Интегральные уравнения Краснов М.Л

l lО	Тhава 3. Примененив интегральныхпрвобраэований
	Пример 3. Решить интегральное уравнение "' .
	+оо
	j	p(t) sin жt dt = e-z	(ж > 0).
	о
	Решение. Функция /'fe-z, очевидно, является синус-nреобразо анием
Фурье искомой функции <p(t). Применяя формулу (6) обращения синус-nреобра­
зования Фурье, будем иметь			+оо
	+оо
	<p(t) = Л1	!'fe-z sinжt dж = ; 1 e-z sinжt dж.		(7)

оо

Интеграл в nравой части по частям. Получим

так что

(7) вычисляем с nомощью двукратного интегрирования
+оо	е-	i				1 : z,
1
		zs ntz dz =						t
о			2		t				t>
	"'(t)т		--
			-	1		2	'
			11'
					+ t

Пример 4. В задачах о колебаниях тонкой уnругой
к следующему интегральному уравнению:
'Ф(t) =		Тжf(ж)	in ::t dж	,
	2 t	о	s

nластины nриходим (8)

где /(ж)

- искомая функция,

ф(t) - известная функция.

Решение.

Уравнение (8) - это интегральное
		1	z	2	= v,
t =	4	Ьа'

уравнение	1	-ro

рода. Полагая

nреобразуем уравнение (8) к виду

+оо

(

) sinav dv.

а

= 1

Ф

(4

f

v'V

)

о

Используя формулу обращения

для синус-преобразования Фурье, nолучим

+оо

s nav

da,

f

(v'V)= 3

. jф

-1-)

i

Ьа

или

11'

о

+оо

(4

а

2

2

/ ф(t)

1>

/

(z) =

-

s

- in - dt.

1r

о

t

4Ы

§ 18. nримененив преобраэовання Лапласа

111

Задачи для самостоятельного решения

Решить следуЮщие иитеrральные уравнения:

		+ао			>
	230.	fо	tp(t) cos жt dt = :	(ж		0).
		+ОО			/(ж) = {
	231 .	j	tp(t) sin жt dt = f(ж),	rде
		о

+ао

232. f tp(t) cos жt dt = /(ж), rде f(ж) = {

о

+оо

233. j tp(t) cos жtdt = е-= со s ж (ж > О).

о

2 sin ж,

о, ж > 1Г,

соs ж, О ж 1Г,

о, : t > 1.Г

§1 8. Примененив nре.образованин Лапласа

крешению некоторых интегральных уравнениА

1 о. Интегральные уравнения Вопьтерра тиnа свертки..

Рассмотрим интегральное уравнение Волътерра 2-ro рода

=	jо
1р(ж) J(ж) +	ж	{1)
	К(ж - t)1p(t) dt,

ядро которого зависит лишь от разности ж - t . Будем называть уравне­

ние (1) интегральным уравнением типа свертки.

Пусть J(ж) и К(ж) - достаточно гладкие функции, растущие nри

ж - оо не быстрее nоказательной функции, так что

(2)

Мо:ж:но nоказать, что в этом случае и функция 1р(ж) будет удовлетворять

оценке типа (2):

IIP(a:)l Мзе•зz.

Следовательно, мо:ж:ет быть найдено изображение по Лаnласу функций
J(ж), К(а:) и IP(а:) (оно будет оnределено в nолуплоскости	Reр = 8 >
max{8t, 82, 8з}) .

1 12 Глава 3. Примененив интегральных преобразований

Пусть

j(x) ;: F(p), rp(x) ;: Ф(р), К (х) -F К(р).

Применяя к обеим частям уравнения ( 1) иреобразование Лапласа и ис­ пользуя теорему умножения, найдем

Ф(р) = F(p) + К(р)Ф(р).

Отсюда
Ф(р) - F(p)	(К(р) =1= 1).
- 1 - К (р)

Оригинал rp(x) для Ф(р) будет решением интегрального уравнения (1).

Пример 1. Решить интегральное уравнение

rp(:c) = sin : с +2 jz cos (х - t) rp(t) dt.

о

Решение.

Известно, что

.	.		1	-		,	cos : r : :.
stn:r: :=		--			1			р2	+ 1 .
		р2	+
								=	р

Пусть <р(а:) и учитывая

:= Ф( при

р) . П этом

рименяя теорему

преобразование Лапласа к обеим частям уравнения умножения (изображение свертки), получим

Отсюда		2р	]	-- р-2 1+-1 '
	(р)	[1 - р--2 +
или	ф	1 1		.
	Ф(р) = (р _ 1)2 := же"'.
Следовательно, решение данного интегрального уравнения есть
		<p(:r:) = :r:e"'.				1>
Задачи для самостоятельного решения
Решить следующие интегральные уравнения:
234. <р(ж) = е"' - 1о"	e"-1<p(t) dt.	235. <р(ж) = ж - 1о"'			e"'-1	<p(t) dt.

§. 18. Применение преобразования Лапласа

1 1 3

236.	ip(x) = е2"' + 1о"'			e1-"1p(t) dt.		237.	1р(х) = х - 1о"' (х - t) P(t) dt.
	!fJ(x) = cos			"'		1p(t) dt.
238.		х - 1(х - t) cos (х - t)
		о		"'			"'
239.	!fJ(X) = l + х + 1 e-2(ж-t)1p(t) dt .					240.	1р(х) = х + 1 sin (х - t) 1p(t) dt.
			о				о
241 . !fJ(:t) = sin x + jо" <x - t) 1p(t) dt.						242.	Р(х) = х - jо"' sh (х - t) 1p(t) dt.
243.	!fJ(x) = l - 2х - 4х2 + 1оz				[3 + 6(х - t) - 4(х - t)2) 1p(t) dt.
244.	ip(x) = sh x - 1оz ch (х - t) 1p(t) dt.					245.	Р(х) = 1 + 21о"'	cos (х - t) 1p(t) dt.
		z						ж
246.	!fJ(x) = e"' + 2 lо cos (x - t) ip(t) dt.					247.	P(z) : : c ocs z + 1о 1p(t) dt.

Теорема о свертке может быть

нелинейных интегральных уравнений
	ж
(ж) = j(ж) + Л	j

о

использована также для решения Вольтерра вида

(t) (ж - t) dt.

(3)

Пусть

(ж) := Ф(р), j(x) := F(p).

Тогда в силу уравнения (3)

Ф(р) = F(p) + ЛФ2(р),

откуда

1 ± .jl - 4ЛF(р)

Ф(р) = 2Л .

Оригинал для Ф(р), если он существует, будет решением интеграль­

ного уравнения (3).

.114

Diaтt3.

При ененив интегральнщпрео6раэо	аний
м	в

Пример 2. Решить интегральное :r

1 <p(t)<p(x о

уравнение	• .
	з
- t) dt = .

(4)

Решение. Пусть Лапласа, получим

	cp(z) ;:::Ф(р). Применяя к обеим частям (4) nреобразование
	2		1
	ф	(р) =		,
			-4
			р

откуда

1

Ф(р)

= ±

2 .

ун

ии

1

2

р

(решение

cp

(z)

= z,

cp (z) = -ж будут решениями уравнения (4)

Ф кц

уравнения (4) не единственно).

!>

Задачи для самостоятельного решения

Решить интегральные уравнения:

"'

248.

2cp(z) - j cp(t)cp(z - t) dt = si n ж.

о

"'

.

249.

1

1

cp(z) = '2 f cp(t)cp(z "

- t) dt'- 2 sh z.

о

2° .

С

исте

мы

л

ьн

ых у

равнени

й

В л

ьтерра

ти

­

интегра

о

па свертки.

Преобразование Лапласа может быть использовано при

решении систем интегральных

уравнений Вольтерра вида

'

:r

.

. ,

s

<J'i (x) = /i (x) + 1 Кi;(ж - t) <J'j (t) dt

(i = 1

, 2, . .

),

(5)

•

J=l

о

где

/i (x) -

известные неnрерывные функции,

имеющие изобра-

Кi; (ж) ,

жение по Лапласу.

·

·

·

Применив

к

обеим ч

астям: ,(5) п еобразовщше Лапласа,

получим

,

.

Фi {р) = Jii{p)

(i = 1 , 2, .

. . , s). ·

+

L

Kij (p) Фj{р)

j=l

Это	сис
	тема линейных алгебраических уравнений
Рещая ее, найдем Фj{р) , оригиналы для которых
исходной системы интегральных уравнений (5).

относительно Фj{р) . и будут решениями

§ 18. 17рнм ненив		п				115
		реобразования Лs.пласа
Пример З. Решить сиСтему интегральных уравнений
ipt(z) = 1 - 2 Jоz e2(z-t) IPt (t) ,dt + Jоz ip2 (t) dt,						(6)
	z		z
	j		ж -
IP2 (z) = 4z -	о	IP1 (t) dt + 4	j(	t) 1P2	(t) dt.
			о

Решение. Переходя к изображениям и исnользуя. теорему Об изображении

свертки, nолучим

Ф

(р) =

р

I

2

=

p

1

-

l

I

2

,

(p+

)

+ l

(p+

)

'

1

8

1

Ф2(р) =

Зр + 2

= 8

1

+ l .

(р

1)2

-

(р -

2)(р+ 1)2

9

. р - 2

3

+

9 . р + l .

Оригиналы для Ф1(р) и Ф2(р) равны соответственно

1(ж) = е-"' - же-",

_"

-

8

е

_"

.

(

ж

)

=

8

2"'

+

з1

1(z), 2(ж)

2

9

9

ают

уравне­

Функции

д

решение исходной системы интегральных

ний (6).

Е>

Задачи для самостоятельного решения

Решить следую пЬlе системы инirеrральНЪIХ уравнений:

250.

1(z) = sin ж + jо"'

2(t)"'

dt,

251 .

1(z) = е2ао +"'jо"

2(t) dt,

2(: :) = 1 - cosz- jо

1(t) dt.

2(ж) = 1 - Jо

e2<ж-t) l(t)dt.

1 16

252.

253.

254.

255.

Глава 3. nрименение интегральных hреобраэований

"'		"'
<pi(x) = e"' + J <p1(t)dt - J e"'-1<p2(t)dt,
о	о	"'
"'

<р2(х) = -х - J(х - t) <р1(t) dt + J <p2(t) dt.

оо

	"'				"'
<р1(х) = е"' - J <р1(t) dt +4 J e"'-1<p2(t)dt,
	о				о
	"'				"'
<р2(х) = 1 - J e1-"'<p1(t) dt + J <p2(t) dt.
	о				о
	"'
<р1(х) = ж + J <p2(t) dt,
	о
	"'
<р2(х) = 1 - J <р1(t) dt,
	о	1		"'
<р3	.
	(х) = sшх +	2	1(х - t) <р1(t) dt.
	"'		о				"'
<р1(х) = 1 - J <p2(t) dt,						<р1(х)=х+1+J<p3(t)dt,
	о			"'			о
						о	"'
<р2(х) = cosх - 1			+	Jо
				<p3(t) dt,		256. <р2(х)=-х+J(x-t)<p1(t)dt,
<р3			"'				"'
	(х) = cosх + J <р1(t) dt.					<p3(x)=cosx- 1-J<p1(t)dt.
		о					о

3° . Интегро-дифференциальные уравнения.					Пусть име­
ем линейное интегро-дифференциальное уравнение вида
		+ . . .		ж
rp(n) (x) + а! rp(n-I)	(x)		m=O Jo		= /(х), (7)
			+ an rp(x) + s	Кт(Х - t) rp(m)(t) dt
где а1 , а2, . . . , an	- постоянные, J(x) ,			Km(x) (m = О, 1 , . . . , s) - из­
вестные функции, rp(x) - искомая функция.

§ 18 . Примененив преобраэования Лапласа

Для искомой функции <р(а:) ставятся начальные условия вида

<р(О) = <ро,	ер'(О) = <р ,	. . . '	'Ро	.
			(n- 1 )

Пусть функции /(т) и Кт(х) являются функциями-оригиналами и

/(а:) ;:d F(p), Km(a:) ;:d Кт (р) (т = О, 1, . . . , s).

1 17

(8)

Тогда функция <р(х) будет иметь изображение по Лапласу <р(х) := Ф (р). Применяя к обеим частям (7) иреобразование Лапласа и используя тео­ рему об изображении производной и теорему умножения, придем к урав­ нению

[	+	a1pn-! + . . . + an +	i;	Кт(р) pm	]	= А(р) ,	(9)
Ф(р) pn

где А(р) - некоторая . известная функция от р . оператормое решение задачи (7)-(8). Функция

Из (9) находим Ф(р) <p(z) := Ф(р) будет

-

ре­

шением интегро-дифференциального уравнения (7), удовлетворяющим начальным условиям (8).

Пример 4. Решить интегро-дифференциальное уравнение
ж	e2(ж-t)cp'(t) dt = еа,
<р"(х) + jо		(10)
<р{О) = <р1(О) = О.		( 1 1)

Решение. Пусть <p(z) Ф(р). В силу ( l l)

<p1(z) := рФ(р), tp"(z) := р2Ф(р).

Поэтому после применения nреобразования Лаnласа уравнение (10) примет вид

р2Ф(р) + р -

2	Ф(р)

1
= -
р -	2

,

или		р(р - 1)2		:;: -- .
	Ф(р)				( 12)
		р - 2		р - 2
Из (12) находим		l
Ф(р)			:= же"' - е"' + 1 .
	р(р - 1)2

Следовательно, решение <p(z) интеrро-дифференциального уравнения (10), удо­ влетворяющее начальным условиям (1 1), определяется равенством

<р(х) = хе"' - е" ' +1.

1 18	Тhава 3. Лр111менение. интегральных .tJРеобраэований

Задачи д.nя самостоятельного реwенИя

Решить следующие интеrро-дцфференциалъные уравнения:

	z	"'	e <"'-t)	' t
		jо
257.	''( ) +		2	( ) dt = e2" ' ; (0) = 0, 1(0) = 1 .
258.	'(ж) - (а:) + j:а: <x - t) '(t) dt - J:а:							(t) dt = x ;		(0) = - 1 .
			о			"'	о		"'
259.	"(ж) - Ц'(ж) + (ж) +2						cos (z-t) 11(t) dt+2			sin (z -t) '(t) dt
						J			J		cos x ;
<р(О) = '(О) = О.						о			о
260.	''(а:) + 2 1(х) - 2 f"'				sin (ж - t) <р1 (t) dt = cos а:;				(О) = <р1(О) = О.
				о

281. "(z) + (z)+ /"' sh (z ; _ t) <p(t) dt + J"' ch (z - t) '(t) dt = ch a:;

оо

(О) = <р'(О) = О.

		J		J			1,
		"'		:а:
262.	"(z) + < р(ж) + sh (z - t) <p(t) dt +			о	ch (z - t) '(t) dt = ch z ;	<р(О) = -
'(О)	= 1 .	о
	4° . Интегральные уравнения Вольтерра с пределами
{z, +оо). Интеrралъцые уравнения вида
		IP(x) = /(х) +	+ооК(х - t) IP(t) dt,			(13)
			Jz

возникающие в ряде задач физики, можно также решать с помощью иреобразования Лапласа.

Справедлива следующая формула:

+оо
J	(14)
К(х - t)1p(t) dt ;:::Х(-р)Ф(р),

z

§ 18. Прнменение преобраэованняЛапласа ··		1 19
где
+оо	К(-а:) d:c.
cp(t) := Ф(р), Х(-р) = Jо

Применяя иреобразование Лапласа к обеим частям (11) и исnользуя формулу ( 14), получим

или	Ф(р)	= F(p) + Х(-р)Ф(р),
	Ф(р) =	F )			(Х(-р) =1: 1) .
	1 - Х(-р)				F(p)
. Функция	(а:) :._	1 r+ioo
						e"z d	(15)
			J
	'Р - 21ri			1 - х(-р)		Р
			.
			r-too

является частным решением интегрального уравнения (1 3). Подчеркнем, что для того, чтобы решение (15) имело смысл, необходимо, чтобы

области аиалитичности Х(-р) и F(p) перекрывались.

Пример 5. Решить интегральное уравнение

		00
ер(а:) = а : +J e2(:H)cp(t) dt.				( 1 6)
Решенне. В	) = . K(z) =		е2с. Поэтому
данном случае
	/( ""
F(p) = · Х(-р) = !о		е-2"'е""' d = 2 р '		Rep < 2.

Таким образом, nолучаем следующее операторное уравнение:

Ф(р) = р12 + 2 l р Ф(р),

_

так что

Ф(р) = p'lрp- 21):

( - .

Отсюда

IP(a:) =

		!
	1	7+ioo
		'Y-ioo
	21f'i

р - 2	(	< 7 < 2).
р2(р _ l)е dp
	О

(17)

Интеграл (17) можно вычислить по интеrральной·формуле Кощи. Подынтеrраль­ ная фующия имеет двукратный полюс р = О и nростой полюс р = l, который