Геологические основы

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

	и далее получаем: tS2 = tP2	C 2	=	t2	или tS = tP /γ ! Оказалось, что в условиях
		P		P
		CS2		γ 2

однородного и изотропного пространства поле времен поперечных волн геометрически подобно полю времен продольных волн. Для того, чтобы получить поле времен поперечных волн определенного класса (отраженных, преломленных и др.) необходимо и достаточно умножить поле времен продольной волны того же класса на постоянный коэффициент 1/γ.

Рассмотрим уравнение поля времен для точечного источника, помещенного в точку М0(x0,y0,z0) внутри безграничного изотропного, однородного пространства, которое представляет собой расширяющуюся сферу.

t(x, y, z, x0 , y0 , z0 )= (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 . C

Рассечем эту сферу несколькими плоскостями. Первую из них проведем так, чтобы точка М0 лежала на ее поверхности. Это будет экваториальный круг. Восстановим перпендикуляр к этой плоскости из точки М0 и выберем на этой прямой совершенно произвольно точку М1 с координатами x0 , y0 и z1. Теперь проведем плоскость параллельную экваториальной через точку М1 (широтная). Вновь получим круг с центром в точке М1. Подставим координаты точки М1 в общее уравнение поля времен t(x, y,.z, x0 , y0 ,z0) и найдем, что

	t(x, y , z, x0 , y0 , z1 )=	(x − x0 )2 + (y − y0 )2 +(z1 − z0 )2	=	1	(x − x0 )2 +(y − y0 )2 + B	2 , где:
		C		C

В = const. Новая функция времени зависит теперь от четырех переменных вместо шести и представляет собой круг с центром в точке М1 , радиус которого есть С2*t2 – B2. Полученная зависимость времени t от координат источника и приемника называется поверхностным годографом. Множество значений ti заполняет собой всю площадь круга равномерно для любого типа монотипной волны P или S. Продолжим исследование следующим образом:

Запишем,

что

tp =

R/Cp

и

ts

=

R/Cs.

Преобразуем:

tPPCP

=1 =

tSS CS

Отсюда :

tPP

=

CS

или t

= t

CP

=

tPP

R

R

tSS

CP

SS

PP CS

γ

47

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Сделаем меридиональное сечение этой функции, содержащей точки М0 и М1,

а также прямые линии, соединяющие их М0М1 и М1М. Поскольку М0М1 двум плоскостям, проведенным ранее, то и М0М1 М1М. В этом случае координата у=у0 и уравнение годографа преобразуется в следующее:

	t2 (x, y, z, x0 , y0 , z0 )=	1	(x − x0 )2 + B2
		C

Функция t2 определяется полностью всего двумя параметрами х0 и B = z-z0. Положив B=h – получим уравнение линейного годографа упругой волны, излученной источником в точке М0 и регистрируемой прибором последовательно занимающим положения на прямой, полученной в результате пересечения двух плоскостей широтной и меридиональной. Функция представляет собой кривую второго порядка, гиперболу, минимум которой находится в точке М1 с координатами 0,0, z-z1. Кривая симметрична относительно линии М0М1 и отстоит от координат источника на время t0 = (z-z1)/C. Преобразуя уравнения линейных годографов для P и S волн, получим, как и прежде для одной плоскости, tS = (CP/CS)tP = (1/γ)tP .

В равных сейсмогеологических условиях годографы поперечных волн подобны годографам продольных с коэффициентом подобия 1/γ. Таким образом, чтобы получить годограф поперечной волны, имея уравнение годографа продольной отраженной волны, необходимо и достаточно умножить это уравнение на коэффициент 1/γ.

t

PP

=

1

x2 + 4h2

;

1

t

PP

=

1

x2 + 4h2

=

1

x2 + 4h2

;

t

SS

=

1

x2 + 4h2

CP

γ CP

CS

CS

0

γ

0

0

0

48

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис.5. Годографы продольных и поперечных волн первой кратности.

2.6. Упругие волны в слоистой среде Границы сейсмические.

Границы – это поверхности раздела между слоями геологического разреза, содержащие литологически неодинаковые геологические породы. Наиболее распространенное представление о физических свойствах геологических пород разделенных границей – это ступенчатое изменение скоростей распространения упругих волн, в том числе и поперечных, и плотности вещества. Соотношение между скоростями распространения и плотностями вещества определяет отражательную способность границы независимо от глубины ее положения в ГР. В этом и заключается основное различие в свойствах границ при распространении продольных и поперечных волн. Это различие определяется той особенностью в распространении поперечных колебаний в породе, которая связана с зависимостью скорости распространения сдвиговых волн только от упругих констант скелета горной породы. Если упругие константы скелетов горных пород, разделенных границей, мало отличаются друг от друга, то резкость границы для поперечных волн, в отличие от продольных, будет мала и соответственно мал и коэффициент отражения. Действительно, используем нормальное падение упругих волн на границу раздела сред с одной стороны без пористости с параметрами ρ1, С1P и С1S, а с другой с пористостью и параметрами ρ2, С2P и С2S.

49

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

	ρ C1		− ρ	C2
r =	1	P,S	2	P,S	для Р волн плотность меняется незначительно и основу
	ρ C1		+ ρ	C2
	1	P,S	2	P,S

коэффициента отражения составляет разница в скоростях распространения в покрывающей и подстилающей толщах:

2

1

−

CP

2

ρ C1

− ρ

C2

C1

− C2

C1

C2

Р волна: r

=

1 P

2

P

≈

P

P

=

P

≈ 1

−

P

.

1

2

1

2

2

1

PP

ρ1CP

+ ρ2CP

CP

+ CP

CP

CP

1

+

1

CP

Для S волны напротив незначительно изменяются в этом случае именно скорости распространения в слое 1 и 2.

S волна: r =

ρ1CS

− ρ2CS

≈ ρ1

− ρ2

= (1 − ρ2

/ ρ1 )

ρ2

2

−

≈ 1

.

1

2

SS

ρ C1

+ ρ

C2

ρ

1

+ ρ

2

(1 + ρ

2

/ ρ

)

ρ

1

1 S

2

S

1

Остальные свойства границ ГР для поперечных и продольных волн одинаковы, поэтому повторять Общий курс сейсморазведки нет необходимости.

Для многих задач разведочного характера необходимо знание усредненных скоростных характеристик геологического разреза для построения сейсмических моделей сред. К таковым относятся: средние скорости, лучевые скорости и эффективные скорости. Их значение, определение и способы расчета одинаковы как для продольных, так и поперечных волн, поэтому отсылаем читателя к учебному курсу сейсморазведки.

Оценим влияние слоистости геологического разреза на параметры упругих волн. Мы знаем, что средняя мощность земной коры около 50 км. Если принять среднюю мощность отдельного слоя в ГР не менее 50м, то на 50км таких образований окажется не менее 1000. Для выяснения закономерностей распространения упругих волн в таких средах – гребенках нам необходимо поставить на каждой границе краевые условия, соответствующие ступенчатой форме изменения упругих характеристик. Похоже на то, что время необходимое для решения такого количества уравнений будет велико даже для современных ЭВМ. Вместе с тем, есть и более простой путь, который позволяет на качественном уровне выяснить основные закономерности движения упругих волн в таких средах. Обратимся к некоторым выводам части I курса (Физические

50

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

основы МВС), тем более, что в физике такие задачи рассматриваются в теории распространения волн в периодических структурах. В этих задачах вскрыта общность волновых явлений акустики, механики, электромагнетизма, квантовой механики, где применяется единый аппарат, пригодный для анализа колебательных процессов и распространения волн различной физической природы. Конечно, как понимает читатель, эти задачи рассматривают случаи с точки зрения геофизика мало похожие на геологическую реальность, поскольку любая физическая периодическая структура закономерно построена таким образом, что трансляция системы отчета в любом направлении не приводит к изменению условий задачи и ее решения. Свойства среды от таких перестановок не изменяются. В геологии это совсем не так. Здесь достаточно трудно представить ситуацию, когда упругие характеристики и мощности слоев одинаковы и не зависят от глубины заложения. Вместе с тем, и в этой ситуации можно найти общность физического явления распространения волн в структурах слабой периодичности. Основой этого явления составляет особенность взаимодействия элемента структуры с соседями. В геологическом разрезе волна, проходящая через слой, взаимодействует только с двумя соседними слоями сверху и снизу. Это обстоятельство значительно упрощает задачу. Кроме того, среди множества слоев в ГР всегда можно построить последовательность характеризующуюся тем, что мощности каждого из них близки друг к другу. Остается другая проблема, изменение упругих связей между геологическими слоями, которое никак не учитывается в физических задачах распространения волн в периодических структурах, и тем не менее в качестве первого самого грубого приближения можно построить физическую модель слоистого ГР в виде одномерной решетки, в узлах которой размещены одинаковые точечные массы равные произведению линейной плотности вещества слоя на его мощность: m =

ρsh, где: h – мощность слоя, ρs – плотность параллелепипеда единичной площади

ивысоты h (по условию задачи h одинакова для всей цепочки слоев). Принимаем

иусловие одинаковых упругих связей К между слоями. Таким образом, предстоит

51

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

рассмотреть движение неограниченной одномерной решетки, т.е. продольные колебания такой системы, которые мы изучали в части I курса.

Уравнение движения «частицы» с номером n получим, приравнивая возвращающую силу (упругую) произведению массы на ускорение:

∞

m&y&n = ∑kn (yn+1 + yn−1 −2 yn )

n>0

(частицу под номером 0 не рассматриваем, но считаем в цепочке). Решение ищем в виде:

yn = Ae2πi(ν t +kxn ) = Ae2π i(ν t −knh)

где: ν - частота колебаний, k – волновое число, равное 2π/λ, λ - длина волны, h – расстояние между частицами. После преобразований, находим, что:

mω2	= mν 2π 2 = ∑Кn sin2 πkn h =	1	∑Кn (1−2cosπkn h)
4
	n>0	2 n>0

В случае взаимодействия между смежными частицами с номерами n-1, n и n+1 сумма сведется к одному члену (n=1) и тогда:

ν 2 = πК2m sin2 πkh

Это и есть искомое дисперсионное уравнение, которое и определяет интересующие нас свойства системы.

Фазовая скорость распространения упругой волны:

C =	ν	= h	К				sinπkh
	k		m					πkh

Поскольку k = 1/λ, то, подставляя в полученную формулу, будем иметь:

C = h	К				sin 2π(h / λ)				, при λ→∞, получим Cλ→∞ = h	К
	m					2π(h / λ)				m

Таким образом, для длин волн много больших h – мощности слоя, т.е. когда ГР можно рассматривать как непрерывную и однородную среду, скорость распространения упругой волны равна С∞ и не зависит от длины волны. При уменьшении λ, С также снижается и стремится к своему предельному значению при λ = 2h. Подставляя, найдем этот предел:

52

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

	Cпред. ≈ h	К 2			= 0,635Cλ→∞
		m π
	Соответственно получим и предельное значение частоты νпред.:

ν	пред.	≈		1		К
			π			m
Для ν<νпред. значения k		действительны, для ν>νпред. k становится

комплексным, поскольку π2ν2m/k>1, но π2ν2m/k=sin2πkh. Полагаем, что k можно представить в виде: k = a+ib, получим, что sinπkh = sinπahch(πbh) +icosπah sh(πbh), но sinπkh – действительная величина, поэтому cosπah должен быть равен

0, откуда a = 1/2h.

Тогда: sinπ/2 ch(πbh) = ch(πbh) и ν =	1		k	ch(πbh)	при ν>νпред. величина b
	π
			m

обеспечивает экспоненциально быстрое затухание волн с расстоянием.

Таким образом, рассмотренная выше задача в упрощенной до предела постановке, показала, что слоистый ГР является фильтром низкочастотных колебаний в том смысле, что чем глубже залегает граница, информацию о которой нам необходимо получить, тем более низкочастотные волны смогут проникнуть через вышележащий «частокол» геологических границ.

Рассматриваемая система является диспергирующей средой, в которой фазовая скорость зависит от частоты колебаний волны. Для среды с дисперсией скорость распространения энергии отличается от фазовой. Только монохромы в этих средах движутся без искажений. Но вся сейсморазведка построена на ограниченных по времени сигналах (импульсах), которые по мере распространения искажаются. Обычно определяют сигнал ограниченной длины как группу волн или пакет. Рассмотрим свойства такой группы волн при распространении ее по слоистой среде, моделированной нами одномерной цепочкой равностоящих друг от друга масс, связанных между собой посредством упругого взаимодействия. В первую очередь определим среднюю плотность энергии. Будем исходить из полученных выше соотношений на смещения, частоты и скорости:

53

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

y	n	= Aei(ωt −2πkh ) ; ω2 =	4K	sin2	πkh;	C = C	∞		sinπkh
									πkh
			m

Среднюю плотность энергии определим как сумму средних плотностей потенциальной и кинетической энергий:

Π =

1

Re

1

K(y

− y

2

вспомним, чтоΠ =

Ky2

;

но y

− y

= Re KAe

i(ωt−2πkhn )

(1 − e

i 2πkh

)

n

n−1

)

n

n−1

h

2

2

и, подставляя вформулудля Π,				будем		иметь
Π =	A2 K	(1 − ei2kπh )(1 − e−i2πkh )=		A2 K	2(1	− cos 2πkh)=	A2 K	sin2	πkh, где	k =	1
				4h							λ
	2h						h

Проделаем то же самое для плотности кинетической энергии Т:

T = h1 Re 12 Mv2 = h1 Re 12 M (y&n )2 ; повторяя еще раз и учитывая, что ω2 = (4k/m)sin2πkh, получим для средней плотности кинетической энергии следующее

A2 K

sin2 πkh . В результате средняя плотность энергии будет равна:

выражение: T

=

h

2A2 K

2

W = Π +T =

sin

πkh

полн

h

Вычислим поток энергии, выходящий из одного n-го слоя в n +1 слой. По определению поток энергии будет равен произведению действительной части действующей силы, взятой с обратным знаком, Fn,n+1 на действительную часть колебательной скорости.

F

= K(y

n+1

− y

n

), а y

n

= Aei(ωt −2πkhn), то

dyn

= iωAei(ωt −2πkhn ) = iωy

n

n,n+1

dt

Отсюда получим: что средняя мощность, поглощенная n+1 ячейкой Ф, равна

&

KA2

i2πkh

*

A2 Kω

Φ = −Re Fn,n+1 Re yn

= −

Re(−1+e

)(iω) =

sin 2πkh =

2

2

=A2 K K sinπkh sin 2πkh

2 m

С этим потоком связана и скорость распространения энергии, которая определяется как отношение потока энергии к ее плотности.

A2 K K / m sinπkh sin 2πkh

K

Cэн. =

Φ

=

= h

cosπkh .

K

m

W

2

A

2

sin

2

πkh

h

54

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Сравнивая с выражением для групповой скорости, находим, что скорость распространения волнового пакета совпадает с групповой скоростью, которая, тем самым, является скоростью переноса энергии группы волн.

Рассмотрим простейший случай слоистой среды, состоящей из пласта мощностью Н, залегающего на безграничном полупространстве. Верхняя граница пласта – плоская и горизонтальная поверхность земли. Нижняя – также плоская и составляет угол ϕ с верхней горизонтальной границей. Слой бесконечной протяженности по латерали, т.е. по координатам х и у. Расстояние до подошвы пласта Н0 определяем по нормали к ней, опущенной из точки, принятой за начало координат. В пласте заданы скорости распространения СР и СS упругих волн, а также плотность пород, слагающих пласт и полупространство. Поместим источник в начало координат. Ось ОХ совместим с линией профиля, соединяющей источник и сейсмоприемник и направим ее по линии падения границы, находящейся на глубине Н0. Задача решается путем построения зеркального отображения реального пункта возбуждения относительно границы, представляющей подошву пласта. Затем вычисляем длины путей распространения волны из точки источника и определяем время по известной скоростной характеристике СP CS. Поскольку волны Р и S распространяются независимо друг от друга (источник излучает сначала продольную, а затем поперечную волну), то длина пути их распространения до границы от источника и обратно к сейсмоприемнику одинакова. Поэтому временные функции будут выглядеть следующим образом:

PP	(x)=		R	=			x2	+ 4H0 sinϕ + 4H02
		CP						CP
tSS	(x)=		R		=		x2	+ 4H0 sinϕ + 4H02
			CS					CS

Лучевая схема вывода уравнения годографа показана на рис. 6.

55

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис.6. Лучевая схема, поясняющая вывод уравнения годографа монотипной отраженной волны для двухслойной модели среды.

2.7 Обменные волны.

Наряду с монотипными продольными и поперечными волнами, которые мы в состоянии генерировать, управляя работой источников упругих волн, ГР порождает некоторый новый тип упругой волны, который носит название обменной. Этот тип упругой волны может генерироваться только в слоистом геологическом разрезе. В соответствии с определением типа волны мы понимаем, что это волна по своей природе более сложных кинематических свойств по сравнению с монотипными, так как включает две монотипные волны – продольную и поперечную или поперечную и продольную. Основной экспериментальный факт состоит в том, что обменная волна может образоваться только в слоистом разрезе. До сих пор остается не вполне ясной динамика образования упругой волны совершенно другой поляризации в акте отражение-преломление, определяющей слои горной породы. В чем же тут дело? Оказывается в строгом выполнении принципа Ферма в задачах распространения упругих волн. Действительно, пусть полупространство представлено всего лишь двумя слоями с параметрами ρi, CPi, CSi, (i = 1,2…,

56