співвідношення обсягу продажів (випуску продукції), собівартості та прибутку на основі прогнозування рівня цих величин при заданих обмеженнях.

2. Правила диференціювання.

Нехай інтервалі a;b

функції

.

u u x

і

v

v x

є диференційованими на деякому

1. Похідна суми (різниці) цих функцій:

двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних

			(2.5)
u v	u	v

2. Похідна добутку двох функцій функції на незмінну другу плюс добуток першу:

	u v
u v

дорівнює добутку похідної першої похідної другої функції на незміну

	(2.6)
u v

3. Сталий множник

C

можна виносити за знак похідної:

C u

C u

(2.7)

4. Похідна частки двох функцій дорівнює:

u v uv

u

(2.8)

v

2

v

5.

Нехай

функція

u g x

диференційована

у точці

x0 , а

функція

y f u

диференційована

у

точці

u0

g x0

,

тоді

складна

функція

y f g x диференційована у точці

x0

і

x0

.

(2.9)

y x0 f

u0 g

6.

Якщо

функція

y f

x

строго

монотонна, диференційована та

f x 0

на

інтервалі

a;b , то

обернена

функція

x g y

також

диференційована, причому

1

або

y

1

(2.10)

xy

y

g

f x

x

3. Таблиця похідних функцій однієї змінної.

Використовуючи означення та властивості похідної можна отримати наступну таблицю похідних для таких функцій.

1.

	0,
C

C

const

,

2.

x			x	1	,

const

,

x

x

x

x

1

1

a

e

3.

a

ln a,

e ,

4.

loga x

,

ln x

,

x ln a

x

5.

sin x cos x ,

6.

cos x sin x ,

15

7.				1			,
	tg x				2
			cos				x
9.							1
	arcsin x						1 x
11.							1
		arctg x				1 x
							2
13.			ch x ,
		sh x
15.				1			,
		th x				2
			ch				x

2

,

,

					1			,
8. ctg x						2
			sin					x
10.								1
	arccos x							1 x
									2
12.								1	,
	arcctg x
							1 x
								2
14.		sh x ,
	ch x
16.						1		.
	cth x						2
					sh			x

,

В останніх чотирьох формулах записані похідні так званих гіперболічних функцій, які визначаються за такими формулами:

ex e x

ex

e x

sh x

ch x

sh x

,ch x

, th x

,cth x

,

2

2

ch x

sh x

і називаються гіперболічним

синусом

sh x , гіперболічним

косинусом

гіперболічним тангенсом th x

та гіперболічним котангенсом cth x .

Приклади. Знайти похідні таких функцій:

ch

x

,

а)	y x x tg 2x , б)
Розв’язання.
а)	Запишемо функцію

	y sin	x	3	1 log
		4			2

у спрощеному

x ,

виді

в) y		arctg
			1 4
y x	3/2		tg

2x

x2

2x

.

. Отже ця

функція представляє собою суму двох доданків, тому для знаходження похідної застосуємо формулу (2.5). Похідна першого доданку, як простої функції, знаходиться за таблицею похідних, а для отримання похідної другого доданку потрібно застосувати формулу диференціювання складної функції (2.9), у якій зовнішньою функцією є тангенс, а внутрішньою – 2x .

					3		1	1				3		1	1
	3/2						2							2
y x			tg 2x			x				2x			x				2
					2				cos2 2x			2				cos2 2x

б) У цьому випадку функція представляє собою добуток двох складних функцій, тому застосовуємо спочатку формулу (2.6), а потім формулу (2.9).

cos x

4

	y				sin			x	3	1
								4
	x		3 1 log2							1
	4
	1	cos		x		3	1	log				x
	4			4							2

log2 x sin							x				1 log2
										3				x
							4									. 1
x sin x 1 1 log2 x 3
															2
	4				3												1
	x				1									2
sin							1 log					2	x	3
	4				3											x ln

log2 x

2	.

в) Ця функція представляє собою частку двох складних функцій, тому застосовуємо формулу (2.8), а потім формулу (2.9).

16

												arctg 2x											1 4x					2			arctg 2x					1 4x			2
	arctg 2x
y
			1 4x		2																													2
																										1				4x		2
							1
															2x						1		4x			2		arctg 2x 8x
				1 2x
											2
																			1				4x	2		2
			1				2				4x2							8x arctg 2x
									1
		1 4x2																														2 8x arctg 2x						.
																		2																			2
										1 4x2																								1 4x2

17