Геологические основы

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

USSн	0.31	0.20	0.14	0.08

Данные таблицы показывают, что чем слабее сейсмическая граница, тем меньше интенсивность кратных волн.

Возможность выделения однократных волн на фоне кратных связывается в настоящее время с использованием метода общей средней точки (ОГТ). В реальных сейсмогеологических условиях кинематика кратных и однократных волн имеют разную структуру, поэтому кинематические поправки несколько отличаются друг от друга. При многократном суммировании с кинематическими поправками, рассчитанными для однократной волны, расхождение между ними постепенно накапливается. Чем больше кратность суммирования, тем больше отклонение годографов истинной отраженной волны от кратной, что и позволяет, в конечном счете, подавить кратную волну. Вместе с тем, необходимо уделять внимание и на изменение динамики кратных волн по причине значительно большего пути, проходимого кратными волнами от источника до точки регистрации. Здесь могут пригодиться и изменения доминирующих частот, увеличение коэффициента затухания, возможное не совпадение фаз.

2.9. Выделение S волн

Скоростной параметр (кинематический) является основой всей процедуры выделения поперечных волн. Возьмем производную вида dx/dt, где dx шаг между каналами, а t – время. Эта производная определяет величину фазовой скорости упругой волны вдоль направления профиля. Эта скорость носит название «кажущейся» С*. dx/dt = C*, но, в свою очередь, кажущаяся скорость связана с истинной через угол выхода θ сейсмической радиации из глубины: С* = Сcosθ

или C = C*/cosθ. При прочих равных условиях угол выхода для продольной и поперечной монотипных волн один и тот же, поэтому CSS= C*SS/cosθ и CPP =

C*PP/cosθ.

Возьмем

их

отношение

C

C*

C

C*

*

*

SS

=

SS

,

но

SS

=γ <1, отсюда и

SS

=γ или

CSS =γ CPP , что

определяет

и

C

C*

C

PP

C*

PP

PP

PP

67

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

свойства годографа отраженной поперечной волны: кажущаяся скорость поперечной отраженной волны в 1/γ раз меньше той же самой скорости продольной волны. Но из геометрического определения первой производной следует, что C* есть тангенс угла наклона касательной к функции x = x(t) в точке x к оси времен. Поскольку C*SS<C*PP, то угол наклона годографа поперечной отраженной к оси времен меньше чем для продольной, что говорит о том, что за одно и то же время продольная волна проходит путь в 1/γ раз больше, чем поперечная. Таким образом, угол наклона годографа поперечной волны к оси времен всегда меньше чем для продольной, что и является признаком для ее выделения.

Соотношение амплитуд (динамика волн). Этот признак формируется исходя из теоретического решения задачи излучения поперечной и продольной волн источниками типа направленной силы горизонтальной и вертикальной соответственно. При этом принимается условие одинакового силового действия в очаге, а среда – упругой. Запишем аналитические выражения для смещения во фронте поперечной и продольной волн и найдем их отношение:

U S =

FS

LS

(θ ,ϕ )TS (t,ω, k S , r );

2πrρC S2

U P =

FS

LP

(θ ,ϕ )TP (t,ωP , k P , r );

2πrρC P2

U

S

=

F

S

2πrρC 2

L

S

(θ ,ϕ )

T

S

(t,ω

S

, k

S

r )

≈

C 2

P

P

FP 2πrρC S2

LP (θ ,ϕ )

TP (t,ωP , k P , r )

C S2

U P

	C	P	2		1		2
=				=		.
	C S				γ

При выводе этого отношения мы принимали во внимание то, что амплитуды смещений берутся в условиях оптимальности излучения Р и S волн, когда функции направленности для обеих типов волн одинаковы, а их отношение ≈ 1.

Временная функция T(t,ω,k,r) дает время запаздывания одноименных фаз, разумеется, что TS>TP, но при измерении амплитуд в соответствующих временных окнах это не изменит величины отношения US/UP.

Соотношение доминирующих частот. Вопрос о доминирующих частотах в импульсах продольных и поперечных волн встал в повестку дня с самого начала развития МВС. Дело в том, что из постулатов теории упругости следует один из

68

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

важнейших выводов о том, что в принципе нет ограничений на частоты упругой волны любого типа, т.е. частоты продольных и поперечных волн должны быть одинаковыми. Эксперимент, однако, говорит, что это не так. Преобладающие частоты поперечных монотипных волн всегда меньше одноименных продольных. Многочисленные измерения показывают, что при переходе от одного типа волны к другому в любых ситуациях с большой точностью сохраняется длина волны λS ≈

λP. Но, расписывая λ через частоту и скорость распространения, получим, что СS/ωS ≈ СP/ωP или: СS/Сp ≈ ωS/ωP, продолжая получаем ωS ≈ γωP, т.е. доминирующие частоты поперечных волн в γ раз меньше продольных. Это и есть третий признак распознавания поперечных волн.

Не менее важна роль поляризации волн, т.е. их амплитудные соотношения по компонентам сейсмической записи. Используя формулы для смещений от направленных источников, убеждаемся в том, что продольные волны имеют наибольшую выразительность записи на компоненте z. Поперечные SV на компоненте х, а SH – на у. Это следует из теории. На практике не всегда это выполняется с необходимой точностью. Во многих случаях поперечные волны регистрируются на двух компонентах: SV – x и z, а SH – у и х. Вторая компонента в этих случаях получила наименование побочной. Для более уверенного выделения поперечных волн в сложных сейсмогеологических условиях используют принцип фазовой инверсии по поляризации силы в источнике. Затем процедурно вычитают одну запись из другой и на сейсмограмме подчеркиваются поперечные волны,

инвертирующие свою фазу на 180° при смене направления силы в источнике на противоположное. Этот эффект является четвертым признаком, пожалуй что и основным, распознавания монотипных поперечных волн. Рис.12.

69

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Рис. 12. Трехкомпонентные сейсмограммы (x,y,z) продольных, поперечных и обменных волн, иллюстрирующих соотношение кинематических и динамических параметров отраженных и преломленных упругих волн.

Глава III. Физические основы возбуждения поперечных волн.

3.1. Точечные источники поперечных волн.

В общем случае распространения сейсмических волн в неограниченном изотропном пространстве с неизменными упругими свойствами и плотностью ρ функция U, описывающая волну, должна удовлетворять волновому уравнению вида:

C2 2U (x, y, z, t)+ Φ(x, y, z, t)=	∂2U (x, y, z, t)	, где: Ф(x,y,z,t) – функция поля
	∂t2

массовых сил; С – скорость распространения упругих волн в среде, 2 – частные производные по координатам x,y и z второго порядка.

Упругие волны должны отчего-то возникнуть. Это могут быть смещения или импульс напряжений в начальный момент времени. Такие условия, начальные данные задаются не во всем неограниченном пространстве, а в некоторой ограниченной его части. Характер этих данных, заменяющих действие источника, может быть различным. В самом деле, сейсмические волны, как известно, порождаются разнообразными механическими действиями: ветром, морским и

70

Si = 4π Ri2

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

речным прибоем, извержениями вулканов, землетрясениями, падением конденсированных тел, взрывами и даже животными, в том числе людьми, движущимися около регистрирующих датчиков. Поэтому на граничной поверхности или поверхностях задаются в одних случаях – смещения, в других – напряжения, а в некоторых, достаточно редких – на одной и той же поверхности могут быть заданы как напряжения, так и смещения. Форма этой поверхности S0 может быть произвольной. Условия построения последующих волновых поверхностей, начиная с S0 при t = 0, таковы (условия Гюйгенса), что различные неровности ее переносятся и на последующие моменты времени, но по мере увеличения промежутка времени от начала возмущения, равно расстоянию R до точки наблюдения, поскольку R = t C, где: С – скорость распространения волны в пространстве, они все более и более сглаживаются, а сама волновая поверхность Si все ближе приближается к сферической. Благодаря постепенному увеличению размеров поверхности амплитуда возмущения (смещения или напряжения) непрерывно уменьшается. Наконец, начиная с некоторого расстояния R, изменение амплитуд на волновой поверхности будет значительно плавнее, чем на исходной S0, так что на расстояниях значительно превосходящих максимальный линейный размер области S0, всю волновую поверхность можно считать сферической. Отсюда вполне обоснован переход к волне, у которой поверхностью равных амплитуд и одинаковых фаз является сфера, а значит, мы приходим к рассмотрению сферических волн.

Не будем утруждать читателя выводом уравнения для сферической волны,

запишем сразу, что оно имеет вид: C 2 ϕ(R,t)=	∂2ϕ(R,t)	. Его общее решение
	∂t2

известно и для волны, расходящейся от источника, сосредоточенного в точке,

ϕ(R,t)=

1

R

записывается

как:

f1

t −

. При исследовании продольных волн

R

C

λ +

2μ

r

1

R

C = Cp =

,

асмещение

up

= gradϕ = grad

f1

t −

. Для поперечных

ρ

Cp

R

71

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

волн C = Cs =

μ

смещение urs = rotϕr.

В

этом случае

сама

функция

ϕ(R,t),

ρ

обладает векторными

свойствами и

носит

название векторного

потенциала

и

r

R

обозначается

обычно

как

ψr(R, t)

и

ur

s

= rotψr(R, t)= rot

ni

f

t −

.

-

R

2

Cs

ρ

2

r

плотность, а λ и μ - упругие константы среды размерностью кг/c ,

n - единичный

вектор, характеризующий направление смещения частиц сплошной среды во фронте волны.

Функции f1

и f2, описывающие волновой процесс,

обычно представляют в

виде гармонической сферической волны

вида: A =

eiω(t−R / C )

или,

производя

R

преобразования

ωR

= R

ω = R

2π f

= R

2π

= kR , функции f1,2 можнозаписать, как:

C

C

C

λ

R

e−ik1,2R

iωt

f

1,2

t −

=

A

e

,

где: А1,2

–амплитудный множитель,

-ik

R

C

R

1,2

e

1,2 /R –

1,2

элементарная сферическая волна от вторичных источников, расположенных на поверхности S0.

Таким образом, действие источника можно представить в виде суперпозиции волн, генерируемых совокупностью точечных излучателей, расположенных на поверхности сферы S0 c соответствующими распределением амплитуд А1,2 и фаз

колебаний k1,2.
Приведем	окончательные выражения для смещений частиц						среды, начиная			с
					самых простейших случаев
а	Pz	б			–			сферически
			Px	Pz
		Py
							симметричных
R0
		R0
					Py			нормальных
Px		Px			распределений
	0	Py			и касательных			напряжений
Py				Px	по поверхности S0. Как мы
	Pz		Pz		уже	говорили,			среда
		Рис.13			является		однородной			и

72

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

изотропной. Понятно, что в реальных условиях любой источник сейсмических волн действует в первую очередь как генератор механических воздействий, представляющих собой некоторые равнодействующие сосредоточенных сил составленных из совокупности нормальных и касательных напряжений, распределенных по соответствующим поверхностям. Эти поверхности могут быть не одинаковыми, что и происходит в естественных условиях. Поэтому для сравнительной характеристики механических воздействий, возбуждающих продольные и поперечные волны, применим процедуру суммирования волн от

двойных	сил без момента и с моментами, что показано на рис.13. Силы
Fxx , Fyy и	Fzz действуют вдоль координатных осей x,y,z и приложены к поверхности

сферы S0 для продольных волн без момента, но на расстоянии от центра о сферы, равному ее диаметру D = 2R0. Главной характеристикой механического воздействия в этом случае является дипольный момент М по соответствующим

осям. Его	величина	определена как	произведение	амплитуды	силы F i i	на
расстояние	между	ними: M xx = Pxx D;	M yy = Pyy D; M zz	= Pzz D. При	условии,	что
Pxx = Pyy = Pzz ,	источник реализует в пространстве центр расширения или сжатия,

что зависит от начального направления сил.

На рис. 13,а приведен источник типа центра расширения. В результате сложения полей с одинаковыми величинами диполей, получим:

U R

=

Mf

F (t,

R )=

2C p3 ρ R

=

PR 0 f

≈

P

C p3 ρ R

ρ C p3 R

R0 fF (t, R )≈

PR

F p (t, R ).

ρ C p2

R

Если теперь силы Fii действуют параллельно координатным осям и приложены по касательным к поверхности сферы S0 с расстоянием между ними D = 2R0, то приведенная на рис.13,б система сил реализует источник называемый центром вращения. При N x = Pzz D , N y = Pxx , N z = Pyy D с условием Pxx = Pyy = Pzz , в

результате сложения полей получаем:

73

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

U		= −	Nf	F (t, R)= −	FR0 f	F (t, R)= −	M s	F (t, R)
	θ		2Cs3ρ R s		Cs3ρ R s		Cs2 ρ R s

Выражения для UR и Uθ не содержат зависимости от направления (угла θ),

следовательно, величины только упругими постоянными среды (ρ, Vp и Vs). Предположим, что и функции фазы волн F(t,R) одинаковы, тогда, составив

отношение Uθ и UR, найдем, что:

U

θ

P

Cp2

1

P

1

=

s

=

s

=

, если Ps = PR

U

R

P

C2

γ 2

P

γ 2

R

s

R

При γ ≈ 0,5 Uθ в 4 раза больше чем UR. Таким образом, при равных условиях возбуждения, в смысле одинаковых параметров механического воздействия, амплитуда колебаний в поперечной волне намного больше продольной, что и наблюдается в эксперименте.

Представим себе теперь, что упругая среда состоит из двух равноправных слоев I и II, в каждом из которых скорость распространения упругого возмущения постоянна, т.е. СI = const и С2 = const. Однако на границе между слоями скорость испытывает скачок, причем так, что в слое I СI = С0 - α, а в слое II СI = С0+α. 2α - скачок скорости по границе I при переходе волны из слоя I в слой II. Дополнительно предположим, что граница между этими слоями не является в строгом смысле геометрической поверхностью, а представлена тонким переходным слоем, в котором скорость меняется от С1 до С2, а в среднем равна С0. Поместим внутрь этого слойчика источник типа центра расширения, который в момент времени t = 0 начинает действовать, создавая на внутренней поверхности сферы диаметром равным толщине этого пограничного слоя давление величиной

σn. Вычислим проекции сил на ось z, проходящую через центр источника и направленную вертикально вниз, через некоторый произвольный промежуток времени t0 от начала действия источника. Ясно, что для этого необходимо знать положение фронта волны в слое I и в слое II, чтобы затем просуммировать проекции всех элементарных сил, порождаемых упругими напряжениями,

переносимыми волной, и действующими на единичные площадки dS этих фронтов на ось z в направлениях вверх и вниз. Тогда, фронт волны, движущийся

74

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

вверх в слое I займет положение в виде полусферы с радиусом R1 = С1t0 = С0t0(1-

α). Фронт волны падающей вниз в свою очередь из точки О будет занимать поверхность полусферы, радиус которой определится уравнением R2 = С2t0 =

С0t0(1+α). В точках А и В, находящихся в пограничном слое, радиус фронта составит R0 = С0t0. Разница между R1 и R2 составит R = 2αС0t0. Для удобства расчетов введем новую систему координат в точке О12 опустив начало координат источника О на величину R/2 = αС0t0 вдоль оси Z. В этой новой системе координат радиус фронтов R1 и R2 = Rф = С0t0, а полусфера, дающая равнодействующую элементарных сил, действующих на единичную площадку нормальных напряжений и направленную в сторону отрицательных значений z будет заключена в телесном угле, сечение вертикальной плоскостью которого

дает углы θ от arccos		α	до −	π	+arccos	α	.
		+α2		2
1						1+α2

Проекция же силы, действующей на единичной площадке фронта волны, на ось Z есть σncosθdS, где σn – нормальное напряжение на внутренней поверхности фронта, θ - угол между нормалью к этой элементарной части поверхности dS и осью Z, dS – величина этой площадки. В свою очередь элемент поверхности в сферических координатах есть dS = R2dϕ sinθdθ. Подставляя в выражение для

элементарной

силы и интегрируя

по ϕ от 0 до 2π, а по θ от

arccos

α

до

− π +arccos

α

, получим:

+α2

1+α

1

2

2

arccos

α

2π

1+α2

(1−α2 ).

F (− z)= RΦ2 σn ∫dϕ

∫sinθ cosθ d 0 = 2πRΦ2 σn

0

−

π

+arccos

α

2

1+α2

Такой же расчет для проекции равнодействующей сил давления, действующих на фронте волны, движущейся вниз в слое II с соответствующими значениями угла θ, дает значение:

F (+ z)= 2πR2σ				α2
	1	+
					2
	n		1+α

75

СПБГУАП группа 4736 https://new.guap.ru

Найдем разницу между этими двумя силами, направленными в разные стороны.

F = F(+ z)− F(− z)≈ 4πR2σnα2 .

Таким образом, наряду с симметричным распределением сил в источнике, мы получили направление, вдоль которого возникает сила Fz с амплитудой, зависящей от величины перепада скоростей или, в общем случае, от величины градиента изменения скоростной характеристики среды. Ниже даются без вывода, наиболее любознательных отсылаем к книге Е.Ф. Саваренского «Сейсмические волны», аналитические выражения для функции смещений сосредоточенных источников, представленных силами направленными по осям координат.

Сила, действующая вдоль оси X:

URX

=

X 0

sinθ cosϕ T (t −τ p )

4πCp2

ρR

UϕX

= −

X 0

sinϕ T (t −τs )

4πCs2 ρR

UθX

=

X 0

cosθ cosϕ T (t −τs )

4πCs2 ρR

Сила, действующая вдоль оси Y:

URy =

Y0

sinθ sinϕ T (t −τ p )

4πCp2 ρR

Uϕy =

Y0

cosT (t −τs )

4πCs2

ρR

Uθy =

Y0

cosθ sinϕ T (t −τs )

4πCs2

ρR

Сила, действующая вдоль оси Z:

UR

=

z0

cosθ T (t −τ p )

4πCp2 ρR

Uϕz

= 0

Uθ

= −

z0

sinθ T (t −τs )

4πCs2 ρR

76