процессы разработки нефтяных месторождений

µн , µв – коэффициенты динамической вязкости нефти и воды;

ρн , ρв – коэффициенты плотности нефти и воды;

α– угол наклона пласта к горизонтали (угол падения пласта).

Для определения фазовых проницаемостей чаще всего применяют метод вытеснения нефти водой из модели пласта с предварительным созданием связанной водонасыщенности или метод капилляриметрии с использованием центрифугирования. Во втором случае образцы насыщенного керна располагают в центрифуге и, создавая скоростью вращения, различные перепады давления водой определяют фазовые проницаемости при различных насыщенностях. Результаты таких исследований отображают в виде зависимостей относительных фазовых проницаемостей (ОФП) от насыщенности образца керна (рис. 10.3).

Характерные особенности многофазной фильтрации связаны с тем, что на процесс вытеснения в той или иной степени влияют поверхностные эффекты на границе раздела фаз.

Дополним систему уравнений функцией, описывающей разность давлений в фазах (капиллярное давление):

p		− p	= P = σнв	cos	θ	J(s),	(10.4)
	н
		в	c	k

m

где Рс – капиллярное давление;

J(s) – безразмерная функция Леверетта, определяемая эксперимен-

тально;

σнв – коэффициент межфазного натяжения на границе нефть – вода;

θ– угол смачивания вытесняющей фазой поверхности породы (угол, образуемый касательной к поверхности воды в точке касания ее с породой и поверхностью породы).

116

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

0.25
0.2
0.15
ОФП, %
0.1
0.05
0
0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
			Водонасыщенность, %
	ОФП по нефти (песчаник)		ОФП по воде (песчаник)		ОФП по нефти (глинистый песчаник)
	ОФП по воде (глинистый песчаник)		ОФП по нефти (расчет α = 0,5)		ОФП по воде (расчет α = 0,5)
	ОФП по нефти (расчет α = 0,1)		ОФП по воде (расчет α = 0,1)
Рис. 10.3 Результаты экспериментальных исследований функций ОФП для глинистого и
песчаного коллекторов и модифицированные ОФП со значениями слоистости α = 0,1 и 0,5
	(рост доли песчаного пропластка) [1].

Будем считать, что жидкости и пористая среда несжимаемы (ρi = const,

m = const). Тогда, проведя ряд математических преобразований, получим

уравнение неразрывности для водной фазы, известное также как уравнение

Раппопорта-Лиса:

∂s

∂F(s)

∂

k k

н

∂P

m

+ v

+

F(s)

c − g

ρ sinα

= 0,

∂t

∂x

∂x

µн

∂x

где v = vн + vв ,

F(s) =

kв

(s)

– функция Бакли-Леверетта.

(s) +

в

k

k

(s)

в

н

н

(10.5)

(10.6)

Физический смысл функции Бакли-Леверетта – это доля воды в двухфазном потоке жидкости в пористой среде. На этой основе далее в курсе будет рассмотрено моделирование процесса вытеснения нефти водой, так называемая «модель двухфазной фильтрации Бакли-Леверетта».

117

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Это уравнение представляет собой нелинейное уравнение параболического типа второго порядка. Точные решения этих уравнений получены лишь для некоторых сравнительно простых случаев. Это уравнение в трехмерном случае является основой гидродинамического моделирования с применением численных методов решения и используется всеми основными пакетами программ для построения геолого-технологических моделей пласта.

Оценим теперь необходимость учёта капиллярных сил.

Перепишем уравнение (10.5), используя следующие безразмерные параметры:

ξ = x ; τ = vt ,

LmL

где L – характеристический размер пористой среды (пласт, межскважинное пространство, керн),

τ - время в безразмерных единицах.

∂s

∂F (s)

∂

∂s

∂

+

=

ε

ψ (s)

+ N

g

k

н

(s)F (s)

, (10.7)

∂t

∂ξ

∂ξ

∂ξ

∂ξ

где ψ (s) = −k

н

(s)F (s)J′(s),

σнв cosθ

=

k g p sinα

.

ε =

k m ,

N

ν µн L

g

ν µн

Теперь оценим величины ε и Ng при типичных значениях геологофизических свойств для условий месторождения Урало-Поволжья. Пусть L –

расстояние между скважинами и L = 400 м, примем:

σнв = 0,03 Н/м; cosθ = 0,99;sinα = 0,02; µн = 3 10−3 Па с; m = 0,2; v = 10−5 м/с; k = 10−13 м2 ; ρ = 200 кг/м3.

Тогда получим, что ε = 0,00035, а Ng = 0,00013, т.е. правая часть уравнения (10.7) при данных геолого-физических условиях близка к 0.

118

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Таким образом, можно заключить, что для нашего примера в масштабе расстояния между скважинами, капиллярными силами можно пренебречь. Гравитационными же силами можно пренебречь при небольшом угле падения пласта, насыщенного легкой нефтью.

В случае, когда моделируется вытеснение нефти из керна (линейная величина L – существенно мала), учёт капиллярных сил необходим. Учёт гравитационных сил при вытеснении нефти будет рассмотрен в последующей части курса.

119

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Лекция №11

План:

1.Модель Бакли-Леверетта.

2.Характерные точки функции Бакли-Леверетта.

3.Использование безразмерных параметров для расчёта некоторых технологических показателей разработки.

Модель Бакли-Леверетта

Как было показано в предыдущей лекции, при рассмотрении процесса вытеснения в масштабе между скважинами, капиллярными силами можно пренебречь в однородных пластах высокой и средней проницаемости. Будем также считать, что можно пренебречь гравитационными силами. Тогда уравнение Раппопорта-Лиса можно переписать как:

m ∂s + v ∂F(s) = 0.

∂t ∂x

Решив это уравнение, можно определить изменение насыщенности во времени по пласту. Уточним ещё раз, что, говоря о пласте, мы будем подразумевать расстояние между двумя скважинами – добывающей и нагнетательной (точнее, движение от нагнетательной галереи к добывающей), то есть одномерный случай.

Для решения этого уравнения необходимо записать начальное и граничное условия:

s(x,0) = sв0 ,
	= sв0	,
s(o,t)		,

то есть, в начальный момент времени величина водонасыщенности по всему пласту равна определённой величине sв0 (в частном случае, насыщенности связанной водой), а второе условие означает, что на стенке нагнетательной скважины она максимальна и равна разнице между 1 и величиной неснижаемой остаточной нефтенасыщенности sв0. Далее для простоты будем

120

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

использовать обозначение для величин насыщенности воды – начальной s0 и

неснижаемой s0 .

Решение этого уравнения выглядит следующим образом:

	1	t		′
x(s,t) =		∫v(λ)
	m			dλF (s).
		0

Таким образом, мы получили функцию, характеризующую изменение координаты x с величиной водонасыщенности s во времени. Если же суммарная скорость фильтрации v (а значит, и суммарный расход) постоянная величина (v = const), то:

x(s,t) =	v t	F′(s).	(11.1)
	m

Полученное решение справедливо при s0 ≤ s ≤ s0 .

Характерные точки функции Бакли-Леверетта

На рис. 11.1 показан характерный вид функции Бакли-Леверетта и её производной. Такая форма производной функции приводит к тому, что если подставить её в уравнение (11.1), то получится, что одной и той же точке по оси x соответствует сразу три значения насыщенности на фронте вытеснения xf (рис. 11.2), что некорректно с физической точки зрения. С этой целью в модели непоршневого вытеснения Бакли-Леверетта вводится понятие фронта вытеснения. Величина водонасыщенности убывает от своего максимального значения на стенке нагнетательной скважины s0 до некоторого определенного значения sf, называемого водонасыщенностью на фронте вытеснения, или, фронтальной насыщенностью.

121

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Рис. 11.1 Функция Бакли-Леверетта и её производная

sf

sf

s0	xf	s0	xf

Рис. 11.2 Распределение коэффициента водонасыщенности между добывающей и нагнетательной скважинами: слева – физически некорректное решение; справа – с учётом принятого фронта вытеснения

С учётом введённого понятия о водонасыщенности на фронте распределение водонасыщенности по пласту вычисляется следующим образом:

x(s,t) =

s(x,t) =

vt F′(s), s0 ≤ s ≤ s0 . m

s0 , xf (t) ≤ x ≤ L

Здесь положение фронта вытеснения xf(t) определяется первым уравнением системы. Чтобы определить водонасыщенность на фронте, используется следующее уравнение:

F′(s) = F(sf ) − F(s0 ) . sf − s0

Если водонасыщенность в начальный момент времени была равна свя-

занной воде, то:

122

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

F′(s) =	F(sf ) − F(s0 )	=	F(sf )	.	(11.2)
	sf − s0		sf − s0

Как известно из курса математического анализа, производная функции в данной точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к данной функции в этой точке. Проиллюстрируем графически полученные соотношения. Как видно из рис. 11.3, уравнение (11.2) может быть легко решено c использованием графоаналитического метода. В случае, когда начальная водонасыщенность равна величине связанной, касательная к функции F(s) проводится от оси s из точки sо. Тогда точка касания будет соответствовать значению функции Бакли-Леверетта на фронте вытеснения. С помощью этого графика можно также определить среднюю величину водонасыщенности пласта после прорыва фронта вытеснения. Подробнее с этой методикой определения параметров вытеснения нефти водой можно ознакомиться, например, в учебнике [3].

1
	F(sf)
				sf	sно=1-s0
0	S				0
0			s	S		1
		0
Рис. 11.3 Функция Бакли-Леверетта, касательная к ней и характерные точки

Ещё один важный показатель, величина которого очень наглядно определяется этой функцией – это нефтеотдача. Вспомним физический смысл функции Бакли-Леверетта. Это доля воды в двухфазном потоке жидкости в пористой среде. Таким образом, когда значение этой функции станет равно 1, то в потоке будет присутствовать одна вода, а значит, оставшаяся нефть

123

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

практически перестанет вытесняться при установившихся условиях. Поэтому при достижении функцией «потолка», опустив перпендикуляр из этой точки на ось абсцисс, мы получим значение максимальной водонасыщенности (остаточной нефтенасыщенности). Если же из единицы вычесть эту величину, то в результате получим значение остаточной нефтенасыщенности sно.

Полученное решение для распределения насыщенности по пласту носит автомодельный характер, то есть оно повторяет себя на каждом следующем шаге. Ниже, на рис. 11.4, иллюстрируется движение фронта вытеснения.

S0
		фронт подошёл к стенке
		добывающей скважины
S0
s0
0	xf(t=t1)	xf(t=t2)	xf(t=t3)	L
Рис. 11.4 Изменение водонасыщенности по пласту при движении фронта вытеснения

Таким образом, очевидно, что в процессе заводнения можно выделить

два этапа:

1.Безводный период добычи (фронт вытеснения движется к стенке добывающей скважины).

2.Период обводнённой продукции (начинается с момента подхода фронта вытеснения к стенке добывающей скважины).

124

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Использование безразмерных параметров для расчёта некоторых технологических показателей разработки

Для простых оценочных вычислений оказалось удобным использовать решение уравнения Бакли-Леверетта в безразмерных параметрах. О безразмерных параметрах было сказано ранее, сейчас остановимся на них подробнее.

Координата в безразмерных единицах:

Для задачи плоскопараллельного вытеснения: ξ = x ,

L

где L – расстояние от нагнетательной скважины до добывающей; х – текущая координата с определённой насыщенностью (рис. 11.5).

L

Рис. 11.5 Схематизация плоскопараллельного случая вытеснения

Для задачи плоскорадиального вытеснения: ξ = r2 − rc2 ,

Rк2 − rc2

где Rк – расстояние от нагнетательной скважины (∆) до добывающей (О); r – текущая координата с определённой насыщенностью; rc – радиус скважины (рис. 11.6).

Rк

r

Рис. 11.6 Схематизация плоскорадиального случая вытеснения

125

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts