7. Неперервність функцій. Класифікація точок розриву.

Нехай функція y f Означення. Функція існує границя цієї функції

точці, тобто

x	визначена в точці	x0 та деякому її околі.
y f x називається неперервною у точці x0			, якщо
при	x x0 , яка дорівнює значенню функції в цій
	lim f x f x0 .	(1.4)
	x x
	0

Оскільки	lim x x0	, тоді останню рівність можна записати у вигляді
	x x					0
	0
		lim f x f		lim x		f x . (1.5)
		x x		x x
		0		0
Це означає, що при знаходженні границі від неперервної функції f x

можна перейти до границі під знаком функції, тобто у функцію

f x

замість

аргументу	x	підставити його	граничне значення	x0 . Цей факт уже
застосовували в п. 4.
Враховуючи 4-ту властивість границь (п. 4), можна сказати, що функція
y f x буде неперервною у точці x0 , якщо існують скінченні односторонні
границі цієї функції при x x0 ,			які рівні між собою та дорівнюють значенню
функції в цій точці, тобто

a;

без

f (x0 0) f (x0 ) f (x0		0) або	A		A			f x0	.	(1.6)
Означення. Функція	y f x	називається				неперервною				на інтервалі
b , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Сформулюємо декілька теорем про неперервні функції, які приймемо доведення.

Теорема 1. Сума, добуток і частка двох неперервних у точці x0 функцій

є неперервною функцією (для частки за виключенням тих значень аргументу, за

яких знаменник дорівнює нулю).

Теорема 2. Нехай функція u g x неперервна у т. x0 , а функція

y f u

неперервна у т.

неперервна у т. x0 . Теорема 3. Будь-яка

своєї області визначення.

0	0	, тоді складна функція
u	g x		y f		g		x

елементарна функція неперервна у кожній точці

10

Означення. Точки, у яких порушується
називаються точками розриву цієї функції.
Якщо	x x0	— точка розриву функції	y

виконується хоча б одна з умов неперервності функції, а) функція визначена в околі точки x0 , але не

неперервність функції,

f x , тоді в ній не

а саме:

визначена у самій точці

x0

;

при

x

lim

x x0

б) функція визначена в точці	x0
x x0 ;
в) функція визначена у точці	x0
x0 , але ця границя не дорівнює
f x f x0 .

та її околі, але не існує границі

та її околі, існує границя	f x
значенню функції у точці	x0 ,

	f x
	при

тобто

Усі точки розриву функції поділяються на точки розриву першого та

другого роду.

f x ,

Означення. Точка

x0

називається точкою розриву першого роду функції

якщо

у цій

точці

існують

обидві

односторонні

границі,

які є

скінченними,

тобто

lim

f

x

і

lim

f x A

, але

, або

A

A A

x x 0

x x 0

0

0

A

A

f x0

.

Отже, в точці розриву першого роду порушується рівність (1.6).

Причому, якщо

A

A

f x0

,

то

точка

x0

називається

точкою

, то точка x0

називається точкою скінченного

усувного розриву. Якщо ж A

A

розриву, а величину

A

A

називають стрибком функції у точці розриву

першого роду (рис. 1.2).

Означення. Точка x0

називається точкою розриву другого роду функції

y f x , якщо хоча б одна з однобічних границь у цій точці не існує або

дорівнює нескінченності.

Приклад. Дослідити точок розриву:

а)	f x
	x

Розв’язання.

задані функції

	1	;	б)
	4

на

y

неперервність і визначити типи

cos x, x 0
x	.
3x 1, x 0

		1
	а) Функція	f x		є елементарною, яка за теоремою 3 неперервна
			x 4
у	кожній точці	її області визначення			D f ; 4 4; . У точці
x0	4 функція не визначена,			тому дослідимо цю точку на розрив. Для цього
знайдемо однобічні границі у цій точці.

11

	lim	1	, lim	1	.
		x 4		x 4
	x 4 0		x 4 0

Рис. 1.3

Отже точка

x	4
0

є точкою розриву другого роду функції

f x

(рис. 1.3), оскільки обидві однобічні границі дорівнюють нескінченності, хоча достатньо, щоб хоча б одна з них дорівнювала нескінченності. Крім того,

lim x

x

1

0 . 4

б) Функція

y x

складається з двох елементарних функцій, областю

визначення кожної з яких є множина всіх дійсних чисел, тому можливою точкою розриву є точка зміни завдання функції x0 0 . Дослідимо цю точку на

неперервність:

lim cos x 1,	lim 3x 1 1,
x 0	x 0

f

0 cos0

1

.

Обидві однобічні границі існують і скінчені, собою. Отже точка x0 0 є точкою розриву першого 1.4), а саме точкою скінченого розриву.

але не дорівнюють між роду функції y x (рис.

12

Рис. 1.4

§ 2. Елементи диференціального числення

1. Означення похідної . Геометричний

та економічний зміст похідної.

x0y

Нехай функція		y f
a;b	придамо приріст
f x0 x f x0 .

Означення. Похідною

x	визначена на інтервалі			a;b . Аргументу
x	і	знайдемо	відповідний	приріст функції
функції		y f x	у точці x0 називається границя

відношення приросту функції до приросту аргументу, нуля, за умови, що ця границя існує.

		y			f x	x f
					0
y lim			або	y lim
		x				x
	x 0			x 0
Якщо функція y f x				має похідну в точці

коли останній прямує до

x
0			(2.1)
x0	, то вона називається

диференційованою в цій точці, а операція знаходження похідної функції називається диференціюванням.

З’ясуємо геометричний зміст похідної функції (рис. 2.1).

13

Рис. 2.1.
Проведемо дотичну до графіку неперервної функції	y f x у точці	x0	,

у якій функція має похідну. Як відомо, рівняння прямої на площині можна

записати у вигляді	y kx b , де коефіцієнт k	дорівнює тангенсу кута нахилу
дотичної, тобто	k tg . Проведемо	через точки	M0 x0 ; y0	і
M x0 x; y0 y	пряму, яка є січною для графіку функції. Тоді тангенс кута
нахилу січної M	0 M дорівнює кутовому коефіцієнту рівняння січної та може

бути обчислений за формулою:

		k	c
Якщо	x 0	, то приріст

	tg	y	.
		x

функції y

(2.2)

також прямує до нуля завдяки

неперервності функції. Отже точка M			необмежено наближується до точки				M 0	,
а січна M 0 M	переходить	у дотичну та кут .				Таким чином, кутовий
коефіцієнт дотичної у т. M 0		дорівнює похідній функції				y f x у точці x0	:
	k tg lim		y		x0 .	(2.3)
			x	y
		x 0

З’ясуємо економічний зміст похідної функції.
1. Нехай	підприємство виробляє однорідну продукцію. Тоді витрати
підприємства є	функцією обсягу виробництва	y f (x) . Якщо кількість

продукції

y f x

змінилась

x f x .

на	x , то витрати

Отже, відношення y

x

		виробництва зміняться на
		f x x f x	– середній
		x

приріст витрат виробництва на одиницю продукції. Якщо в цій рівності перейти до границі при x 0

	y lim	f x x f x	, (2.4)
		x
	x 0

то отримаємо граничні витрати виробництва при заданому обсязі виробництва

x

.

2. Розглянемо залежність собівартості виробленої продукції від її обсягу. Тоді гранична собівартість характеризує відношення приросту собівартості до приросту обсягу продукції при малій зміні останнього.

Як бачимо, граничні величини характеризують процес зміни економічного об’єкту. Отже, похідна – це швидкість перебігу деякого економічного процесу у часі або відносно іншого досліджуваного фактору.

Застосування диференціального числення до дослідження економічних об’єктів та процесів на основі граничних величин отримало назву граничного (маржинального) аналізу. Суть маржинального аналізу полягає в аналізі

14