Аналитические методы расчета
Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.
Основными аналитическими методами, используемыми при решении широкого круга задач электротехники, являются:
– метод условной линеаризации;
– метод аналитической аппроксимации;
– метод кусочно-линейной аппроксимации.
Метод условной линеаризации
Метод
условной линеаризации применяется в
случаях, когда в нелинейном уравнении
одно из слагаемых в левой части мало по
сравнению с другими, вследствие чего,
без внесения существенной погрешности,
его можно соответствующим образом
линеаризовать. Благодаря этому все
уравнение становится линейным для одной
из переменных, определяющих характеристику
нелинейного
элемента, например
.
С использованием этой характеристики
находится затем временная зависимость
для
второй определяющей ее переменной по
алгоритму:
.
Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.
В
качестве примера использования метода
определим максимальное значение тока
в цепи на рис. 1, если
,
где
;
;
;
.
Вебер–амперная характеристика
нелинейной катушки индуктивности
приведена на рис. 2.
1. Запишем уравнение состояния цепи после коммутации
|
(1) |
.2. Используя метод условной линеаризации, определим второе слагаемое в левой части (1) как
|
(2) |
,где
;
и
-
амплитуды потокосцепления и
тока в установившемся
послекоммутационном режиме;
.
3. Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение
,
решением которого на основании классического метода расчета переходных процессов является
.
4.
Принужденная составляющая
определяется
соотношением
,
где
.
Для
определения
и
предположим
(с последующей проверкой),
что
.
При этом условии
и
.
По зависимости
для
полученного значения
найдем
.Тогда
и
,
т.е. сделанное выше предположение
корректно.
Следует отметить, что в общем случае значения и могут быть определены, например, итерационным методом.
Определив
,
запишем
.
Поскольку
по условию
,
то
.
Таким образом,
|
(3) |
. 6.
Не решая трансцендентное
уравнение, будем считать, что
максимальное значение
потокосцепления имеет место
примерно через полпериода
своего изменения, т.е. при
.
Подставив это время в (3),
получим:
По
кривой
для
найдем
максимальное значение тока
,
которое в
раз
превышает амплитуду тока в
установившемся послекоммутационном
режиме. Напомним, что для
линейной цепи
Примечания:
1. Обычно при использовании
метода условной линеаризации
для расчета переходного
процесса при подключении
нелинейной катушки индуктивности
к источнику синусоидального
напряжения эквивалентная линейная
индуктивность
определяется
исходя из амплитудных значений
тока и потокосцепления в
установившемся послекоммутационном
режиме, как это и было
сделано в рассмотренном выше
примере. Однако если необходимо
оценить максимально возможное
значение тока, то величину
индуктивности следует определять
по начальному участку
вебер–амперной характеристики,
где
максимальна.
2.
Если сопротивление резистора
в ветви с нелинейной
катушкой достаточно велико,
так что
,
то следует пренебречь
нелинейностью слагаемого
,
положив
.
В этом случае нелинейное
уравнение (1) сводится к
линейному вида
,
и соответственно кривая определяется по кривым и .