процессы разработки нефтяных месторождений

pk ≠ const

Рис. 5.1 Схема замкнутого пласта

Для случая замкнутого пласта можно записать:

d p = − Q(t) ,
dt	V β *

где p – средневзвешенное по объему пластовое давление.

Жёстко-водонапорный режим

Это случай, когда пласт можем считать бесконечным (рис. 5.2). Возможность пополнения из водоносной области – не ограничена. Таким образом, давление на контуре питания постоянно. Например, месторождение Аль Хамра в Ливии после 25 лет разработки давление остается равным начальному, при этом обводненность уже превысила 80%.

Конечный коэффициент извлечения нефти при разработке на этом режиме может превышать 70%. На месторождении Статфьорд (Северное море) почти за 30 лет разработки (с 1978 г.) текущий коэффициент извлечения нефти превысил 72%.

66

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

pk = const

Rк

Рис. 5.2 Схематизация пласта для расчета жестко-водонапорного режима

Для этого случая пусть в неограниченном тонком горизонтальном пласте постоянной толщины имеется добывающая скважина нулевого радиуса (точечный сток). Начальное пластовое давление во всем пласте одинаково и равно р0.

В момент времени t = 0 скважина пущена в эксплуатацию с постоянным объемным дебитом Q0. В пласте образуется неустановившийся плоскорадиальный поток упругой жидкости. Распределение давления в пласте (в любой его точке в любой момент времени) p(r, t) определяется результатом интегрирования уравнения:

∂p	= χ (	∂2 p	+	1 ∂p
∂t		∂r2			∂r ) ,
				r

при следующих начальных и граничных условиях:

p(r,t) = pk , при t = 0 p(r,t) = pk , при r = ∞

	Q =	2π kh	(r	∂p)		= Q = const, при r = 0,t > 0.
		µ			r=0
				∂r		0

В результате получим основную формулу упругого режима:

	p(r,t) = pk	−	Q0 µ	[−Ei( - x)],
			4π kh

r2

где x = 4χt .

∞ e-x

−Ei( - x)=∫ dx - интегральная показательная функция.

x x

67

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Интегральная показательная функция – это функция, приводящаяся часто в табулированной форме (см., например, учебник Ю.П. Желтова [5]). Однако современные математические пакеты программ позволяют вычислять её легко и быстро, не прибегая к таблицам. Результат расчета может быть представлен и в графическом виде (рис. 5.3).

-Ei(-x)

1	1
	0.75
− Ei(− x)
	0.5
	0.25
0
	0	1	2	3	4	5	6
	0			x			6

Рис. 5.3 Зависимость интегральной показательной функции от безразмерной координаты

Интегральную показательную функцию можно представить в виде ряда:

			1		∞	(−1)n+1
			−Ei(−x) = ln		− 0,5772 + ∑		xn
				x	n=1	nn!
	При	4χt	> 32,33 суммой ряда можно пренебречь, т.е. можно записать:
		r2

− Ei(− x)≈ ln 1 − 0,5772 x

Тогда основная формула упругого режима запишется как:

p(r,t) = p		−	Q0 µ			(ln	4χt		− 0,5772),
			4π kh
	k							r2
или
p(r,t) =	Q0 µ			(ln		4χt		− 0,5772).
						r2
	4π kh

Принцип суперпозиции при упругом режиме

68

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

	Пусть на месторождении пущены в работу не-
А	сколько скважин А, В и С. Очевидно, что на измене-

Nние давления в пласте будет влиять работа каждой

С

скважины.

В	Оказалось, что вклады от работы каждой сква-
жины	можно сложить арифметически. Это имеет

строгое математическое доказательство, которое приводится в курсе подземной гидромеханики. Таким образом, можно записать:

pN = pA + pB + pC .

Очевидно, что всё сказанное выше относится и к нагнетательным скважинам. За тем лишь исключением, что нагнетательная скважина будет увеличивать давление, а значит, изменение давления будет с противоположным знаком.

69

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Лекция №6

План:

1.Упруго-водонапорный режим.

2.Задача Ван Эвердингена - Херста (Van Everdingen - Hurst) и её решение.

3.Интеграл Дюамеля. Решение Ю.П. Желтова для случая переменного дебита.

4.Характерная динамика основных технологических показателей при всех видах упругого режима.

Упруго-водонапорный режим

В случае упруго-водонапорного режима водоносная область имеет неко-

торые конечные размеры (рис.6.1).

ВНК

pk ≠ const

Рис. 6.1 Схематизация залежи для расчета упруго-водонапорного режима

Упрощенно проявление этого режима можно представить следующим образом: в центре залежи – водонапорный режим, а на границе водяной области – упругий.

Конечный коэффициент нефтеотдачи при разработке на этом режиме может достигать 60%.

70

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Расчет технологических показателей при упруго-водонапорном режиме осуществляется с использованием такого приёма, как «укрупненная скважина». По этому же принципу рассчитываются и показатели разработки газовых месторождений.

Всё месторождение рассматривают как укрупнённую скважину, у которой забойное давление – это давление на контуре месторождения.

Задача Ван Эвердингена - Херста и её решение

Пусть количество отбираемой жидкости из месторождения qж(t) равно количеству поступающей воды к нефтяной залежи из законтурной области пласта qзв(t), т.е. qж(t)= qзв(t).

Для расчёта давления на контуре будем считать законтурную область неограниченной. Поскольку в водоносной зоне реализуется упругий режим, то радиальная фильтрация воды в этой области описывается следующим дифференциальным уравнением:

∂p	= χ (	∂2 p	+	1 ∂p
∂t		∂r2			) ,
				r ∂r

где p(r,t) – давление в некоторой точке законтурной области в некоторый момент времени.

Запишем начальные и граничные условия:

p(r,t) = p∞ при t = 0;

p(r,t) = p∞ при R ≤ r ≤ ∞; ,

		= −	2πkh		∂p	= const
	qж			r
			µ
					∂r r=R

где R – радиус контура питания месторождения.

Решение указанного дифференциального уравнения производится с помощью преобразования функции давления по Лапласу, введением

∞

p (r,s) = ∫ p(r,t)e−st dt

0

71

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Метод решения этого уравнения при данных начальных и граничных условиях выходит за рамки курса высшей математики для технических ВУЗов. Поэтому приведём здесь сразу решение, полученное Ван Эвердингеном - Херстом:

p(ρ,τ ) = p

−

qзв µ

f (ρ,τ ),

где

∞

2π kh

2

∞

(1− e−u2τ ) [J1(u)Y0 (uρ) − Y1

(u)J0

(uρ)]

f (ρ,τ ) =

∫

du, (6.1).

π

u

2

J

2

(u) + Y

2

(u)

0

1

1

ρ= r ; τ = χt .

R R2

Функции J0(uρ), J1(u), Y0(uρ), Y1(u) называются функциями Бесселя. В данном курсе функции Бесселя подробно не рассматриваются.

На контуре r = R, поэтому для определения изменения во времени давления pкон(t) необходимо использовать значение функции f(ρ, τ) при

ρ = r =1, т.е. f(1, τ) (6.2).

R

Достаточно громоздкий интеграл можно с хорошей точностью аппроксимировать следующей формулой:

f(1,τ ) = 0,5 1− e−8,77lg(1+τ ) +1,12lg(1+τ ),

или

f(1,τ ) = 0,5 1− (1+τ )−3,81 +1,12ln(1+τ ),

Небольшое замечание: Как видно, наличие радиуса у скважины при упругом режиме (будь она укрупненная или обычная) неизбежно приводит к сложным вычислениям. Именно поэтому при формулировке основного уравнения упругого режима мы оговорили, что скважина у нас представлена в виде точечного стока, т.е. сток происходит в точку с нулевым радиусом.

72

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Интеграл Дюамеля. Решение Ю.П. Желтова для случая переменного дебита

На практике постоянство добычи жидкости, принятое в качестве допущения в предыдущей задаче, соблюдается редко.

Рассчитаем изменение давления на контуре при переменном во времени дебите qзв = qзв(τ) (рис. 6.2).

qзв

			Δqзв2
			Δqзв1
			Δqзв0
λ1	λ2	λ3	λ

Рис. 6.2 Схема изменения давления на контуре питания во времени

Разобьём зависимость qзв = qзв(τ) на равные ступени по времени, при этом помним, что τ - безразмерное время. Причем каждая ступень qзвi начинается в момент времени λi. Таким образом, используем два времени: τ, исчисляемое с начала разработки месторождения, и λ с отдельными моментами

времени λi, соответствующими ступеньками по дебиту:

qзвi = const.

В предыдущем разделе для давления на контуре было получено (6.1),

что:

p		(τ ) = p	−	qзв µ	f (1,τ ) .
	кон	∞		2π kh

Учитывая, что qзв – это переменная величина, а так же учитывая разбиение динамики qзв на ступени, запишем:

73

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

					µ		qзв
	pкон (τ ) = p∞		−				∑[ qзв0 f (1,τ ) + qзв1 f (1,τ − λ1) + qзв2 f (1,τ − λ2 ) +...] =
				2π kh			0
		µ	qзв
	= p∞ −		∑ qзвi				f (1,τ − λ i )
		2π kh
			0

Разделим и умножим выражение, стоящее в правой части под знаком суммы, на Δλ. В результате получим:

			µ	τ	qзвi
	pкон	(τ ) = p −		∑		f (1,τ − λ )	λ
			2π kh		λ
		∞		0		i	.

Перейдя к пределу при λ → 0, приходим к интегралу:

pкон (τ ) = p∞ − πµ τ∫ ∂∂qλзв f (1,τ − λ)dλ .

2 kh 0

Этот интеграл называется интегралом Дюамеля.

Характерная динамика основных технологических показателей при всех видах упругого режима разработки показана на рис. 6.3.

Qн(текущее)

pпл

Г

Рнас

η

t

t`

Рис. 6.3 Динамика технологических показателей при упругом режиме разработки: t` – момент окончания преобладания упругих сил в пластовых процессах;

Г – газовый фактор,

Qн – текущая добыча нефти,

Рпл – пластовое давление,

η – коэффициент извлечения нефти.

74

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts

Такой вид зависимости пластового давления от времени характерен для

всех естественных режимов и иногда при заводнении.

75

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru/i03/contacts