

x

2

2

q

r e a x

(a x)

r

потока в точке Р

V

dx

2

(a x)

2

dr .

2

0

0

r

Сделаем замену переменной: t = x

r 2

(a x)2

, тогда пределы

a x

интегрирования при r = 0 t = x; при r = t = . Запишем

Р

а

d

х

dr

dх

r

dV

Рис. О.12 к задаче 4.18

dt

x

r

a x

, отсюда r dr

r 2 (a x)2

dt .

a x

dr

r

2

(a x)

2

x

qV

a x

1

Тогда

dx e t

r 2 (a x)2

dt

r

2

(a x)

2

2

0

x

142

	q			e	t	dt
=	V	dx					. Второй интеграл (по t) является интегральной
	2				t
		0	x

показательной функцией E1( x)26. Тогда, исходя из свойств интегральных показательных функций,

	qV						qV
			E1( x)dx	qV	E2	(0)		.
				2
2		0					2
4.19. Поверхностный керма-эквивалент kes =									ke	, где ke	об-
									Sбок.

щий керма-эквивалент, Sбок. – площадь боковой поверхности цилиндра, Sбок. = 2 R H. Тогда, согласно формулам (4.1) и (4.19),

						ke
	K a = 4 ГК (qs	Аs) = 4 ГК Аs arctg1 =	4 kes		=		=
				4		2 R H

=0,314 Гр/с.

4.20.As = 7,15 107 Бк/м2; m = 9,23 мг.

4.21.а) 2,6 10-12 Зв; б) 6,8 10-12 Зв (бесконечное полупространство – воздух, плотность потока находится по формуле (4.22), линейный коэффициент поглощения en для воздуха в табл. П.9).

4.22.1 мкЗв.

4.23.а) 0,23 мГр/ч; б) 0,56 мГр/ч – с учетом многократно рассе-

янного -излучения в воде.

4.24. Плотность потока, создаваемая излучением боковой поверхности цилиндра, может быть найдено по формуле (4.15). Эллиптический интеграл F( ,k) находится из табл. П.37 для углов

= arctg	H	400;	k = arcsin	2 r R			= 600.
	r R			r R

Тогда F(k = 600; = 400) = 0,7436. Мощность воздушной кермы,

	обусловленная				излучением			боковой поверхности цилиндра,
		e	y
	26 En(x) = x n 1				dy = En 1 ( y)dy интегральные показательные функции. В
		y		n
	x						x
					e	y
	частности, E1(x) =						dy , а значения E2(0) = E1 ( y)dy = = 1; E2( ) = 0. Функ-
				x		y		0

ции Е1(х), Е2(х) являются табулированными.

143

		As R
	K a,бок. = 4 ГК		0,7436, где As – поверхностная активность.
		2(r R)

Мощность воздушной кермы, обусловленная излучением дна цилиндра, вычисляется по формуле (4.14). Поверхностная активность Аs, обусловленная излучением дна и стенок, составляет Аs 1,5 1010 Бк/м2.

4.25.0,22 мг.

4.26.0,47 нГр/ч.

5.1.= ln5/d 1,6 см-1; 0,53 МэВ (табл. П.8).

5.2.2,84.

5.3.Представим кратность ослабления в виде k = l 10m, где l = 1,

m = 3.	Тогда, согласно формуле (5.17), толщина защиты
d =	(Pb, ε		= 0,662 МэВ) 73,7 г/см2	(табл. П.23), что с учетом
1000

плотности свинца (табл. П.3) составляет 6,5 см. Чтобы решить задачу по универсальным таблицам, необходимо учесть поправку на барьерность D (табл. П.23), т.е. кратность ослабления kбар = 1000, которая задана для барьерной геометрии, нужно преобразовать в k для бесконечной геометрии k = 103 0,984 = 984. Для этого значения k из табл. П.29 находим d = 6,5 см.

5.4.73,1 см.

5.5.22,2 см.

5.6.а) 14,1 см по слоям ослабления; б) 13,8 см по универсальным таблицам.

5.7 Кратность ослабления k = 2 103. Если известна величина слоя десятичного ослабления 1/10, то кратность ослабления можно рассчитать из соотношения k = 10n, где n – число слоев десятичного ослабления: 2 103 = 10n, откуда n = lg2 103. Таким образом, толщи-

на защиты d = 1/10 n = 66 см.

5.8. Представим исходные данные в виде табл. О.1. В соответствии с определением керма-эквивалента (формула (2.37)) вклад рi

каждой -линии в керма-эквивалент составит рi =	ГK,i		ГK,i	.
	5
		1
	ГK,i
	i 1

Парциальная кратность ослабления -излучения i-й энергетической группы равна ki = k ni, т.е. k1 = 0,5 103 = 500 и т.д.

144

Таблица О.1

		ГК,i,	pi =		ГK,i
i, МэВ				5			ki = k pi	di, см	1/2, см
		аГр м2/(с Бк)		ГK,i
				i 1
0,1		0,5	0,5				500	76
0,2		0,2	0,2				200	80
0,4		0,1	0,1				100	83
0,8	(к)	0,1	0,1				100	98	11
1,0	(г)	0,1	0,1				100	105	12

По универсальным таблицам (табл. П.26) и полученным парциальным кратностям ослабления находим необходимые толщины защиты di для каждой линии. Из полученных данных видно, что главная линия – это линия с энергией ε5 = 1 МэВ, конкурирующая с энергией ε4 = 0,8 МэВ. Разность между толщинами защиты для главной и конкурирующей линий составит = dгл – dк = 105 – 98 = = 7 см.

По таблице П.26 определяются слои половинного ослабления главной и конкурирующей линий. Слой 1/2 для толщины d1 = 98 см, ослабляющей излучение в 100 раз, находится следующим образом: сначала по табл. П.26 определяется, какая толщина защиты требуется для ослабления излучения в k = 200 раз: d2 = 109 см; далее из толщины d2, ослабляющей излучение в 200 раз, вычитается толщина защиты d1, ослабляющая излучение в 100 раз, – это и будет слой половинного ослабления 1/2, ослабляющий излучение в два раза именно на этой толщине (d = 98 см). Таким образом, слой половинного ослабления конкурирующей линии 1/2к = d2 d1 = 109 –98 = = 11 см. Аналогично находится 1/2 для главной линии с ε5 = 1 МэВ:

1/2Г = 117 – 105 = 12 см.

Окончательная толщина защиты определяется по формуле

(5.11), поскольку значение 1/2max (12 см) больше разности (7 см) между толщинами защит для главной и конкурирующей линий.

Таким образом, искомая толщина защиты d = 110 см.

5.9.Для k = 25 d = 9,8 см; для k = 103 d = 22 см.

5.10.d = 69,7 см. Главная линия – с энергией 1,25 МэВ, конкурирующая – 0,835 МэВ. При решении необходимо использовать линей-

145

ную интерполяцию для нахождения толщины защиты по табл. П.27. 5.11. Мощность воздушной кермы за защитой определяется по

формуле (5.2), где G0 – мощность воздушной кермы без защиты (формула (2.32)). Используя данные табл. П.8 и П.25, получим K a =

= 0,37 мкГр/с (при определении фактора накопления для d = 2,57 данные табл. П.25 необходимо интерполировать).

	e d
5.12. Из формулы (5.2) следует, что В =		, где k – кратность
	k

ослабления. Толщина d находится из универсальных табл. П.26. Тогда В 6,8, с учетом барьерности Вбар. = 5,1. Фактор накопления, рассчитанный по формуле (5.3) (коэффициенты А, 1, 2 в табл. П.24), B( d) = 7,72; Вбар. = 5,8 (поправка на барьерность в табл. П.23). Отличие полученных результатов составляет ~ 12 %, что приемлемо при проведении расчетов по формуле (5.3).

5.13. В 1,6 для -квантов с энергией 2 МэВ; В 3,3 для энергии 0,5 МэВ (с учетом поправки на барьерность, табл. П.23). Начиная с энергии -квантов 0,06 МэВ в алюминии преобладает процесс когерентного рассеяния, т.е. процессы поглощения -квантов практически отсутствуют, фотоэффект уже закончился, а процесс образования пар еще не начинается. Поэтому в этой области энергий фактор накопления имеет такую же зависимость от энергии, как и сечение комптоновского рассеяния (уменьшается с ростом энергии-кванта).

5.14.а) по универсальным таблицам (П.28) k = 2, kбар. = 2,26; б) по формуле (5.18) для однослойной защиты, с использованием табл. П.8, П.25 и П.23, k = 2,23.

5.15.d 23 см. Поскольку нуклид 59Fe имеет несколько -линий,

задача решается методом конкурирующих линий. Толщины di, необходимые для ослабления каждой i-ой линии, находятся по табл. П.29; для линий, имеющих небольшой вклад в дозу, толщина определяется приблизительно, т.к. слабые линии (по вкладу) обычно не участвуют в определении толщины защиты.

5.16.7,2 см.

5.17.54 см.

5.18.2,95 см.

5.19.По универсальным таблицам (табл. П.29) для защиты из

свинца толщиной 3,6 см и энергии -квантов 0,662 МэВ находится

146

кратность ослабления, обеспечивающая допустимые уровни облучения персонала: k = 40. В новых условиях кратность ослабления составит 80, что может быть обусловлено (табл. П. 29) толщиной d2 = 4,2 см. Таким образом, защиту нужно увеличить на

d = 0,6 см.

5.20.Толщину защиты изменять не нужно.

5.21.По универсальной табл. П.27 видно, что слой бетона 31 см ослабляет излучение с энергией 0,662 МэВ примерно в двадцать

раз	(с учетом барьерности кратность ослабления 24,5), т.е.
без		манипулятора мощность воздушной кермы составляла
			A Г K			1	, что соответствовало безопасной работе операто-
K a1		(0,6)		2		24,5

ра. Если нет никакой защиты, а оператор находится на расстоянии

			A Г K
от источника 3 м, то	K a2		3	2	. Видно, что	Ka1	> Ka2	, поэтому

использование манипулятора позволяет без всякой защиты обеспечить безопасные условия работы оператора.

5.22.8,4 см.

5.23.4,3 см.

5.24.12,2 см.

5.25.а) 17,5 см; б) 9,4 см.

5.26.12,3 (используются формулы (5.18) и (5.6), табл. П.8 и

П.25).

5.27.а) 4,15 по формуле (5.5); б) 3,15 по формуле (5.8). Отличие

результатов составляет 30 %, что показывает на необходимость учета процессов, происходящих на границе при переходе излучения из легкой среды в тяжелую.

5.28.а) 4,72 по формуле (5.5); б) 4,93 по формуле (5.8). Отличие результатов 7,3 %, что существенно меньше полученного отличия

впредыдущей задаче 5.27, т.е. видно, что при переходе из тяжелого вещества в легкое граничные эффекты незначительны (см. рис. 5.4).

5.29.44 нГр/ч (используются формулы (5.2) и (2.38)).

5.30.58,3.

5.31.а) для защиты вода-железо В = 8,34; б) для защиты железовода В = 11,2 (учтены поправки на барьерность защиты).

5.32.3,62 ч/нед.

5.33.55 см.

5.34.Допустимые условия работы не выполняются.

147

5.35. 52,7 см.

6.1.220 см.

6.2.Прохождение нейтронов через слой вещ ества толщиной х

описывается формулой (6.2), откуда кратность ослабления k e x . Макроскопическое сечение взаимодействия кадмия находится по формуле (2.8); физические характеристики Cd (плотность, атомная

масса)		приведены			в	табл.		П.2,	тогда
	2520 10 24 см 2		6,023	10	23 8,648 г/см 3
Cd=							=116,8 см-1; k = 1,18 105.
			112,4	г

В задаче учтено, что основным процессом взаимодействия тепловых нейтронов с кадмием является радиационный захват.

6.3.0,98 мм.

6.4.Допустимая плотнос ть потока ДППп е р с ( те пл., ИЗО) =

=990 нейтр/(см2 с) (табл. П.17). Необходимая кратность ослабле-

ния k e x = 109/990, откуда d = 0,118 см.

6.5.Чтобы рассчитать макроскопическое сечение по формуле (6.3), нужно определить концентрацию ядер углерода и водорода в

1 см3 полиэтилена. В 14 г полиэтилена содержится 6,023 1023 молекул полиэтилена, тогда в m г полиэтилена, соответствующих 1 см3

	N A		0,92 г см3 6,023 1023		3,96 10	22	3
будет х =	M	=		=			мол/см ,
			14 г

(см. табл. П.3). Число молекул углерода в 1 см3 совпадает с числом молекул СН2 в 1 см3, а число молекул водорода будет в два раза больше, отсюда макроскопическое сечение = С х + Н 2х =

=(1,4 10-24 см2 3,96 1022 см-3 + 0,7 10-24 см2 2 3,96 1022 см-3) 0,11 см-1.

6.6.Макроскопическое сечение для воды вычисляется по фор-

	муле (6.3). Тогда толщина водной защиты d =	1	ln		165 см.
				ДПП

6.7.87,8 см.

6.8.Длина релаксации нейтронов спектра деления для слоя воды толщиной 100 см находится из табл. П.30 (длина релаксации берется для барьерной геометрии). С учетом зависимости длины релаксации от толщины защиты кратность ослабления, согласно форму-

148

	di		30		30		40
ле (6.6), k = e i Li		e7,6			9,1		10,6 = 6,1 104.

6.9. В таблице П.31 даны длины релаксации для моноэнергетических нейтронов в полиэтилене, имеющем толщину d 69 г/см2, или, разделив на плотность, d 75 см. Поскольку рассматривается плотность потока на расстоянии 60 см, т.е. меньшем, чем 75 см, можно использовать значение длины релаксации, представленное в таблице, L = 12,8 г/см2 . Коэффициент f, характеризующий отклонение от экспоненциальной формы кривой ослабления плотности потока нейтронов на начальных расстояниях от источника, находится из табл. П.32. Тогда, в соответствии с формулой (6.6)

φ= 74 нейтр./(см2 с).

6.10.Плотность потока нейтронов с εn > 1,5 МэВ без учета коэффициента f занижается в 5,4 раза (табл. П.32).

6.11.13,6 1/(см2 с).

6.12.580 1/(см2 с) .

6.13.Из таблицы П.33 видно, что в спектре нейтронов деления (спектр спонтанного деления 252Cf практически совпадает со спектром

деления 235U тепловыми нейтронами) вклад нейтронов с энергией εn > 2 МэВ составляет ~ 42,4 %. Таким образом, на защиту падает поток нейтронов с энергией εn > 2 МэВ, равный 0 = 7 106 0,424 нейтр./(см2 с). Плотность потока нейтронов с энергией εn > 2 МэВ за защитой соста-

di

вит = 0 e i Li = 125 нейтр./(см2 с) (длина релаксации – в табл. П.30 для барьерной геометрии).

6.14.28,4 см.

6.15.980.

6.16.В водородсодержащей среде на глубине 20 см и более устанавливается практически равновесное энергетическое распределение нейтронов, поэтому плотность потока тепловых нейтронов будет пропорциональна мощности поглощенной дозы быстрых нейтронов. С учетом этого и в соответствии с формулой (6.8) мож-

но записать		e выв t . Отсюда			1	ln	0	= 0,161 см-1. Микро-
	0		выв		t

скопическое сечение выведения можно найти из формулы (2.8), используя данные табл. П.2: = 1,9 б.

6.17. а). Плотность потока нейтронов точечного источника в

149

воде на расстоянии r от источника описывается формулой (6.5)

r

1 = 0 e L ; в данном случае 0 – плотность потока без защиты

на расстоянии 1 м от источника; L – длина релаксации нейтронов спектра деления в воде.

Поскольку длина диффузии тепловых нейтронов в воде (~ 2,5 см) значительно меньше длины релаксации быстрых нейтронов, можно полагать, что на больших расстояниях от источника плотность потока тепловых нейтронов убывает пропорционально (линейно) плотности потока быстрых нейтронов. Практически это означает, что мы можем на больших расстояниях от источника вместо функции убывания для быстрых нейтронов использовать функцию убывания тепловых нейтронов, т.е. б.н. const т.н..

б). Если вблизи точечного источника находится воздушный зазор толщиной t, то плотность потока быстрых нейтронов в воде на

			e	(r t )
расстоянии r от источника равна		0		L	(обозначения те же).
1

в). Если вблизи источника находится железная пластина толщиной t, плотность потока быстрых нейтронов в воде на расстоянии r

от источника находится по формуле (6.8)		e выв t .
2	1

Концепция сечения выведения может быть применена в случае, когда толщина водородсодержащей защиты достаточно велика (2 - 3 L); в данном случае толщина воды после введения пластины составляет 95 см, что значительно больше 30 см (3L). Запишем со-

e

r

t

t

0

L

выв

отношение

1

e

L ,

откуда находится

2

r t

0

e

L e выв t

ln

0

t

макроскопическое сечение выведения Pb

=

L

= 0,116 см-1.

выв

t

6.18. Вычислив макроскопические сечения выведения по формуле (2.8) и используя свойство аддитивности сечения выведения, можно записать мощность дозы за несколькими слоями защиты

		3
Dсмеси D0 e		( i di )	, где	D0 – мощность дозы в точке детектирва-
		i 1
				150